Fonction d'onde et origine

[Burakumin]

Bonjour,

En essayant de reprendre la méca quantique de manière un peu plus claire, j'ai du mal à comprendre la logique de la relation qui fait de la fonction d'onde en impulsion la transformée de Fourier de la fonction d'onde en position.

Mon problème est le suivant : la transformée de Fourier (dans les versions que je connais tout au moins) ne s'accorde bien qu'avec une structure vectorielle. Or s'il l'on doit "forcer" celle-ci il nous faut choisir un point origine. (De même pour l'espace des impulsions dans lequel il faut désigner une impulsion de référence = un référentiel). Ce choix étant parfaitement arbitraire j'obtiens différentes valeurs possible de ma transformée de Fourier, visiblement non équivalentes.

Qqn connait-il une manière satisfaisante de résoudre ce problème ?

Merci
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Je crois devinez ce qui vous tracasses. Si je ne me trompe pas, vous avez un terme supplémentaire évalué en +- l'infini. Ce terme supplémentaire est nul, car il contient la fonction d'onde (multiplié par un autre bazar) en +- l'infini et que l'on requiert que cette fonction d'onde soit carré-intégrable (appartient à l'espace de Hilbert). En effet, une fonction carré intégrable tend vers zéro en +- l'infini.

[Burakumin]

Bonsoir,

Je crois devinez ce qui vous tracasses. Si je ne me trompe pas, vous avez un terme supplémentaire évalué en +- l'infini. Ce terme supplémentaire est nul, car il contient la fonction d'onde (multiplié par un autre bazar) en +- l'infini et que l'on requiert que cette fonction d'onde soit carré-intégrable (appartient à l'espace de Hilbert). En effet, une fonction carré intégrable tend vers zéro en +- l'infini.

Bonsoir Paraboloide

Je ne crois pas que mon problème ait un lien avec le problème que vous soulevez. Oui on utilise en général des fonctions de (même si parfois on ne peut vraisembablement pas rester dans un hilbertien). Il n'empêche que pour une fonction d'onde en position (avec q un point de l'espace), je peux définir les transformées de Fourier :




avec q0 et q1 deux positions arbitraires et p0, p1 deux impulsions arbitraires. Et malheureusement on a , que soit ou pas.

[coussin]

Et que signifie vos notations ? Je n'ai jamais vu ça… C'est un produit scalaire dans vos exponentielles ? Ça ne définit pas une TF à mon avis… Vous faites plutôt un produit de convolution puisque vous multipliez une fonction de la variable q et une fonction de la variable q0-q. Vous allez avoir une fonction de q0 forcément (et de p-p0 bien évidemment)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Burakumin]

Et que signifie vos notations ? Je n'ai jamais vu ça… C'est un produit scalaire dans vos exponentielles ? Ça ne définit pas une TF à mon avis… Vous faites plutôt un produit de convolution puisque vous multipliez une fonction de la variable q et une fonction de la variable q0-q. Vous allez avoir une fonction de q0 forcément (et de p-p0 bien évidemment)

C'était un crochet de dualité puisque l'impulsion est parfois définie comme appartenant à l'espace dual de l'espace des déplacements. Mais cet aspect n'a quasi aucune importance ici. Donc oui on peut effectivement dire que est une notation pour le produit scalaire de x et y.

En revanche non, il ne s'agit pas de convolution : p0, p1, q0 et q1 sont bien des constantes ici. Leur introduction vient du fait que la structure de l'espace-temps (hors relativité puisqu'il ne s'agit bien sur pas de ça ici) est un espace sans centre : un espace affine et pas un espace vectoriel. Hors il n'y a pas de TF définie sur les affines. Il nous faut en général un espace vectoriel (voir plus exotique mais je ne vois pas ce qui pourrait marcher dans les variantes que je connais). Lorsqu'un cours donne la formule :



il prend bien soin de cacher (assez malhonnetement à mon avis) le fait que cela induit implicitement le choix d'une origine de l'espace et d'un référentiel. Ce sont ces choix qui permettent de voir respectivement q et p comme des vecteurs et donc de rendre la formule mathématiquement viable (parce qu'un produit scalaire de points moi je connais pas). C'est le sens de mes constantes dans mes formules: j'explicite ces choix pour deux valeurs différentes (et arbitraires) : p0 et q0 d'une part, p1 et q1 d'autre part. Le problème c'est que le résultat n'est pas (sauf erreur de ma part) physiquement équivalent. J'obtiens des objets différents dépendant de pure choix de mise en coordonnées. D'où ma question.

