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Mécanique quantique et équation de MAXWELL



  1. #1
    monnoliv

    Pour reprendre un post non fini (pour moi, cfr. http://forums.futura-sciences.com/viewtopic.php?t=3133), j'aimerais connaître l'implication (au sens mathématique) entre les équations qui décrivent les processus quantiques et les équations de MAXWELL.
    Comment à partir de l'équation de Shröedinger ET des postulats, arrive t'on à trouver les équations de MAXWELL ?
    Bàv,

    -----
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  2. Publicité
  3. #2
    Karibou Blanc

    Salut,

    On peut retrouver les équations de Maxwell avec le principe de moindre action en écrivant le lagrangien des champs. De la même manière on peut retrouver l'équation de Schrödinger, avec un principe variationnel en utilisant les postulats de Feynman. Mais je ne pense pas qu'il est un lien entre l'équation de Schrödinger et celles de Maxwell, mis à part le fait que Schrödinger s'est inspiré des équations d'ondes déduites de la théorie de Maxwell pour écrire son équation.

    @plus

  4. #3
    monnoliv

    Ha bon ? Il me semblait que Rincevent affirmait que cela était possible.
    Si telle est la conclusion, alors il faut juste saluer l'élégance d'une formulation mathématique (le lagrangien) qui, selon les hypothèses de départ, donne l'équation de Schrödinger ou celles de MAXWELL...
    Cela change beaucoup pour moi, cela veut dire qu'en réalité ces équations ne sont pas liées!
    Bon, merci.
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  5. #4
    isozv

    Tu peux tout retrouver à partir de l'équation relativiste de Schrödinger (Klein-Gordon) et démontrer ainsi la relation de Coulomb (théorème de Yukawa a symétrique sphérique). Après, en passant par la relativité restreinte, tu peux démontrer l'existance du champ magnétique et ensuite le tout est joué.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    elfe vert

    Citation Envoyé par monnoliv
    Cela change beaucoup pour moi, cela veut dire qu'en réalité ces équations ne sont pas liées!
    Bon, merci.
    elles le sont forcement vu que l'equa de schro decrit les fonctions d'ondes et que l'equa de maxwell en est une!

  8. #6
    Karibou Blanc

    Salut,

    elles le sont forcement vu que l'equa de schro decrit les fonctions d'ondes et que l'equa de maxwell en est une!
    Le fait qu'elles décrivent le même type d'objet (une onde) ne signifie pas qu'elles soient necessairement liées entre elles, c'est à dire qu'on puisse en déduire une à partir de l'autre. Par ailleurs, les ondes qu'elles décrivent sont de natures très différentes physiquement, même si l'expression mathématique est très similaire.

    Tu peux tout retrouver à partir de l'équation relativiste de Schrödinger (Klein-Gordon) et démontrer ainsi la relation de Coulomb (théorème de Yukawa a symétrique sphérique). Après, en passant par la relativité restreinte, tu peux démontrer l'existance du champ magnétique et ensuite le tout est joué.
    Peux-tu nous donner une référence où trouver cette démonstration ?

    bonne journée à tous !

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  10. #7
    isozv

    Pour la partie Yukawa, voir le chapitre "Mécanique quantique des champs" sur mon site.

    Pour la partie Klein-Gordon, voir le chapitre "mécanique quantique ondulatoire sur mon site"

    Pour la partie relativiste, voir le chapitre "mécanique relativiste sur mon site"

    Pour voir, enfin, les équations de Maxwell, voir le chapitre "Equations de Maxwell" toujours.... sur mon site

    Cordialement

  11. #8
    monnoliv

    Tu peux tout retrouver à partir de l'équation relativiste de Schrödinger (Klein-Gordon) et démontrer ainsi la relation de Coulomb (théorème de Yukawa a symétrique sphérique). Après, en passant par la relativité restreinte, tu peux démontrer l'existance du champ magnétique et ensuite le tout est joué.
    Bof... un peu court.

    ETAPE 1: Supposons prouvé la relation de Coulomb par l'équation relativiste de Schrödinger,
    ETAPE 2: Supposons prouvé l'existence du champ magnétique avec la relativité restreinte (qui soit dit en passant est strictement équivalente aux équations de MAXWELL, donc c'est le chat qui se mort la queue),
    Avec ces deux étapes, comment arrives-tu aux équations de MAXWELL ? Peux-tu en dire plus ? Tu ne crois pas que l'étape 2 est caduque ?
    Bàt,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  12. #9
    Rincevent

    avec la relativité restreinte (qui soit dit en passant est strictement équivalente aux équations de MAXWELL,
    depuis quand????

    les equations de Maxwell sont compatibles avec la relativite, mais pas equivalentes a cette derniere...

    la relativite dit juste: "il existe une symetrie pour toutes les equations de la physique".

    mais elle ne dit aucunement quelles sont ces equations. Elle donne juste des contraintes sur leur forme possible.

