Vitesse relative

invite7d5105d1 · 05/04/2013, 20h50

Bonjour

Soient $A$ et $B$ deux objets se déplaçant dans l'espace tridimensionnel
On note $v_A$ la vitesse de déplacement de l'objet A
On note $v_B$ la vitesse de déplacement de l'objet B
On note $v_R=v_{A/B}=v_{B/A}$ la vitesse relative de A par rapport à B ou de B par rapport à A
$c$ est la célérité de la lumière dans le vide
Einstein nous a donné cette jolie formule :
$v_R=\frac{v_{A}+v_{B}}{1+\frac{v_{A}v_{B}}{c^2}}$

Quelle en est la démonstration ?

(P.S : Au lycée, on nous en donne une "approximation" lorsque les deux vecteurs vitesse sont colinéaires et de sens contraires : $v_R=v_{A}+v_{B}$ , qui n'est en réalité (je pense !) que la formule dont je demande la démonstration mais dans laquelle on a négligé $\frac{v_{A}v_{B}}{c^2}$ qui tend vers 0 lorsqu'on utilise des vitesses relativement faibles; et c'est une formule (non pas erronnée mais) qui montre rapidement ses limites lorsqu'on s'en prend aux grandes vitesse; ex: $v_{A}=200 \ 000 \ km/s$ et $v_{B}=200 \ 000 \ km/s$ , ce qui m'a poussé à chercher la vraie formule, qui ne néglige rien

: d'ailleurs je n'aime pas trop qu'on néglige en physique, beaucoup de données nous échappent et on peut facilement tomber dans l'erreur comme dans l'exemple que je viens de citer dans cette parenthèse :/ , que je ferme d'ailleurs tout de suite

! )

Merci

**Amanuensis** · 05/04/2013, 22h27

Bonjour,

Nul doute que d'autres vont donner des réponses bien plus satisfaisantes que celle-ci, apparaissant plus "directement sur le sujet", et moins ce que certains appellent du "pinaillage", mais mon but est différent ; c'est de débusquer d'éventuelles idées conceptuelles sous-jacentes qui pourraient être contradictoires avec la théorie à propos de laquelle sont posées des questions.

Envoyé par Upium666

Soient $A$ et $B$ deux objets se déplaçant dans l'espace tridimensionnel
On note $v_A$ la vitesse de déplacement de l'objet A
On note $v_B$ la vitesse de déplacement de l'objet B

Ces formulations mêmes rendent toute réponse aux questions posées problématique. Le cadre ne peut en être que la relativité restreinte, la formule citée en étant spécifique. Or la relativité restreinte nie la notion de "l'espace tridimensionnel", avec un article défini. Il y a bien une notion possible de "espace tri-dimensionnel", mais il y a plein de tels espaces, chacun est relatif, et en choisir un est arbitraire dans cette théorie.

Ensuite, il est question de "vitesse relative", alors que dans la citation ci-dessus il est question de "vitesse de déplacement" sans autre qualificatif. Or toute vitesse est relative (et ce même en mécanique classique). La distinction entre vitesse relative et non relative apparaît gênante. Peut-être n'est-elle qu'apparente, une figure de style? Néanmoins, une formulation moins sujette à caution aurait été:

Soient $A$ et $B$ deux objets matériels, et soit un référentiel S
On note $v_A$ la vitesse de l'objet A relativement au référentiel S
On note $v_B$ la vitesse de l'objet B relativement au référentiel S

(Détail : virer la notion de déplacement laisse ouverte la possibilité que A ou B soit immobile relativement à S, cas qu'on n'a aucune raison de laisser de côté...)

Cordialement,

**Nicophil** · 05/04/2013, 22h40

Bonsoir,

Envoyé par Upium666

Quelle en est la démonstration ?

A partir du facteur de Lorentz.

invite7d5105d1 · 06/04/2013, 00h09

Bonjour à vous Amanuensis !
Lorsque je crée un message sur le forum, je sais que j'ai affaire à des gens aussi pertinents et exigeants que vous, et c'est cela qui m'a en partie fait comprendre qu'"on" ne sait pas trop ce que l'on dit et que l'on ne peut ainsi pas prétendre être scientifique : cela a augmenté mon humilité vis-à-vis de la Science, et c'est ainsi que j'essaie au mieux de m'appliquer dans mes pensées et dans ce que je dis, mais décidément, j'ai encore du travail à faire !

