Fonction d'onde

[invite7acf1a98]

Bonjour, je suis en 1ère année de médecine et on a abordé la notion de fonction d'onde. Mais qu'est ce que c'est exactement ?? Je dois juste retenir que fonction d'onde = orbitale atomique ?

Voici ce que j'ai dans mon cours :

* L'électron est à la fois dans un état ondulatoire et corpusculaire, seule sa probabilité de présence Fi en un point est mesurable, j'ai alors :

dP=|Fi(x,y,z,t)²|.dV où Fi= fonction d'onde.

* Les fonctions d'onde Fi des électrons atomistique sont nommées : Orbitales atomique et sont obtenus par l'équation de Shrödinger :

H.Fi=E.Fi où H= opérateur hamiltonien .

Sinon, le lien entre "ondulatoire" et "corpusculaire" si j'ai bien compris c'est que l'électron est un corpuscule , donc particule en mouvement, auquel on associe une onde, dont la fréquence est liée à la quantité de mouvement . Mais ceci est-il valable pour TOUTES les particules ????

Au pire des cas "j'accepte" bêtement ce qu'on me dit, mais bon, ça m'embête de pas BIEN comprendre la chose.

Merci d'avance pour votre aide !!
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[invite2ba75453]

ondulatoire signifie comme une onde (sous entendu que l'électron se comporte comme une onde)
corpusculaire signifie que l'electron se comporte aussi comme une particule.
=>c'est juste pour dire que la fonction d'onde prend en compte ces deux propriétés (ca peut avoir l'air curieux comme ca, c'est parce qu'on a pas découvert en même temps qu'ils etaient les 2).

Principe d'incertitude d'heinsenberg:
dit qu'on ne peut savoir la vitesse de l'electron ET sa position car il "bouge trop vite".
Imagines que tu veuilles prendre en photo un skieur qui descend une piste à 100km/h et toi tu es immobiles...ta photo sera surement floue, eh ben un electron, c'est pire !
C'est pourqui on ne peut que connaitre sa probabilité de présence en un endroit.

Toutes les particules ne sont pas corpusculaire ET ondulatoire !
une balle de tennis, c'est juste corpusculaire (par exemple)
la vibration d'une corde de guitare c'est juste ondulatoire

[moco]

Vaste programme !
Par où commencer ?
Tout d'abord, il faut admettre que l'électron est une corpuscule qui ne tourne pas dans l'atome, qui ne vibre pas et n'est pas au repos non plus. Si c'était un petit objet qui se déplaçait dans l'atome, il changerait constamment de position, et il perdrait alors sans cesse de l'énergie. Pourquoi ? Parce que, dans sa première position, il attirerait tous les autres protons de l'univers dans sa direction (et repousserait aussi les électrons de l'univers selon la même direction). Mais l'instant d'après, il attire les protons dans une autre direction. Et ce faisant il déplace les autres protons et électrons et il cède de l'énergie au reste de l'univers. Il finirait par s'effondrer sur le noyau.

On résout cette difficulté en disant que l'électron n'a pas de position et de vitesse. Cela ne veut pas dire qu'il a une vitesse nulle. Non, cela veut dire qu'il n'a pas de vitesse, comme il n'a pas de religion non plus. Par contre il a de l'énergie cinétique. Et évidemment c'est difficile d'admettre qu'il a de l'énergie cinétique (E = 1/2 mv²) et pas de vitesse.

L'électron se comporte un peu comme une corde vibrante. Une corde de violon possède de l'énergie cinétique, mais pas de vitesse. Chaque point de la corde a une vitesse momentanée, qui change constamment. Mais la corde n'a pas de vitesse. Elle n'a pas non plus de vitesse nulle.

On a résolu cette difficulté par un artifice mathématique. On part de l'énergie totale d'un corpuscule qui est la somme de l'énergie potentielle électrique (= constante e²/r) et de l'énergie cinétique (E = 1/2 mv²). Mais comme la vitesse est à proscrire, on effectue une sorte de tour de passe-passe mathématique, et on remplace v² par un opérateur de dérivation, une dérivée seconde. J'espère que tu sais ce que c'est une dérivée seconde.
La dérivée seconde de x³, c'est 6 x.
Celle de A sin kx, c'est - Ak²sin kx.
Celle de A e^kx, c'est Ak² e^kx
Les dérivées secondes de A sin kx et de A e^kx a ceci de particulier, qu'elle revient à multiplier A sin kx ou A e^kx par une constante (-k² ou k²).
On appelle de telles fonctions des fonctions propres de l'opérateur de dérivation seconde. Et la constante k² ou -k² est une valeur propre de l'opérateur de dérivation seconde.
L'opérateur de dérivée seconde s'écrit parfois d²/dx²

Donc l'énergie E de l'électron, ainsi transformée, s'exprime alors par une expression qu'on appelle un hamiltonien H et qui s'écrit :
H = constante e²/r + constante d²/dr²

Ce hamiltonien n'a aucun sens en soi, tant qu'on n'a pas dit sur quelle fonction de x on va faire la dérivation. C'est là qu'intervient Schrödinger. Attention ! Ce qui suit est difficile à comprendre.
Il dit que l'énergie de l'électron se trouve en cherchant une fonction phi de x, y et z, ou de phi(r) (qu'on appelle fonction d'onde), qui soit telle que si on la dérive deux fois et qu'on y ajoute la constante e²/r, on arrive à la fin au même résultat que si on multipliait cette fonction d'onde phi par une constante. Et cette dernière constante est l'énergie E de l'électron. Ceci s'écrit : H phi(r) = E phi(r).
C'est l'équation de Schrödinger. Elle s'écrit aussi :
constante e²/r phi(r) + constante d²phi(r)/dr² = E phi(r)

Il reste à trouver les expressions de phi(r) qui soient des fonctions propres de l'opérateur hamiltonien. C'est un travail difficile. Mais on obtient plusieurs solutions qui sont toutes des combinaisons de sinus et d'exponentielles, du genre sin²kr cosk'r + e^k"r/sink'r. C'est un peu l'horreur.