[vaincent]

Bonsoir,

je trouve tout à fait normal qu'une fonction soit différente en différents point de l'espace(impulsion ou position). Une transformation galiléenne doit logiquement rétablir l'égalité recherchée.

[coussin]

Lorsqu'un cours donne la formule :

Mouais, je suis pas d'accord
La formule que tu cites ici est la définition d'une TF. Après, tu peux y ajouter des constantes p0, q0 ou je ne sais pas quoi mais dans ce cas, ce n'est plus une TF : tu auras des termes en plus qui dépendent des constantes que tu as mis. Et je soutiens que ça s'apparente alors plutôt à un produit de convolution

[Burakumin]

Mouais, je suis pas d'accord
La formule que tu cites ici est la définition d'une TF. Après, tu peux y ajouter des constantes p0, q0 ou je ne sais pas quoi mais dans ce cas, ce n'est plus une TF : tu auras des termes en plus qui dépendent des constantes que tu as mis. Et je soutiens que ça s'apparente alors plutôt à un produit de convolution

Alala je sens qu'on risque de se noyer dans les incompréhensions.

Donc mettons les choses proprement. Soit E un euclidien (= réel + dim fini + produit scalaire). Soit l'hilbertien des champs à valeurs complexes sur E de carré intégrable. Je définis l'opérateur de H dans H par qui est donc une "vraie" transformation de Fourier comme tu dis. Maintenant considérons une fonction d'onde en position . J'en fais quoi ?

- Ben tiens ! Tu calcules !

- Et non mon gars ! Parce que l'espace de départ de n'est PAS un espace vectoriel, c'est un espace affine. Evidemment avec la manie en physique d'utiliser n'importe où, on ne sait jamais si l'on considère sa structure topologique, métrique, vectorielle, affine, de groupe, ordonnée, différentielle, etc, etc. Et en fait beaucoup de gens ne comprennent même pas les différences. Donc je maintiens que parler de a autant de sens que de chercher à calculer .

- Mais ne peut-on pas généraliser la TF ?

- On peut effectivement. Mais l'extension la plus large que je connaisse porte sur des fonctions à valeur sur des groupes localement compacts. Tout ça est lié à ce qu'on appelle la dualité de Pontryagin. Mais peine perdue, un affine n'est pas non plus un groupe.

- J'ai jamais vu personne butter là dessus.

- Oui parce qu'implicitement on opère une transformation de nature des fonctions d'onde.

Je définie l'opérateur A0 qui appliquée à une fonction d'onde donne : . Donc A0 transforme ma fonction définie sur des points (des lieux) en une fonction définie sur des vecteurs (des déplacements).

Inversement soit B0 qui associe à ma fonction f définie sur mon espace vectorielle E, la fonction . Donc B0 transforme ma fonction définie sur des vecteurs (des déplacements) en une fonction définie sur des points (des lieux).

En revenant à ma fonction d'onde définie sur des points de l'espace q je peux maintenant la transformer en la fonction qui sera effectivement compatible avec la TF. a un sens et en calculant je reviens sur qqch qui a la nature d'une fonction d'onde (en impulsion cette fois). Le problème c'est que ce procédé m'a obligé à injecter deux constantes : il n'y a pas d'opérateurs A et B canoniques. Chaque variante correspond respectivement à fixer un point d'origine de l'espace (q0) et à fixer un référentiel inertiel (p0).

Bonsoir,

je trouve tout à fait normal qu'une fonction soit différente en différents point de l'espace(impulsion ou position). Une transformation galiléenne doit logiquement rétablir l'égalité recherchée.