Je me pose de nombreuses questions, mais pour y avoir réponse, il faut attendre, avoir un niveau supérieur ... auquel on ne peut accéder que si l'on admet les choses (provisoirement).
Comme je déteste admettre, je me suis jeté à l'eau : j'ai posé ma question en la formulant autant que je le peux, et je m'excuse ainsi de mon peu de savoir et de l'erreur que j'ai commise
Je vous remercie de m'avoir éclairé à ce sujet (^_^)

Précision : Je ne suis qu'en 1ère S

Cordialement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7d5105d1 · 06/04/2013, 00h26

Bonjour à vous Nicophil !

Pourriez-vous expliciter quelque peu plus vos propos, de manière simplifiée si possible ?

Merci

**Nicophil** · 06/04/2013, 02h04

Cf. la démo d'Einstein : http://en.wikisource.org/wiki/On_the..._of_velocities.

**Amanuensis** · 06/04/2013, 05h09

Envoyé par Upium666

Comme je déteste admettre, je me suis jeté à l'eau : j'ai posé ma question en la formulant autant que je le peux, et je m'excuse ainsi de mon peu de savoir et de l'erreur que j'ai commise

Hmm... Je n'ai pas parler d'erreur commise.

Attendons de voir si des réponses d'autres sont satisfaisantes.

**Amanuensis** · 06/04/2013, 05h58

Juste un petit point quand même.

La formule donnée n'est valable que pour des vitesses colinéaires, et, telle que donnée, pose un petit problème de convention de signe.

Qu'attend-on pour $v_{A/B}$ si $v_{A/S}=v_{B/S}$ ? Et que donne la formule ?

----

En fait la formule donnée est une adaptation d'une formule classique à un cas différent du cas usuel.

La formule "usuelle" est

$v_{B/A} = \frac{v_{B/S} + v_{S/A}}{1+\frac{v_{B/S}v_{S/A}}{c^2}}$

où A, B, et S sont trois référentiels inertiels, et où (par exemple) $v_{S/A}$ est la vitesse de translation (la vitesse relative) de S par rapport à A. Et où $\vec{v}_{A/S}$ et $\vec{v}_{B/S}$ sont colinéaires.

Et où les vitesses sont signées, et $v_{A/B} = - v_{B/A}$

Il s'agit d'une "composition de vitesse", plutôt que d'une "addition de vitesse" comme on le voit en général décrit.

**Nicophil** · 06/04/2013, 11h22

Envoyé par Nicophil

Cf. la démo d'Einstein :

http://en.wikisource.org/wiki/On_the...of_velocities. .

invite937a1923 · 06/04/2013, 12h36

Bonjours,

Ce texte qui peut être intéressant également (montrant les origines du principe de relativité de Lorentz-Poincaré) http://fr.wikisource.org/w/index.php...&printable=yes

**stefjm** · 06/04/2013, 13h09

Bonjour,
Une façon inhabituelle de présenter la composition des vitesses.

http://forums.futura-sciences.com/ph...estreinte.html

Cordialement.

**Zefram Cochrane** · 06/04/2013, 15h10

Bonjour,
A mettre en parallèle avec la discussion de Stefjm

http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4455162

une petite correction au lieu de lire : 2 - 1 = 7 il faut lire 3 - 2 = 1

une petite précision
$\phi'$ est la vitesse relative d'éloignement du chasseur par rapport au croiseur du point de vue du croiseur.
$\phi$ les la vitesse relative d'éloignement du croiseur par rapport à la station du point de vue de la station, mais comme $- \phi$ correspond également à la vitesse d'éloignement de la station par rapport au croiseur du point de vue du croiseur. je m demande si il n'est pas plus opportun pour expliquer la loi de composition des vitesse de partir des formules :
$Va = \frac{ Vr - Vb}{ 1 - \frac{VrVb}{c^2}$

$Vb = \frac{ Vr - Va}{ 1 - \frac{VrVa}{c^2}$

Cordialement,
Zefram

invite34688568 · 06/04/2013, 23h53

Quelle bonne question que celle-ci.
Le premier problème de la relativité est que chaque objet en mouvement crée son propre espace relativiste selon sa vitesse.
Donc, trouver la vitesse d'éloignement/rapprochement de deux objets suppose en réalité de les étudier au sein d'un troisième système qui sera la référence commune.
Sauf que si l'on étudie un peu plus profondément, on s'aperçoit très vite ce système est également en mouvement donc posant le même problème.
Ce sera donc d'office une approximation car nous n'avons toujours pas pu déterminer de point fixe dans l'Univers, l'immobilité est un concept impossible à matérialiser car rien n'est fixe.
Si chacun des objets fait partie de la sphère d'influence d'un troisième, il sera possible d'établir des coordonnées relatives successives, sans plus mais ça ne donnera jamais les vitesses réelles qui sont une combinaison multiples de toutes les autres vitesses de déplacements des systèmes dont il font partie, espérant en plus que l'espace de cet environnement de référence daigne rester stable.

