Interaction spin-orbite et potentiel vecteur

[coussin]

Bonjour à tous

Je considère le Hamiltonien d'un atome d'hydrogène, pour faire simple, d'abord purement Coulombien :

C'est une charge bougeant dans un champ électrostatique. Ensuite et via un raisonnement tout à fait standard, on dit que dans le référentiel de l'électron celui-ci voit un champ magnétique et on obtient l'interaction spin-orbite. Selon moi, le Hamiltonien devrait alors être :

où l'on réécrit le terme spin-orbite L.S. Or lors de toutes mes lectures, je ne vois jamais le terme qui modifie l'impulsion via le potentiel vecteur... Je pense pourtant que ce terme est correct, non ?
J'ai déterminé que donc y a effectivement le terme en A^2 qui est tout petit mais le terme croisé est du même ordre que le spin-orbite.
Qu'en pensez-vous? Mon Hamiltonien est-il correct et pourquoi ne considère-t-on jamais le terme faisant intervenir le potentiel vecteur ?

Merci d'avance
-----

[coussin]

Je fais juste un petit up par principe…

[Amanuensis]

Je ne suis pas compétent sur la question, mais on trouve bien un hamiltonien identique à celui indiqué dans la page http://en.wikipedia.org/wiki/Electro..._dipole_moment que je regardais pour une autre raison:



et il a bien le terme impulsionnel modifié par le potentiel vecteur.

[coussin]

En effet, merci
Il me semble que je touche du doigt ici le schisme qu'il existe entre la description électrostatique et électrodynamique de l'atome. Le premier Hamiltonien de mon message #1 est purement électrostatique et est utilisé par exemple en chimie quantique. Y a quelque chose de pas clair dans ce Hamiltonien : on sait que les charges bougent puisqu'on y met l'énergie cinétique. Mais on en tire pas les conséquences qui s'imposent qui est qu'une charge qui bouge est un courant et qui dit courant dit potentiel vecteur. Ce potentiel vecteur peut, par exemple, être vide et être quantifié et on tombe en plein dans le domaine de l'électrodynamique qui explique par exemple l'émission spontanée ou le Lamb Shift.
À bien y réfléchir, l'effet spin-orbite fait justement le lien entre ces deux descriptions statique et dynamique d'où la "bizarrerie" (les chimistes quantique et les gens qui font de la QED font partie généralement de deux communautés qui ne se parlent pas, c'est dommage )

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Il me semble que le premier hamiltonien que vous donnez est l'hamiltonien naïf de la mécanique quantique de grand-papa. Comme les niveaux d'énergie observés expérimentalement ne correspondent pas à ceux calculés, on lui rajoute des termes pour tenir compte de divers effets. Le Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë en parle assez longuement.

Mais pour être plus correct, il faut partir de l'équation de Dirac qui est valable dans le domaine relativiste. Et on retrouve ces termes supplémentaires quand on fait certaines approximations selon les cas considérés. Vous trouverez cela dans ce cours de Jean-Bernard Zuber que l'équation de Dirac : http://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/dirac09.pdf (p. 20 et suivantes "couplage minimal au champ électromagnétique).

@+

[coussin]

Oui c'est ça C'est durant la longue route qui mène de l'équation de Dirac à l'équation de Schrödinger (faut passer d'un spineur à 4 composantes à une fonction scalaire, y a du chemin... ) que j'ai dû m'arrêter à un endroit où il ne faut pas
Malgré ça, je trouve la prise en compte du champ magnetique B mais la négligence du potentiel vecteur A dans l'effet spin-orbite au niveau Schrödinger assez bizarre quand on y reflechit...

[0577]

Bonsoir,

il me semble que le "raisonnement tout à fait standard" qui consiste à se placer dans le
référentiel de l'électron est juste incorrect (bien qu'on le trouve dans de nombreuses références ...)
Pourquoi devrait-on se placer dans le référentiel de l'électron ? Il est peut-être possible de calculer
le spectre de l'atome d'hydrogène en se plaçant dans ce référentiel (non-inertiel !) mais
moi je n'essaierai pas ...

Bref, dans le référentiel inertiel standard centré à peu près au noyau,B=0, A=0
et on a juste un champ coulombien E (bien sûr, on néglige ici toutes les "corrections radiatives" type "fluctuations du vide",
interaction de l'électron avec le champ magnétique qu'il crée ...)
Le terme "spin-orbite" est un terme d'interaction entre le spin s de l'électron et le champ électrique E : il est
proportionnel à s.(Ep). Il se trouve que ce terme à la même forme que celui du
couplage "standard" (s.B) du spin avec un champ magnétique qui se trouve avoir la forme du champ magnétique
qu'on obtient lorsqu'on se place dans le référentiel de l'électron. Il est donc peut-être possible d'imaginer un raisonnement
expliquant l'existence du terme spin-orbite par un argument faisant intervenir ce référentiel. Comme je l'ai déjà écrit plus haut,
je ne crois pas que ça soit possible d'une manière logiquement cohérente.
Comme l'a écrit albanxii, historiquement, ces termes ont été ajoutés un peu à la main ( avec des explications un
peu légères ) et l'explication correcte vient de l'équation de Dirac.

Une remarque sur la limite non-relativiste de l'équation de Dirac : la formule dans le message d'Amanuensis (et qu'on retrouve dans le
lien donné par albanxii) est valable au premier ordre d'un développement en 1/c. Dans le cas qui nous intéresse,
A=0, B=0 et cette formule redonne le hamiltonien de mécanique quantique "habituelle" (j'insiste : le terme spin-orbite
ne vient pas du terme s.B puisque B=0).
Pour voir les corrections non-relativistes dans ce cas, il faut calculer le deuxième ordre (1/c²). C'est fait par exemple dans Landau-Lifshitz, on
trouve, dans le cas A=0, B=0 :



l'avant dernier terme est l'interaction spin-orbite (pour simplifier, j'ai noté le spin comme un 3-vecteur mais c'est en fait un spineur
et l'hamiltonien ci-dessus s'applique en fait à un spineur tridimensionnel (2 composantes), ce qui est la limite non-relativiste naturelle).