Je ne suis pas sûr de comprendre la remarque. Si c'est stricto sensu dire qu'il est normal que ma fonction d'onde ne soit pas constante dans l'espace, la réponse est évidente mais ce n'est pas le problème ici. Si en revanche c'est dire qu'il n'est pas génant qu'elle dépende d'un paramètre additionnel qui est physiquement arbitraire, moi je ne trouve pas ça normal.

[vaincent]

Bonjour,

A te lire on a plutôt le sentiment que c'est toi qui te nois dans les incompréhensions ! Tu confonds état quantique et fonction d'onde. Je te conseilles de relire les postulats de la mécanique quantique et la définition d'une fonction d'onde.

[invite76543456789]

Salut,
Pourquoi refuser un centre a l'espace? Tu choisis un referentiel pour pouvoir parler de la fonction d'onde dans ce referentiel, et la fonction d'onde va en dépendre... ca me choque pas personellement. Ta fonctions d'onde va juste differer d'un element de S1, ce qui ne changera rien a son module au carré, et c'est lui qui donne du sens physique.

Au passage il est faux qu'une fontion L2 s'annule a l'infini.

[invite76543456789]

D'ailleurs ta meme remarque s'applique à la position hein.

[Burakumin]

Bonjour,

A te lire on a plutôt le sentiment que c'est toi qui te nois dans les incompréhensions ! Tu confonds état quantique et fonction d'onde. Je te conseilles de relire les postulats de la mécanique quantique et la définition d'une fonction d'onde.

Malheureusement mon cher vaincent, il n'y a pas à ma connaissance de formulation des "postulats de la mécanique quantique" gravée sur une tablette en marbre quelque part dans le monde d'où tout un chacun tirerait la connaissance absolue (ou alors faut m'indiquer où, des références ?). Dans la littérature sur le sujet les formulations de la mécanique quantiques sont aussi diverses que les différentes interprétations épistémologiques.

Donc je voudrais bien savoir quelle est la différence pour une particule seule entre état quantique et fonction d'onde de ton point de vue (ou de celui d'une référence que tu trouves pertinente) et surtout en quoi cette différence est éclairante pour le problème qui se pose ici et qui ne me semble pas spécialement flou.

Salut,
Pourquoi refuser un centre a l'espace? Tu choisis un referentiel pour pouvoir parler de la fonction d'onde dans ce referentiel, et la fonction d'onde va en dépendre... ca me choque pas personellement. Ta fonctions d'onde va juste differer d'un element de S1, ce qui ne changera rien a son module au carré, et c'est lui qui donne du sens physique.

Non je n'ai pas en tête de choix de référentiel pour y parler de fonction d'onde. Je considère la fonction d'onde comme objet indépendant d'un choix de référentiel. A toi de me dire si tu estimes que ce n'est pas physiquement sencé. J'essaie systématiquement d'éjecter tous les choix arbitraires dans les modélisations que je manipule. Je ne raisonne jamais en coordonnées que dans un second temps (aprés avoir assimilé une approche générale) et que si c'est pragmatiquement intéressant (= si ça élimine de la lourdeur dans les calculs).

Quand à la différence de S1, c'est ce que j'avais cru devoir trouver. Donc je m'étais dis qu'on devait pouvoir éjecter ce problème en remplaçant le corps complexe par une variante plus faible, mais aprés calcul je ne suis pas tombé là dessus. Je reprendrais ce soir (ou demain) et j'exposerais là où mes conclusions bloquent.

[invite76543456789]

Il me semble que pour parler de position, ou meme d'impulsion (mv n'a de sens que dans un referentiel donné, pas un sens intrinsèque) dans le cas classique, tu dois avoir choisi un referentiel.
La fonction d'onde d'un systeme quantique, ne fait sens qu'une fois un referentiel choisi, si tu change de referentiel la fonction d'onde sera differente.
Dans le cas d'une particule quantique par exemple, sa position est notée x, ou x vit dans R^n (l'espace vectoriel R^n si tu veux), tu as déja choisi une origine, et la transformée de Fourier y a du sens. La fonction d'onde en impulsion est alors image de la fonction d'onde en position via la tranformée de Fourier. La realtion entre les deux ne depend pas du referentiel choisi, mais les expressions correspondantes si.