un petit article sur l'immobilité, ça t'amusera peut-être:
http://hcrepin.wordpress.com/article/3933/

C'est ce qui est amusant avec la relativité, elle est effectivement très très relative.

invite34688568 · 06/04/2013, 23h57

Envoyé par stefjm

Bonjour,
Une façon inhabituelle de présenter la composition des vitesses.

http://forums.futura-sciences.com/ph...estreinte.html

Cordialement.

Donc, si j'applique ta formule, cela signifie que si deux objets partent chacun dans une direction opposée à la vitesse de la lumière ou presque, leur vitesse d'éloignement ne dépassera jamais une fois et demie la vitesse de la lumière alors que chacun aura creusé un espace de une fois la vitesse de la lumière vis à vis du point de départ.
Tandis qu'en théorie la vitesse de la lumière ne peut pas être dépassée ...

**Amanuensis** · 07/04/2013, 08h18

Envoyé par hcrepin

C'est ce qui est amusant avec la relativité, elle est effectivement très très relative.

Effectivement, la compréhension des théories modernes de l'espace-temps est souvent très relative.

un petit article sur l'immobilité, ça [...]amusera peut-être:

Peut-être pour certains.

Extrait:

Or et si cette matière noire n’était jamais que la matérialisation du temps, que le temps n’existerait pas en tant que tel mais ne serait qu’une projection de matière et la matière noire le «déchet» du passé?

J'anticipe assez bien ce que pourrait devenir une discussion sur les forums Futura Sciences démarrée une telle idée.

---

Pour un texte plus moderne sur le mouvement, Dialogue

invite34688568 · 07/04/2013, 11h52

Envoyé par Amanuensis

Effectivement, la compréhension des théories modernes de l'espace-temps est souvent très relative.

Peut-être pour certains.

Extrait:

J'anticipe assez bien ce que pourrait devenir une discussion sur les forums Futura Sciences démarrée une telle idée.

---

Pour un texte plus moderne sur le mouvement, Dialogue

Ben oui, de toute façon, personne n'en sait rien actuellement et je vous rappelle que récemment justement, un simple stagiaire a démontré une relation purement newtonienne dans des relations entre galaxies, simplifiant d'ailleurs énormément le modèle.
Quant à la matière noire, finalement, on ne sait pas plus ce que c'est que le temps.
Le temps peut être une une forme d'éjection, une sorte de film superposant chaque instant physique en condensé et la matière noire l'émission d'énergie de cet écoulement.
On pense aussi que le temps n'est peut être qu'une forme d'unité de thermodynamique, liée à l'entropie et expliquant pourquoi il ne s'écoule que dans un seul sens et pourquoi la vitesse l'influerait.

Je vous rappelle qu'à l'époque de Copernic et de Gallilée, ce sont finalement les solutions les plus simples qui l'ont emporté, pas les plus tordues.
Quand vous êtes un habitué des simulation 3D, les théories modernes font un peu bizarre parce que quand on voit les facteurs correction que l'on doit appliquer dans la représentation de l'espace, de sérieux doutes naissent.

En fait, toutes les théories physiques ont toujours été basées sur des intuitions que l'on a parfois mis 2500 ans a démontrer comme la théorie de l'atome qui date des grecs ainsi que la rotondité de la Terre et sa rotation autour du Soleil.

Le problème actuellement est que la majorité des spécialistes sont tellement pointus et il y a tellement de données qu'ils ont du mal à travailler en regardant les données des autres.

Si ça se trouve nous avons déjà les réponses dans ce fatras de milliards de données mais qu'il suffirait qu'une dizaine de spécialistes seulement réussissent à raccorder entre eux la bonne orientation de données.

invite6754323456711 · 07/04/2013, 12h32

Envoyé par hcrepin

on ne sait pas plus ce que c'est que le temps.

