Symétrie de jauge locale

[Skops]

Bonjour,

J'ai un peu de mal à sortir la partie cinétique d'un Lagrangien après un changement de jauge locale (Peskin, p693)

On considère un système de champs scalaires qui est symétrique sous la transformation suivante :


(Les champs sont réels et donc t est hermitienne; On posera donc de manière à avoir une matrice réelle antisymétrique)

On introduit la dérivé convariante :



Ensuite le bouquin me donne la valeur de

Alors une question tout d'abord : est ce que j'ai où + est l'opérateur dagger et est la dérivée convariante avec -g au lieu de g (du à l'antisymétrie)

Si c'est juste, j'ai donc 16 termes que je n'arrive pas à simplifier, pourriez vous m'aider ?

Merci
-----

[invite54165721]

tu n'as pas 16 termes Mu court effectivement de 1 à 4 (espace temps) mais pas alpha qui dépend de la symétrie. (le nombre de générateurs de la symétrie)

[Skops]

Pourtant, j'ai juste remplacer la fonction par sa transformation et la dérivée par la dérivée covariante, je n'ai pas explicité les sommes

[invite54165721]

Tu as parlé de 16 termes en pensant sans doute à la symétrie electrofaible avec 3 t_alpha correspondant aux bosons w et z.
Je disais simplement qu'avec la symétrie su(3) tu a 8 gluons donc plus que 16 termes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Skops]

Non, je ne pense à aucun modèle en particulier ; le résultat que me donne le bouquin contient 3 termes et toujours en fonction de mu et a.

[invite54165721]

D'accord mais pour la symetrie SU(3) mu va de 1 à 4 et a de 1 à 8
Sinon en développant le produit tu as un terme avec le carré de la dérivée plus des termes avec une dérivée que tu peux regrouper (terme en g) et plus des termes sans dérivée (terme en g au carré).

[Skops]

Mais je pourrais bien considérer SU(122), la formule serait toujours la même.

En ce qui concerna le calcul, j'ai des termes sans g (outre la dérivée carré) : ces termes doivent s'annuler où il y a un gros souci ?

[invite54165721]

quels termes sans g?

[Skops]

En fait, je remplaçais non seulement la dérivée par la dérivée covariante mais je changeais aussi la fonction phi par sa transformé phi'.
Normalement, ca devrait me donner le même résultat non ?

(À propos, qu'en est t'il pour ma question sur le dagger de la dérivée covariante ?)

Skops

[invite54165721]

Le but avec tout çà c'est d'obtenir un nombre réel unique en partant de matrices i*i, de vecteurs colonnes phi_i, le tout indexé par des mu d'espace temps
Dphi est un vecteur colonne complexe, pour avoir le carré D^2 il faut le multiplier à gauche par le vecteur ligne transconjugué.
pour cela on transconjugue les nombres et les matrices en particulier les tau
tu parlais de transformer g en moins g à priori non car g est réel mais i en -i oui et tau en transconjugués oui.
Il y a aussi l'histoire de la métrique (+ - - -) pour les indices mu.
pour ton histoire de 16 termes dans su(3) tu a 8 matrices tau qui sont de type 3*3 donc pour mu donné
(8+1)(8+1) = 81 termes matriciels pour faire le produit sur les vecteurs ligne (1,3) et colonne (3,1):
(1 3) ( 3 3 ) (3 1) = réel

[Skops]

Dphi est un vecteur colonne complexe, pour avoir le carré D^2 il faut le multiplier à gauche par le vecteur ligne transconjugué.
pour cela on transconjugue les nombres et les matrices en particulier les tau
tu parlais de transformer g en moins g à priori non car g est réel mais i en -i oui et tau en transconjugués oui.

Étant donné que la matrice T est réelle et antisymétrique, le fait d'appliquer l'opérateur dagger revient à transformer g en -g, c'est ce que je voulais dire (Transconjugué de T vaut -T). C'était pas très clair, je le reconnais.

pour ton histoire de 16 termes dans su(3) tu a 8 matrices tau qui sont de type 3*3 donc pour mu donné
(8+1)(8+1) = 81 termes matriciels pour faire le produit sur les vecteurs ligne (1,3) et colonne (3,1):
(1 3) ( 3 3 ) (3 1) = réel

Je comprends bien que le nombre de termes va varier en fonction du groupe et de sa dimension mais là n'était pas ma question.
Quand je parlais des 16 termes, je parlais du calcul dans le cas général, c'est à dire que j'appliquais la dérivée covariante dagger sur ma fonction phi prime (voir mon premier message) et je la multipliais par la dérivée covariante appliqué sur la fonction phi prime.
Du coup j'obtiens 16 termes dans ce cas là.

Apparement, s'il faut obtenir 4 termes, ( un sans g, deux avec g et un avec g^2), je dois appliquer la dérivée covariante seulement sur la fonction phi et non la fonction phi prime et j'obtiens bien 4 termes (quant à savoir si ces termes sont juste, va falloir que je travaille ca)

En fait, je remplaçais non seulement la dérivée par la dérivée covariante mais je changeais aussi la fonction phi par sa transformé phi'.
Normalement, ca devrait me donner le même résultat non ?

Étant donné que mon Lagrangien est invariant sous la transformation que j'applique a phi (première équation de mon premier message), je devrais retrouver le même résultat en utilisant phi ou phi prime non ?
Sauf que dans un cas, j'obtiens 4 termes et dans l'autre cas j'obtiens 16 termes et je n'arrive pas à les faire disparaître

Merci