[invite76543456789]

Me semble que tu devrais trouver en changeant d'origine pour l'impulsion et la position , juste une dephasage donc.

[coussin]

[…] Je considère la fonction d'onde comme objet indépendant d'un choix de référentiel. […]

C'est ambiguë… Prenons la fonction d'onde d'un électron dans un atome d'hydrogène. Dans l'absolue, elle est ce qu'elle est, quelque soit l'origine du référentiel. Maintenant, écrivez cette fonction d'onde dans un référentiel qui n'est pas centré sur le proton : vous obtenez automatiquement une somme infini d'ondes partielles, convergeant d'autant plus lentement que le centre de votre référentiel est loin du proton.

[vaincent]

il n'y a pas à ma connaissance de formulation des "postulats de la mécanique quantique" gravée sur une tablette en marbre quelque part dans le monde d'où tout un chacun tirerait la connaissance absolue (ou alors faut m'indiquer où, des références ?). Dans la littérature sur le sujet les formulations de la mécanique quantiques sont aussi diverses que les différentes interprétations épistémologiques.

C'est la meilleure celle-là! Comment se fait-il alors que je n'ai vu que ça au cours de mes études ? Tu peux déjà aller voir au chapitre 3 du tome 1 d'une référence en la matière : le Cohen-Tannoudji. Il y a le Messiah également, le Basdevant-Dalibard, etc...

Donc je voudrais bien savoir quelle est la différence pour une particule seule entre état quantique et fonction d'onde de ton point de vue (ou de celui d'une référence que tu trouves pertinente) et surtout en quoi cette différence est éclairante pour le problème qui se pose ici et qui ne me semble pas spécialement flou.

Par exemple ici

Elle est éclairante car tu te trompes d'espaces dans lesquels il faut travailler. Je vais pas te refaire un cours de MQ alors que c'est expliqué dans n'importe quel bouquin. Je n'ai certainement pas à jusitifier en quoi la MQ est mathématiquement bien définie, car c'est cela que tu sembles remettre en cause. Donc tu t'imagines bien que c'est forcément toi qui te goure dès le début.

[Deedee81]

Salut,

Burakumin, Vaincent, calmez-vous. On peut se tromper, rectifier, discuter sans se manger le nez En plus le nez n'a pas bon goût.

Vaincent, je suis d'accord avec tes explications. Pour préciser la réponse à une question plus haut, je dirais que la différence entre état et fonction d'onde est que la deuxième n'est qu'une représentation particulière du premier. Même le vecteur d'état n'est qu'une représentation même s'il est plus fidèle" (il ne dépend ni du repère, ni de la base choisie.... du moins si on n'explicite pas ses composantes). L'exemple de coussin est fort parlant je trouve.

Et si je suis d'accord sur le fait que les interprétations sont multiples tout comme les formulations (il y en a moins quand même, heureusement pour l'étudiant), par contre les postulats sont eux plutôt standard. En tout cas, dans tous mes livres de MQ on retrouve les mêmes (Vaincent, les pages pointées ne sont pas consultables gratuitement. Je n'ai par ailleurs pas ce livre.... mais j'en ai plusieurs autres dont l'excellent Shiff Quantum Mechanics).

[invite76543456789]

Je n'ai certainement pas à jusitifier en quoi la MQ est mathématiquement bien définie, car c'est cela que tu sembles remettre en cause. Donc tu t'imagines bien que c'est forcément toi qui te goure dès le début.

Pour travailler sur le sujet, je peux t'assurer qu'il y a pas mal de poussiere sous le tapis de ce côté la.