Tout simplement parce que ce n'est pas la question que se pose un scientifique il la laisse à ceux intéressé par la métaphysique qui nous maintient toujours effectivement dans l'expectative d'une réponse qu'ils visent à être dans l'absolu.

Patrick

invite34688568 · 07/04/2013, 12h39

Envoyé par ù100fil

Tout simplement parce que ce n'est pas la question que se pose un scientifique il la laisse à ceux intéressé par la métaphysique qui nous maintient toujours effectivement dans l'expectative d'une réponse qu'ils visent à être dans l'absolu.

Patrick

Donc tu penses que la notion de temps échappera toujours à la science?
Personnellement, j'espère toujours que l'ingéniosité humaine nous permettra à terme de créer des outils de mesure et d'observation de l'ensemble des phénomènes qui nous entourent.
Pas nécessairement que l'on puisse agir sur tout mais qu'au minium on puisse observer, comprendre, quantifier voire prévoir.

C'est quand même ennuyeux qu'un paramètre présent dans plus de la moitié des équations scientifiques soit calculable mais que l'on ne sache toujours pas ce que c'est.

invite60be3959 · 07/04/2013, 13h02

Bonjour,

Envoyé par Upium666

Bonjour

Soient $A$ et $B$ deux objets se déplaçant dans l'espace tridimensionnel
On note $v_A$ la vitesse de déplacement de l'objet A
On note $v_B$ la vitesse de déplacement de l'objet B
On note $v_R=v_{A/B}=v_{B/A}$ la vitesse relative de A par rapport à B ou de B par rapport à A
$c$ est la célérité de la lumière dans le vide
Einstein nous a donné cette jolie formule :
$v_R=\frac{v_{A}+v_{B}}{1+\frac{v_{A}v_{B}}{c^2}}$

Quelle en est la démonstration ?

Comme tu as pu le constater, les différentes démonstrations proposées ici, dépassent assez largement le niveau mathématique enseigné en 1ère S(mais très "bonnes" ceci dit). Je vais donc me permettre d'en proposer une démonstration heuristique(non-rigoureuse). La définition des vitesses est celle fournie par Amanuensis. Je noterai $w=v_{B/A}$ , $u=v_{B/S}$ , et $v=v_{S/A}$ . Comme point de départ, on se base sur la composition des vitesses en relativité galiléenne donnée par :

$w=u+v$

Je postule que la vitesse d'une onde électromagnétique, notée $c$ , est indépassable, et ce quel que soit le référentiel(galiléen) d'observation. Il doit alors exister un facteur K, fonction éventuellement de u, v, et c, qui vient modifier la composition des vitesses galiléenne, tel que :

$w=K(u,v,c)(u+v)$

En se basant sur notre postulat, et en faisant tendre u et v vers c, il s'en suit que w tend également vers c. Cela donne :

$c=K(u=c,v=c,c)(2c)$ d'où l'on tire :

$K(u=c,v=c,c)=\frac{1}{2}$

On peut alors écrire K sous la forme : $K(u,v,c)=\frac{1}{1+f(u,v,c)}$ avec $f(u=c,v=c,c)=1$ , où f est une fonction quelconque de u,v et c, mais respectant la contrainte précédente et assez "gentille" pour ne pas poser de problème de division par 0 ou autre. Ainsi :

$w=\frac{u+v}{1+f(u,v,c)}$ (1)

A présent, si $u=0$ , alors $w=v$ , et donc $f(u=0,v,c)=0$ . La façon la plus simple d'annuler f lorsque u=0, est de dire que f est proportionnelle à u :

$f(u,v,c)=\alpha(v,c)u$ avec $\alpha$ une fonction quelconque de v et c.

De même, si $v=0$ , alors $w=u$ et $f(u,v=0,c)=0$ , et on peut écrire :

$f(u,v,c)=\beta(u,c)v$ avec $\beta$ une fonction quelconque de u et c.

Les 2 relations précédentes nous permettent d'écrire f sous la forme :

$f(u,v,c)=\gamma(c)u.v$ (2) avec $\gamma$ une fonction à priori quelconque de c. Or, à l'évidence, vu la relation (1), f est une quantité sans dimension, ce qui implique que $\gamma(c)$ a la dimension de l'inverse d'une vitesse au carré. La forme la plus simple de $\gamma$ est donc $\gamma(c)=\frac{1}{c^2}$ (3). En rassemblant (1), (2), et (3), on obtient au final :

$w=\frac{u+v}{1+\frac{u.v}{c^2}}$

Voilà, j'espère que cela ne choquera pas trop les "puristes", mais surtout que cette petite démonstration te satisfasse et te permette de patienter avant d'être capable de "boire" les transformations de Lorentz!

invite6754323456711 · 07/04/2013, 13h23

Envoyé par hcrepin

Donc tu penses que la notion de temps échappera toujours à la science?