    Ha bon ? Il me semblait que Rincevent affirmait que cela était possible.
    je me suis mal exprime si c'est ce que tu as compris. Mon discours etait tres semblable a celui de KB, a ceci pres que j'allais un peu plus loin en disant qu'avec certains arguments de symetrie, de simplicite, et autres choses du genre, tu pouvais presque deviner la forme correcte du lagrangien qui va te donner les equations de Maxwell (disons que mathematiquement il est presque "naturel" quand tu connais la geometrie differentielle). Mais rien de plus: ce lagrangien (avec le principe de moindre action) est equivalent aux equations de Maxwell, ni plus ni moins, c'est un postulat different mais equivalent.

  13. #10
    monnoliv

    Ha, j'ai retrouvé mon cours.

    On démontre les équations de MAXWELL à partir des deux postulats de la relativité restreinte:
    [code:1:c4da164589]Les deux postulats:
    1. Les lois décrivant les changements d'états de systèmes physiques ne se modifient pas lorsqu'on exprime ces changements d'état dans l'un ou l'autre de deux systèmes de coordonnées en mouvement de translation uniforme l'un par rapport à l'autre.
    2. Constance de la vitesse de la lumière[/code:1:c4da164589]
    qu'on applique à la loi de Coulomb.

    J'allais un peu vite en affirmant l'équivalence puisque la loi de Coulomb intervient . Il n'en reste pas moins que les éq. de MAXWELL sont fortement liées à la relativité restreinte puisque si elles sont fausses alors la relativité restreinte est fausse aussi (en supposant la loi de Coulomb bonne).

    je me suis mal exprime si c'est ce que tu as compris. Mon discours etait tres semblable a celui de KB, a ceci pres que j'allais un peu plus loin en disant qu'avec certains arguments de symetrie, de simplicite, et autres choses du genre, tu pouvais presque deviner la forme correcte du lagrangien qui va te donner les equations de Maxwell (disons que mathematiquement il est presque "naturel" quand tu connais la geometrie differentielle). Mais rien de plus: ce lagrangien (avec le principe de moindre action) est equivalent aux equations de Maxwell, ni plus ni moins, c'est un postulat different mais equivalent.
    Donc il n'y a pas de démonstration formelle. Donc le champ d'application de la mécanique quantique est confiné. Donc pas d'extrapolation macroscopique sans faire de nouvelles hypothèses. Donc la mécanique quantique est un modèle comme un autre.

    Sauf si ce qu'affirme isozv est vérifié:
    l'équation relativiste de Schrödinger (Klein-Gordon) démontre la relation de Coulomb (théorème de Yukawa a symétrique sphérique).
    Et encore... a-t'il introduit les postulats quantiques pour faire sa démonstration ? Si oui, on continue. Si non, on revient au point de départ.

    Bàt,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  14. #11
    Rincevent

    J'allais un peu vite en affirmant l'équivalence puisque la loi de Coulomb intervient. Il n'en reste pas moins que les éq. de MAXWELL sont fortement liées à la relativité restreinte
    pas plus que toutes les autres lois utilisees en physique moderne (et donc relativiste): elles sont compatibles avec elle alors que la force de Coulomb ne l'est pas. Si on prend celle-ci et on en cherche la generalisation relativiste la plus simple, on retrouve effectivement Maxwell. Mais il ne faut pas melanger les postulats dans cette demonstration: la relativite restreinte fait des postulats sur l'espace-temps et la loi de Coulomb sur le champ electr(omagnet)ique: il y a deux niveaux differents. Par ailleurs, les postulats que tu donnes pour la relativite restreinte sont ceux historiques. La formulation moderne remplace le deuxieme postulat par l'invariance de la vitesse des particules de masses (au repos) nulles. La lumiere et le photon ne sont ainsi que des exemples, et si on decouvre que le photon a une masse (tres petite mais) non-nulle, alors on ne reniera pas pour cela la relativite restreinte mais seulement Maxwell.

    puisque si elles sont fausses alors la relativité restreinte est fausse aussi (en supposant la loi de Coulomb bonne).
    ce que tu dis est inexact (a la fin seulement de ce que je te raconte je te dirai pourquoi) et justement, ce dernier point est le point faible de ton raisonnement. Il faut bien comprendre que la relativite restreinte est "seulement" un cadre pour les theories physiques et pour le formalisme au meme titre que l'etait la formulation de Newton avec un espace et un temps absolu plus sa troisieme loi

    F = m a.