[GillesH38a]

Me semble que tu devrais trouver en changeant d'origine pour l'impulsion et la position , juste une dephasage donc.

absolument, une translation d'origine sur les coordonnées se traduit par un déphasage sur la TF, et n'introduit donc aucune modification sur les observables physiques, ce qui est normal puisque la probabilité d'observer une impulsion donnée ne dépend pas de l'origine. En revanche si on fait un changement de référentiel galiléen ça se traduira naturellement par une translation de la TF dans l'espace des p.

[Burakumin]

Un cours message pour remercier les différentes interventions de leur piste.

Malheureusement je n'ai ces quelques jours pas du tout le temps de me repencher sur la MQ. Mais j'y reviens dés ce week end. Notamment pour tenter d'apaiser certaines tensions et exposer mes calculs et l'endroit où je butte.

Merci

[Burakumin]

Me semble que tu devrais trouver en changeant d'origine pour l'impulsion et la position , juste une dephasage donc.

absolument, une translation d'origine sur les coordonnées se traduit par un déphasage sur la TF, et n'introduit donc aucune modification sur les observables physiques, ce qui est normal puisque la probabilité d'observer une impulsion donnée ne dépend pas de l'origine. En revanche si on fait un changement de référentiel galiléen ça se traduira naturellement par une translation de la TF dans l'espace des p.

Bonjour MissPacMan et gillesh38,

Le problème est que n'arrive justement pas à trouver des probabilité d'observations cohérentes. Je n'avais pas adopté de point de vue en coordonnée jusqu'à présent mais je pense que je peux y exhiber le problème équivalent. Je considère donc pour cela ma particule dans un espace de dimension 1. Je choisis deux référentiels A et B munis chacun d'une origine respective (les deux coïncidants à t=0). Je nomme v la vitesse (salaire) de B par rapport à A dans un sens arbitrairement choisi positif. Je considère mon système à l'instant .

Un point q sera donc représenté dans A par le nombre et dans B par . De même une impulsion p sera représentée dans A par le nombre et dans B par .



Comme , je considère que si la fonction d'onde en position est représentée respectivement par et , j'ai :



De même la fonction d'onde en impulsion associée, représenté par et devrait me semble-t-il vérifier :



Or j'ai . D'où:



Or je m'attendrais à trouver . Alors oui le facteur n'a pas d'importance si l'on prend la norme mais n'empeche que je ne diffère pas d'un complexe unitaire (élément de ) mais bien d'un champs de complexes unitaires puisque ce facteur varie en fonction d'une coordonnée spatiale. Beaucoup plus embétant j'ai un de décalage. Autrement dit, la probabilité d'appartenance à une même zone spatiale diffère dans les deux expressions (toute deux exprimées dans le même repère). Et je trouve ça franchement perturbant.

Je ne dis pas qu'il n'y a pas d'erreur. Je dis que je ne la voie pas. Sans doute y a-t-il là un problème conceptuel plus que de calcul (je fais des choses qui contre toute apparence ne sont pas/plus légales en MQ), n'empêche que ça ne m'apparaît pas évident (même si je suspecte que ça se passe au niveau du comportement de l'impulsion: ).

Elle est éclairante car tu te trompes d'espaces dans lesquels il faut travailler. Je vais pas te refaire un cours de MQ alors que c'est expliqué dans n'importe quel bouquin. Je n'ai certainement pas à jusitifier en quoi la MQ est mathématiquement bien définie, car c'est cela que tu sembles remettre en cause. Donc tu t'imagines bien que c'est forcément toi qui te goure dès le début.

Pour préciser la réponse à une question plus haut, je dirais que la différence entre état et fonction d'onde est que la deuxième n'est qu'une représentation particulière du premier. Même le vecteur d'état n'est qu'une représentation même s'il est plus fidèle" (il ne dépend ni du repère, ni de la base choisie.... du moins si on n'explicite pas ses composantes). L'exemple de coussin est fort parlant je trouve.

Bonjour Vaincent et Deedee81

Je n'ai malheureusement pas accés au bouquin de Monsieur Cohen-Tannoudji. Par contre dans le document que j'ai trouvé ici: http://www.tau.ac.il/~odedhod/Teachi...QC-Class02.pdf et qui cite ou reformule Monsieur Cohen-Tannoudji, je peux lire:

Cohen-Tannoudji et al. ch. 3, slightly different form Levine ch.
7.8.