En trigo, on a souvent des solutions du genre : y = quelque chose + 2kpi, où on introduit des constantes arbitraires k. C'est un peu pareil ici, sauf que ces constantes arbitraires s'appellent "nombre quantique"

Pour résumer, l'électron est une sorte de particule qui occupe tout l'espace de l'atome. On peut dire qu'il vibre comme une corde à trois dimensions dans une espèce de 4ème dimension, qui est la dimension phi. Comme on n'arrive pas à se représenter cela, on se contente d'exprimer la fonction d'onde par une formule mathématique ou par un petit dessin qui représente là où la vibration est la plus forte. On obtient des sortes de sphères (pour les fonctions d'onde dites s) ou des sortes de haltères (pour les fonctions dites p), etc.

Tu as suivi ?

Je m'arrête. Je fatigue !

[invite2ba75453]

Magnifique Moco !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7acf1a98]

WOUAA Mon cours n'est pas aussi poussé (absolument pas même!!) sur les fonctions d'onde, on nous balance des formule, une légère explication et basta, je me demandais juste ce que c'était exactement. Sinon, oui je sais ce qu'est une dérivée 2nde xD, en tout cas, grâce à vos réponses, dans ma tête c'est quand même plus ordonnée, comme en médecine on nous fait ingurgiter tellement de choses que parfois ..Bref.

Merci encore

[DervishSatori]

Bonjour,
J'essaye également de comprendre la théorie des orbitales moléculaires et j'aimerais avoir quelques précisions:
tout d'abord j'aimerais connaître précisément le sens de la notation |phi>: est ce juste la fonction d'onde phi ou autre chose.
Ensuite, si H|phi> représente l'opérateur hamiltonien appliqué à phi, comment comprendre la notation <phi|H|phi>.

Merci,
Bonne journée

[philou21]

...|phi>: est ce juste la fonction d'onde phi ou autre chose.
Ensuite, si H|phi> représente l'opérateur hamiltonien appliqué à phi, comment comprendre la notation <phi|H|phi>...

Bonjour
la réponse va vraiment dépendre de ton niveau...

en toute rigueur Ψ(r) et |Ψ> sont deux choses différentes. |Ψ> représente l'état du système, c'est un vecteur appartenant à l'espace des états. Ψ(r) est la fonction d'onde qui est, si tu veux, la représentation de |Ψ> sur la base des postions spatiales.

C'est un peu la même différence qu'il peut y avoir entre un vecteur V et ses coefficients a et b sur une base (u₁, u₂) tel que V=au₁+bu₂

Ψ(r) prend le rôle des coef a et b mais ici c'est une fonction continue de r car la base les positions dans l'espace est continue.

[DervishSatori]

D'acc, merci.
Je découvre cette matière alors je préfère être rigoureux.
Donc si |> représente un vecteur, <| représente le vecteur de direction opposée?
Quand on veut calculer une orbitale moléculaire, on part par exemple pour une molécule de 2 atomes des 2 orbitales atomiques phi1 et phi2 et on dit que l'OM psi est une combinaison linéaire de phi1 et phi2.
Après on cherche psi avec l'équation de Schrödinger: H|PSI>=E.|PSI>.
Mais à cette étape je ne comprends pas à quoi sert de multiplier des 2 côtés par<PSI|. C'est un artifice de résolution?

[philou21]

...Donc si |> représente un vecteur, <| représente le vecteur de direction opposée?

Non <u|v> représente le produit scalaire des deux vecteurs |u> et |v>
si u(x) et v(x) représentent les fonctions d'onde des états |u> et |v> alors <u|v>=ʃu*(x)v(x)dx
où u*(x) est le complexe conjugué de u(x).

Quand on veut calculer une orbitale moléculaire, on part par exemple pour une molécule de 2 atomes des 2 orbitales atomiques phi1 et phi2 et on dit que l'OM psi est une combinaison linéaire de phi1 et phi2.
Après on cherche psi avec l'équation de Schrödinger: H|PSI>=E.|PSI>.
Mais à cette étape je ne comprends pas à quoi sert de multiplier des 2 côtés par<PSI|. C'est un artifice de résolution?

Ben non si tu as compris ce qu'était le produit scalaire.
Si tu veux tirer E de cette équation : H|ψ>=E|ψ>, il faut que effectues un produit scalaire : <ψ|H|ψ>=<ψ|E|ψ>. E étant un nombre tu peux le sortir de l'intégrale : <ψ|H|ψ>=E<ψ|ψ> et les vecteurs étant normés <ψ|ψ>=1 le tour est donc joué : E=<ψ|H|ψ>

[DervishSatori]

ok ça commence à s'éclaircir.
Merci bien