    Mais meme dans le cadre de la description newtonienne, la forme des forces reste plus ou moins libre. Pour terminer l'analogie, la theorie de Newton et le principe de relativite de Galilee impliquent que tu peux toujours ecrire une force sous une forme vectorielle. Cela te donne une contrainte sur la forme de ces dernieres [ce sont des representations du groupe SO(3)]. En relativite restreinte, l'equivalent exact de cela est que tu dois pouvoir ecrire les "forces" (ou plutot les champs) comme des tenseurs (je passe sous silence le cas des spineurs qui ne change absolument rien a ce que je raconte), ce qui veut dire que ce sont des representations du groupe SO(3,1), groupe qui laisse invariant la metrique de Minkowski [le groupe SO(3) est celui qui laisse invariante la metrique euclidienne tridimensionnelle en accord avec le principe de Galilee]. Mais dans ce cadre-la, la forme reste libre. Tu peux decrire n'importe quel systeme physique, champ electromagnetique ou toute autre chose.

    Remettre en cause la forme d'une loi qui regit une interaction (comme les equations de Maxwell) ne remet pas necessairement en cause le cadre dans lequel tu travailles, loin de la: cela remet en cause les hypotheses que tu fais sur les particules et/ou champs autres que l'espace-temps (puisque celui-ci est desormais devenu un champ). Note bien que je ne dis pas que la relativite restreinte (ou meme generale) restera toujours valable. Simplement Maxwell echouera avant elle (puisque c'est deja fait).

    et pour finir, pourquoi les equations de Maxwell sont fausses: elles ne sont pas completement compatibles avec la physique quantique et les resultats de la physique moderne alors que la relativite (restreinte en tous cas, mais c'est suffisant de ne considerer qu'elle pour la question abordee) l'est. Dans le cadre du modele standard de la physique des particules, tu sais que l'on parle de l'interaction electrofaible et non plus de l'interaction electromagnetique seule. Faire cela revient a dire: "Maxwell marche bien a faibles energies, mais pas a plus hautes energies". Mais meme aux "hautes energies" que l'on connait (celles ou le boson Z0 intervient par exemple), la relativite restreinte reste valable.

    Donc il n'y a pas de démonstration formelle.
    pas plus que tu n'as de demonstration formelle des lois de Newton. Tu n'en auras jamais: ce sont des postulats.

    Donc le champ d'application de la mécanique quantique est confiné.
    tout comme celui de la physique non-quantique (newtonienne), mais le cadre de la physique quantique inclut celui de la physique newtonienne.

    Donc pas d'extrapolation macroscopique sans faire de nouvelles hypothèses.
    pour retrouver la physique classique a partir de la physique quantique, tu n'as pas besoin d'hypotheses supplementaires. Au risuqe de me repeter: la physique classique est un cas particulier de la physique quantique.

    Donc la mécanique quantique est un modèle comme un autre.
    oui et non: je ne sais toujours pas ce qu'est un modele pour toi. Mais comme je l'ai deja dit: la physique (et la science en general) ne fera jamais rien d'autres que des modeles... Mais sinon, j'ai l'impression que pour toi "physique quantique = equation de Schoedinger". Ceci est inexact. La physique quantique, c'est:
    - des postulats sur la nature du monde (les observables, etc) dont son caractere aleatoire
    - une equation qui regit la dynamique (Schroedinger)
    - des postulats sur la structure de la matiere

    chez Newton (physique classique), c'est pareil:
    - espace et temps absolus avec particules qui sont des points geometriques et surtout postulat de determinisme
    - F = m a
    - postulats sur la structure de la matiere

    de ce point de vue-la, ce sont juste des modeles differents, a ceci pres que puisque l'on a montre (experience d'Aspect) que le monde est fondamentalement aleatoire et non deterministe, la physique quantique restera toujours moins eloignee "de la Verite" (je ne dis pas que cette derniere existe) que la physique classique. Mais tout ca reste des modeles.

