Calcul spinoriel

[inviteb9b40e99]

Bonjour,

Tout d'abord je tiens à m'excuser de poster ça dans la rubrique physique car ce sont plutôt des maths. Mais bon ces maths étant directement reliées à une grandeur physique qu'est le spin je préfèrerais avoir un point de vue de physicien sur la chose.

Je suis actuellement en train de faire une première approche à l'aide de ce site : http://mathematique.coursgratuits.ne...riel/index.php (qui ne fait pas trop appel aux théories de groupe etc que je ne connais, pour être honnête, absolument pas).

Un vecteur de l'espace 3D peut être décomposé en un spineur à 2 composantes. Jusque là pas de soucis. Pour ce qui est des matrices de symétries planes pas de soucis non plus. Mais pour les matrices de rotations là je ne suis plus. On me dit qu'une rotation peut s'écrire comme une multiplication de deux matrices de symétrie. Je ne vois pas en quoi.

Autre chose, dans l'équation de Pauli qui est non relativiste, on est dans un espace en 3D, donc la fonction d'onde représente alors le spineur à 2 composantes ? Même chose pour l'équation de Dirac ? Ou là ça change parce qu'elle est relativiste et qu'on considère un espace 4D ?

Excusez moi pour toutes ces questions, mais je n'arrive pas à faire le lien entre les maths et la physique ici...

Merci pour vos éventuelles réponses.
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[invite76543456789]

Salut,
Pour les matrices de rotations cela vient du fait que dans un espace euclidien de dimension n, toute isométrie est le produit d'au plus n reflexions.
Tu t'imagine bien qu'une rotation ne peut etre le prduit d'une ou 3 relfexions, c'est donc le produit de 2.
Pour le reste je ne saurai te répondre sans relire un minimum ce qu'est l'équation de Dirac ou de Pauli.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour ce que j'en sais, initialement les équations de Pauli puis de Dirac ont été contruites pour décrire une particule de spin 1/2, donc forcément avec des spineurs à deux composantes.
Si vous avez le Landau d'électrodynamique quantique (tome 4 du cours de physique théorique, je crois), vous pourrez y voir la construction de l'analogue de l'équation de Dirac pour des particules de spin 3/2.
De même, l'équation de Klein-Gordon décrit des particules de spin 0, et Landau (enfin, ceux qui ont écrit le livre après sa disparition) décrit comment contruire une équation analogue pour des particules de spin 1 et 2 (et il s'arrête là, car en pratique on ne va pas plus loin).

@+

[invite9617f995]

Bonjour,

Il me semble que dans Dirac, le spineur est à 4 composantes. La multiplication des composantes n'est pas du à la représentation d'un spin plus élevé mais à la description d'une anti-particule (c'est comme si on avait deux spineurs de Pauli représentant une particule de spin 1/2 et son anti-particule et qui intéragissent entre eux dans l'équation de Dirac).
Mathématiquement, ce doublement de dimension du spineur vient du fait que le groupe de symétrie n'est plus SO(3) (les rotations, symétrie de Pauli), mais SO(3,1) (les rotations et isométrie de l'espace-temps).

Salut

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

Bonsoir

Les spineurs de Pauli sont à 2 composantes car ce sont des représentations irréductibles de su(2) l'algèbre qui est isomorphe à celle du groupe des rotations 3d, so(3) [pour être plus précis faudrait rentrer dans les notions de groupes de Spin].

Pour ceux de Dirac, c'est un peu plus subtil. Grossièrement, le groupe de Lorentz SO(3,1) est localement isomorphe à su(2)xsu(2) [y'a des histoires de complexifications cachées sous le tapis]. Un spineur de Dirac correspond à une représentation (1/2,0)+(0,1/2) et on dira donc que c'est un bispineur qu'on pourra considérer composé de deux spineurs (à 2 composantes) de Weyl (qui du point de vue de la physique peuvent être considérés comme ayant une chiralité donné).

[inviteb9b40e99]

Ok merci beaucoup pour vos réponses. Je commence à cerner un peu ces histoires de groupe. Mais le coup de l'isomètrie de l'espace-temps de silk78 j'ai pas compris. Ca traduit quoi ? Le fait qu'on traite d'une particule et d'une anti-particule ?

Une autre chose que j'ai pas bien saisie physiquement c'est l'histoire de la rotation de 720° pour faire un tour complet. Les spineurs (complexes) sont censés reproduire les composantes des vecteurs de l'espace "réel". Sur les opérations ils devraient donc redonner les mêmes résultats qu'avec des vecteurs de R^3. Pourtant on trouve le résultat énoncé précèdement. Pourriez-vous m'expliquer pourquoi svp ? Et en quoi ce résultat est associé au spin 1/2 ?

Merci encore.

[inviteb9b40e99]

Personne ?

[kalish]

pour ce qui est des maths il va falloir que je révise, mais concernant la physique, je crois me souvenir que c'est parce que la phase du bispineur revient à elle même après une "rotation" de 4 pi, et non 2 pi, mais du coup c'est une "rotation" dans U(1) je crois, lui même isomorphe à so(2). c'est à mon avis la même chose que le principe de pauli, (ou plutot les relations d'anticommutation) mais peut-être que ça n'a rien à voir .