1. The state of a physical system is described by a well-behaved
function of the coordinates and time, . The function
contains all the information that can be known about the
system.

De même dans le Shiff je lis:

The wave function [...] is now assumed to provide a quantum mechanically complete description of a particle of mass m [...]

Si l'espace des états est plus gros que l'espace des fonctions d'onde, il est clair que l'espaces des états contient plus d'information. Mais si comme semble le suggèrer ces deux références, ces espaces sont simplement isomorphes (comme le sont l'espace de fonctions d'ondes en position et celui des fonctions d'ondes en impulsion), je ne vois pas comment travailler dans l'un serait plus pertinent pour des raisons autres que purement calculatoire. A moins bien sûr que le problème réside dans un choix arbitraire d'isomorphisme entre les deux. Est-ce là le problème ? Coussin semble dire que la fonction d'onde a une valeur intrinsèque (elle est ce qu'elle est) mais quand je te lis Deedee81 j'ai l'impression qu'elle est (contrairement au vecteur d'état) relative. Qu'en est-il ?

Merci

[invite76543456789]

Heu je pense pas que la transformée de la fonction d'onde en impulsion on meme en position soit aussi simple. Deja parce que je pense pas que se donne la bonne chose au niveau d'un vecteur propre, puisque tu devrais avoir un truc du style G^{-1}(v,t)xG(v,t)=x+vt pour x un etat propre de position de ta particule. M'etonnerait franchement que les formules de passages soient si simples (et j'ai griffoné deux trois trucs qui me semble confirmer cela, je détaillerait cela plus avant, quand j'aurais un moment). De même pour la formule de passage en impulsion.

Autant pour une simple translation je pense que la formule naïve est la bonne, autant pour une transformation galiléenne, je pense que c'est pas ca la bonne formule qui te permet de passe de la fonction d'onde en position A à celle en position B (et encore plus en impulsion).

Et ensuite, quand je parlais d'un element de S1, je parlais ponctuellement, donc oui un champ unitaire si tu preferes.

[invite76543456789]

Bon, je confirme ce que je disais hier, un moyen simple de la voir c'est pas ce que je disais (d'ailleurs y a un G^{-1} en trop dans ce que je disais et justement la méthode "naïve" donne la bonne chance sur les etats propres pour peu qu'on s'autorise à les chercher dans D'(R), ce sont alors... les diracs... pas étonnant, me direz vous, mon sens physique atrophié ne m'avait meme pas fait percuter ca).

Par contre si on regarde ce qu'il se passe sur les ondes planes, ca ne marche pas!
En effet si on regarde ce qu'il se passe pour une particule libre (avec les arnaques habituelles, of course), sa fonction d'onde dans le premier referentiel est donnée par (une superposition) de (ou j'ai oublié un hbar, dont je me fous un peu). mais dans le second referentiel elle doit etre donnée par et en developpant p', x' et E' en fonction de p,x et E, on s'apercoit qu'il y a un terme de phase qui apparait en plus de la transformation naïve (puisque E' va lui aussi etre transformé).

J'ai pas fait le calcul mais il n'est pas impossible que ce terme compense exactement ce que tu voulais.

[Burakumin]

Bonjour MissPacMan

Effectivement, comme tu l'avais précisé, le changement de référentiel pour les fonctions d'onde est plus compliqué que ce que j'avais naïvement pensé. J'ai trouvé dans ce bouquin à la page 411 un certain nombre de formules à ce propos qui rejoignent les tiennes.

Du coup, puisque les fonctions d'ondes classique dépendent bien d'un référentiel d'expression, je me demande s'il est possible de définir une fonction à valeur géométrique dont les "coordonnées" dans les différents référentiels donnerait les fonctions d'ondes (même si j'ai une petite idée sur la question).

En tout cas grand merci pour l'aide.

[invite76543456789]

Aucun probleme! (je la trouvais tres interesserante cette question!)