    Et encore... a-t'il introduit les postulats quantiques pour faire sa démonstration ?
    des postulats, mais pas quantiques. Comme je te l'avais deja explique, les memes equations peuvent servir autant dans un cadre quantique que dans un cadre classique. En plus dans cette demonstration, tu postules la forme du potentiel, ce qui est equivalent a postuler la force de Coulomb. Mais bon, tu ne parviendras jamais a te debarrasser de certains postulats: on modelise les choses, rien de plus.

  15. #12
    monnoliv

    et si on decouvre que le photon a une masse (tres petite mais) non-nulle, alors on ne reniera pas pour cela la relativite restreinte mais seulement Maxwell.
    Pourquoi? Ou serait la faille dans la démonstration ?
    Remettre en cause la forme d'une loi qui regit une interaction (comme les equations de Maxwell) ne remet pas necessairement en cause le cadre dans lequel tu travailles, loin de la: cela remet en cause les hypotheses que tu fais sur les particules et/ou champs autres que l'espace-temps (puisque celui-ci est desormais devenu un champ).
    Si les équations de MAXWELL sont fausses, comme elles ont été déduites (démontrées) à partir de trois postulats (2 relativistes et 1 -> Coulomb), il y en a forcément au moins un de faux. Je ne dis rien de plus.
    pourquoi les equations de Maxwell sont fausses: elles ne sont pas completement compatibles avec la physique quantique et les resultats de la physique moderne alors que la relativite (restreinte en tous cas, mais c'est suffisant de ne considerer qu'elle pour la question abordee) l'est
    Donc (postulat 3) c'est la loi de Coulomb qui n'est plus valable aux échelles quantiques.
    Mais sinon, j'ai l'impression que pour toi "physique quantique = equation de Schoedinger"
    Non, ce sont les postulats qui m'intéresse et je constate que ces postulats ne sont pas utilisés pour formuler les équations de MAXWELL (c'est ce que tu écris un peu plus loin) alors je ne vois pas en quoi la mécanique quantique et ses postulats sont plus généraux (englobent) que les équations de MAXWELL.
    A propos de généralité, est-ce qu'on démontre que la phys. classique est un cas particulier de la physique quantique en se servant de ses postulats (les postulats quantiques, j'entends) ?

    des postulats, mais pas quantiques. Comme je te l'avais deja explique, les memes equations peuvent servir autant dans un cadre quantique que dans un cadre classique.
    Bien, comme je te l'avais déjà répondu, cela ne prouve rien alors.

    de ce point de vue-la, ce sont juste des modeles differents, a ceci pres que puisque l'on a montre (experience d'Aspect) que le monde est fondamentalement aleatoire et non deterministe, la physique quantique restera toujours moins eloignee "de la Verite" (je ne dis pas que cette derniere existe) que la physique classique. Mais tout ca reste des modeles
    Je ne généraliserais pas aussi vite sur le monde à partir d'une seule expérience (reproductible bien entendu).
    D'autre part, je ne vois pas pourquoi tu as du attendre l'expérience d'Aspect pour dire que le monde n'est pas déterministe, il y a bien le principe d'incertitude, non?

    Bàt,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

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  17. #13
    Rincevent

    Pourquoi? Ou serait la faille dans la démonstration ?
    pas une faille dans la demonstration, mais dans les equations de M: la limite statique et electrique de celles-ci est le potentiel de Coulomb qui est un cas particulier de potentiel central (type Yukawa comme deja cite): celui pour un champ dont le vecteur (boson associe) est de masse au repos nulle.

    alors je ne vois pas en quoi la mécanique quantique et ses postulats sont plus généraux (englobent) que les équations de MAXWELL.
    je n'ai pas dit que la mecanique quantique englobe Maxwell. Ce que je dis c'est qu'il existe une theorie quantique de l'electrodynamique qui permet de retrouver Maxwell en etant plus generale. Mais donner un lagrangien pour l'electromagnetisme (= modele pour la structure, cf mon message precedent) puis montrer qu'il n'est pas valable (pour l'instant il l'est dans le cadre de la theorie electrofaible) ne remet pas en cause les postulats de la physique quantique. Cela remet en cause le modele pour la matiere et ses interactions.

