équation en mécanique quantique

[invite69845a40]

Bonjour,j'ai besoin d'un éclaircissement.Je voudrai savoir ce qu'explique l'équation de Diraac et si à partir d'elle on peut obtenir le principe d'incertitude d'Heisenberg.Merci d'avance
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Le principe d'incertitude de Heisenberg ne vient pas de l'équation de Dirac, il n'a rien à voir avec elle. Il vient de la relation de non commutation entre les observables position et impulsion .

L'équation de Dirac est une équation invariante relativiste (donc, compatible à la fois avec la physique quantique et avec la relativité restreinte) qui décrit un champ que l'on interprête comme de la matière, en fait pas particules de spin 1/2 (on peut la généraliser pour des fermions de spin plus élevé 3/2, 5/2, etc.).

N'hésitez pas à chercher des informations sur cette équation sur le net Entre autres, vous verrez comment on a mis au point l'équation de Gordon-Klein, et comment on voit que cette équation n'est pas satisfaisante. C'est à partir de là qu'on s'est mis à chercher une équation équivalente et qui a aboutit à l'équation de Dirac (je ne suis pas sur de la chronologie, c'est plus une présentation pédagogique).
Ou bien, pour une introduction en douceur, regardez dans le livre de Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg "Introduction à l'électrodynamique quantique" (quelques pages dans un complément du dernier chapitre) que vous devriez trouver dans toutes les bibliothèques universitaires (en sciences).

@+

[invitefc7d7ed3]

Salut,

Dirac avait semble-t-il en tête de trouver une équation du premier ordre relativiste pour décrire l'électron. Il voulait cela parce que pour faire de la mécanique quantique c'est plus satisfaisant d'avoir une équation du premier ordre en temps (une fonction d'onde spécifie un état, pas besoin d'en préciser les dérivées), et car l'équation de Klein-Gordon (du second ordre) donne des solutions d'énergie négative, ce qu'on ne savait à l'époque pas interpréter. Si tu veux, son but était d'utiliser les opérateurs connus (dont font partie x et p), en les combinant pour obtenir une équation satisfaisante. À ce titre, l'équation ne peut pas être obtenue à partir des relations de commutation mais les objets qui la composent (uniquement p pour l'équation de Dirac d'une particule libre, mais aussi x si la particule est soumise à un potentiel) vérifient bien ces relations. Une analogie peut être que si on se munit de deux types d'engrenages qui s'emboitent d'une certaine façon, on peut faire pas mal de machines différentes en les utilisant et rien à priori ne nous dit qu'on va faire une montre plutôt qu'une boite à musique. De même, x et p commutent d'une certaine façon, et on peut les utiliser pour écrire l'équation de Schrödinger, ou celle de Dirac, ou d'autres encore, ce sont juste des briques de base qui fonctionnent d'une certaine manière entre elles.

Pour revenir à Dirac, son programme a partiellement réussi : il a bien trouvé une équation du premier ordre mais elle contient toujours des solutions d'énergie négative. Le point vraiment sympathique était que les solutions doivent être des bêtes mathématiques un peu spéciales : des champs de vecteurs complexes à au moins 4 composantes.

Super, puisque dans la version minimale à 4 composantes, les solutions d'énergie positive se comportaient exactement comme ce que l'on attendrait d'un électron : ça décrit une particule chargée de spin 1/2, avec un rapport gyromagnétique de 2. En prenant un détour qui n'a été simplifié que plus tard par Feynman, Dirac a interprété les solutions d'énergie négative comme les anti-particules associées à l'électron : les positrons, qu'on n'avait alors jamais observé. Coup de chance ou de génie, 4 ans plus tard, on découvrait expérimentalement le positron !

En réalité, l'équation de Klein Gordon, comme l'équation de Dirac, prend toute son sens dans le contexte de la théorie quantique des champs, qui est en gros une mécanique quantique (souvent relativiste) où l'on considère des systèmes à nombre variable et arbitrairement grand de particules et où l'on ne manipule plus de fonctions d'ondes (si tu as déjà traité l'atome d'hydrogène en MQ, tu peux sûrement comprendre la difficulté d'un tel programme juste avec des fonctions d'ondes !), mais d'autres objets plus puissants. Dans ce contexte, les solutions d'énergie négative apparaissent de manière limpide comme les anti-particules des solutions d'énergie positive et l'aspect 1er ou deuxième ordre n'a plus d'importance, car l'évolution des fonctions d'ondes n'est plus ce qu'on utilise pour étudier une évolution temporelle.

C'est pour ça que je trouve que, si l'approche historique est intéressante, elle est insatisfaisante pour comprendre pourquoi l'équation de Klein Gordon est suffisante pour les particules de spin 0 et pas pour les électrons (car toute solution de l'équation de Dirac est solution de l'équation de Klein Gordon ; pourquoi ajouter cette contrainte supplémentaire ?). Ainsi, pour vraiment comprendre d'où vient l'équation de Dirac, une fois que tu auras étudié l'approche historique (qui est extrêmement instructive cependant), je te conseille de te tourner vers les explications plus modernes qui montrent pourquoi une description satisfaisante des particules de spin 1/2 doit nécessairement impliquer l'équation de Dirac et qui permet la généralisation mentionnée par albanxiii aux spin 3/2, 5/2,... Pour cela, je te recommande le livre de Ryder, "Quantum Field Theory", dont le deuxième chapitre traite justement cette approche moderne (il faut maîtriser la relativité restreinte et un peu de théorie des groupes cependant).