loi des aires et trajectoire circulaire

[invite49dfaa73]

Bonjour

La loi des aires prouve-t-elle que si la trajectoire est circulaire, la vitesse est constante?
je pense que non mais j'aimerais avoir votre avis.
merci
-----

[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenu sur le forum,

La réponse est non, puisque la loi des aires s'applique aussi aux orbites elliptiques par exemple.

(La loi des aires est "juste" la conservation du moment cinétique relativement au centre dans le cas d'une force centrale. C'est le moment cinétique qui est --en tant que vecteur--constant, pas la vitesse.)

[invite49dfaa73]

rebonjour,

la question posée étant "Démontrer que la vitesse du satellite est constante si sa trajectoire est circulaire"
que penser de la réponse suivante?:

"la seconde loi de Képler indique qu'en des durées égales, le rayon allant du centre de la terre au satellite, balaye des aires égales. Si la trajectoire est circulaire, ce rayon a une valeur constante et pour balayer des aires égales, le satellite doit se déplacer à une vitesse constante."

à mon avis ce n'est pas correct car on pourrait très bien balayer des aires égales durant des temps égaux sans avoir une vitesse constante que la trajectoire soit circulaire ou non, de même que deux personnes peuvent parcourir la même distance durant des temps égaux sans avoir une vitesse constante.

merci

[calculair]

Bonjour,

La loi des aires dit:
Le rayon vecteur balaye des aires egales par unité de temps

Si la trajectoire est circulaire, alors la vitesse est constante

R d (theta) /dt = Cte

R = constante;
alors d (theta) /dt est constant

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Désolé d'avoir mal lu le premier message et d'avoir répondu de travers.

La réponse est correcte, elle dit "loi des aires + circulaire => module de la vitesse constant", et non pas "loi des aires => module de la vitesse constant" comme j'avais mal lu.

L'implication tient en particulier parce qu'on peut prendre des durées infinitésimales, comme l'indique implicitement calculair. Sans parler de vitesse angulaire (la question porte sur le module de la vitesse linéaire, pas la vitesse angulaire), on peut dire que l'aire parcourue pendant dt est alors v dt r/2 (en prenant l'approximation par un triangle), donc r si constant, v (le module de la vitesse) doit être constant.

[calculair]

Bonjour,

J'ai ecrit trop vite, j'ai oublilé le carré

R² d (theta) /dt = Cte

[invite49dfaa73]

moi ce qui me gêne, c'est que (pour modéliser la situation), je peux prendre une brindille qui correspondra à mon rayon vecteur, laisser une extrémité fixe (le centre du cercle) et donner un mouvement de rotation de telle sorte que l'autre extrémité (le satellite) ait une trajectoire circulaire. Je peux très bien durant des intervalles de temps égaux faire balayer des aires identiques tout en provoquant ralentissements ou accélérations.

c'est pour cela que je ne pense pas que (loi des aires + trajectoires circulaires n'impliquent pas v=cte) c-a-d (aires balayées égales durant des intervalles de temps égaux + trajectoires circulaires n'impliquent pas v=cte) et qu'il vaut mieux égaler deux expressions de l'accélération pour montrer que v = cte.

mais ce n'est qu'un avis

[calculair]

Bonjour,

La dérivée du moment cinétique dΣ/dt = Moment des forces appliquées par rapport à O, point ou est dirigé la force centrale. Cette derivée est nulle. Le moment cinétique reste donc constant.

Entre les instants t et t+dt , le rayon vecteur OM balaye la surface dS. La distance parcourue sur la trajectoire est Vdt
Le moment cinétique est Σ = OM ^ mVdt représente L’aire construite du parallélogramme construit avec les vecteurs OM et mV

l’aire balayée par OM durant le temps dt. Cette aire est ds = ½ Σ /m dt. Comme Σ est invariable, l’aire balayée est proportionnelle au temps.

Dans le cas ou la trajectoire est circulaire OM = cte

Cela se traduit par OM ² dθ/dt = Cte

[Amanuensis]

un mouvement de rotation de telle sorte que l'autre extrémité (le satellite) ait une trajectoire circulaire. Je peux très bien durant des intervalles de temps égaux faire balayer des aires identiques tout en provoquant ralentissements ou accélérations.

Cela paraît très difficile !

Vous devriez essayer de proposer une trajectoire sous forme mathématique, et vérifier qu'elle répond bien aux trois critères...

Le point clé est qu'il s'agit de n'importe quelle paire de deux intervalles de durée égale. Il ne s'agit pas d'obtenir quelques paires qui répondent au critère alors que d'autres non.

[calculair]

Bonjour

Dans le cas de forces centrales, ou d'un satellite, lorsqu'il accélère, il se rapproche de la terre. Le rayon vecteur diminue, mais la vitesse augmente, et la surface balayée reste constante.
Si le rayon vecteur s'allonge, la vitesse diminue, et la surface balayée reste constante.


Tout cela n'est plus vraie, si tu allumes les fusées de propulsion. alors on est plus dans le cas des forces centrales tant que les moteurs fusées fonctionnent......

La derivée du moment cinetique n'est plus nulle par rapport au centre des forces de gravité de la terre