    A propos de généralité, est-ce qu'on démontre que la phys. classique est un cas particulier de la physique quantique en se servant de ses postulats (les postulats quantiques, j'entends) ?
    j'aurais tendance a dire (point de vue personnel) que ce n'est pas vraiment qu'on le demontre, mais plutot qu'on l'impose: sinon on aurait deja renonce a la physique quantique depuis longtemps. Car en pratique, voici ce qui se passe grossierement: dans un modele quantique d'un phenomene physique, tu as plus de parametres que dans un modele classique. Donc quand tu fais un modele quantique, tu imposes la condition selon laquelle a la limite des grandes valeurs de l'action ton modele va redonner le modele classique. Mais le cadre classique et le cadre quantique sont juste des cadres de formulation de problemes, donc sauf erreur de ma part, tu dois toujours etre capable de faire cela. Si ton modele quantique pour le phenomene est le bon.

    Je ne généraliserais pas aussi vite sur le monde à partir d'une seule expérience (reproductible bien entendu).
    on a deja discute de cette question et je te repete donc mon point de vue sur ca: un truc deterministe est un cas particulier parmi les trucs aleatoires possibles. Donc dire: il existe au moins un phenomene dans le monde qui ne semble pas aleatoire implique inevitablement que le monde n'est par nature pas deterministe. L'autoriser a etre aleatoire est une attitude moins partisane que de dire: il est classique et deterministe.

    D'autre part, je ne vois pas pourquoi tu as du attendre l'expérience d'Aspect pour dire que le monde n'est pas déterministe, il y a bien le principe d'incertitude, non?
    l'experience d'Aspect liee aux inegalites de Bell ont montre que les theories a variables cachees ne sont (apparemment pas) possibles.

    as-tu lu les dossiers Futura sur la physique quantique et sur le determinisme remis a jour par elle? sinon, tu peux aussi aller voir ca:

    http://www.astrosurf.com/lombry/menu-quantique.htm

  18. #14
    monnoliv

    L'autoriser a etre aleatoire est une attitude moins partisane que de dire: il est classique et deterministe.
    Je ne suis partisant de rien du tout.

    Comprenons-nous bien, je ne veux pas remettre en cause la mécanique quantique et ses postulats. J'essaie plutôt de "recadrer" l'ensemble et peu m'importe s'il existe des formulations mathématiques plus élégantes (plus générales) qui permettent de retrouver soit une équation soit l'autre.

    Merci et à bientôt,

    N.b: Au fait, j'avais posté ce message
    Bonjour,
    Quelqu'un peut'il m'expliquer par la méthode quantique la réflexion spéculaire des (de certains?) métaux. L'interaction entre les photons et la matière par le biais des niveaux d'énergie ne fait pas apparaître d'angles à ma connaissance.
    Je connais une démonstration qui se base sur la continuité d'une onde electromagnétique à une interface. Mais est-elle "première" ? N'y a-t'il pas une explication plus fondamentale ?
    Bien à vous,
    et personne n'a répondu. As-tu une idée?
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

  19. #15
    Rincevent

    Je ne suis partisant de rien du tout.
    je ne parlais pas de toi (sinon j'aurais eu des remarques de la part de la moderation ) mais de l'attitude qui consisterait a dire: "la physique quantique est 'fausse', la physique classique assurement meilleure"...

    As-tu une idée?
    je ne suis pas un expert de ce genre de sujets (loin de la), mais voici ce que naivement je dirais:

    - pour avoir une reflexion speculaire, il faut que tu aies une surface lisse a l'echelle typique des photons, c'est-a-dire leur longueur d'onde
    - si c'est le cas, ca revient plus ou moins a dire que ces derniers "ne peuvent pas directement constater" la structure atomique de la matiere
    - pour modeliser tout ca, il doit donc falloir faire intervenir (meme dans un modele quantique) non pas un seul atome, mais plusieurs couches
    - par ailleurs, quand tu parles de l'absence d'angles dans l'interaction photon/matiere, c'est vrai si l'atome est spherique (pas de spin). Mais la, tu as a la fois des angles lies a la geometrie du metal mais aussi des atomes qui ne sont pas de spins nuls. Donc ca ne m'etonne pas que des angles interviennent.

    avec tout ca, j'aurais donc tendance a dire que dans le cadre quantique, tu vas trouver (en deroulant un formalisme assez lourd mathematiquement) qu'un photon seul a une probabilite d'etre devie qui est telle que l'intensite sera la plus forte pour la direction qui correspond a celle de la reflexion. Je suis pas sur que ca t'avance beaucoup tout ca, mais je peux pas faire mieux sans me pencher dans des gros livres plein d'equations...

  20. #16
    monnoliv

    Ok merci.
    Je vais aller saluer Aspect et essayer de bien comprendre la portée de son expérience.
    Bàt,
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

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