Surement pas puisqu'elle en a donner au fil du temps des définitions opérationnelles.

Envoyé par hcrepin

C'est quand même ennuyeux qu'un paramètre présent dans plus de la moitié des équations scientifiques soit calculable mais que l'on ne sache toujours pas ce que c'est.

Ennuyeux pour qui ? Des gens comme vous qui découvrent la relativité du mouvement exprimée par Galilée ? Ce que l'on peut constater dans la lecture de votre rhétorique sur l'immobilité.

Patrick

**Zefram Cochrane** · 08/04/2013, 13h32

Bonjour,
Merci Vaincent pour cette démo.

Cordialement,
Zefram

**Amanuensis** · 08/04/2013, 15h17

Juste un petit point, pour les amateurs de symétrie

Envoyé par vaincent

$w=v_{B/A}$ , $u=v_{B/S}$ , et $v=v_{S/A}$ .

Un choix de signe différent, amenant symétrie (par permutation circulaire sur (A,B,S)), est

$w=v_{A/B}$ , $u=v_{B/S}$ , et $v=v_{S/A}$

(c'est w qui a changé de signe)

En galiléen on alors la formule symétrique

u+v+w = 0

(En vectoriel (euclidien) c'est Chasles...)

En minkowskien on obtient

$-w=\frac{u+v}{1+\frac{u.v}{c^2}}$

Ce qu'on peut réécrire

$-w -\frac{uvw}{c^2}=u+v$

et, formule joliment symétrique:

$u+v+w = -\frac{uvw}{c^2}$

En remplaçant n'importe lequel par +c ou -c, on montre que l'un des deux autres doit être égal à son opposé. Par exemple:

$c+v+w = -\frac{vw}{c}$ => c² + cv +cw +vw =0 => (c+v)(c+w)=0

**stefjm** · 08/04/2013, 17h41

Wunderbar!

Ainsi donc la composition de vitesse relativiste réalise l'égalité, au signe près, entre 3 fois la moyenne arithmétique et le cube de la moyenne géométrique!

Sous cette forme, c'est sacrément parlant.

**stefjm** · 09/04/2013, 10h05

Envoyé par Amanuensis

$u+v+w = -\frac{uvw}{c^2}$

Bonjour,

Généralisation de la relation.
La somme de vecteur, je vois à peu près. Pour le produit, ce serait lequel? (si c'en est un!?)

Cordialement.

**Amanuensis** · 09/04/2013, 10h19

Ce n'est pas une vraie addition vectorielle, les trois valeurs sont des projections dans des espaces différents. Dans le cas colinéaire cela ne se voit pas trop, dans le cas général, cela va poser un problème.

**stefjm** · 09/04/2013, 10h49

Oui, donc il faudrait quotienter? (ou projeter, multiplier ?)

Du genre :

$\frac{u}{c}+\frac{v}{c}+\frac{w}{c} = -\frac{uvw}{c^3}$

C'est quoi l'outil qui va bien?

Et question annexe : Pourquoi cette forme de composition n'est pas dans les livres ?

**Amanuensis** · 09/04/2013, 12h06

Envoyé par stefjm

Oui, donc il faudrait quotienter? (ou projeter, multiplier ?)

Pas si simple. Faudrait remonter à la source, à la structure de groupe (à la base c'est juste U.V.W=I, avec U, V, W des TL et I l'identité). Faudrait regarder...

Du genre :

$\frac{u}{c}+\frac{v}{c}+\frac{w}{c} = -\frac{uvw}{c^3}$

Non, ça c'est un détail. D'ailleurs c'est plus joli avec c=1.

Et question annexe : Pourquoi cette forme de composition n'est pas dans les livres ?

Peu de souci de l'esthétisme des symétries, peu d'intérêt pour l'approche par les groupes ? Respect de la trame historique ?

**stefjm** · 09/04/2013, 20h22

Merci.

Envoyé par Amanuensis

Non, ça c'est un détail. D'ailleurs c'est plus joli avec c=1.

J'avais laisser le /c pour garder à l'esprit qu'il y avait une opération pas triviale derière cela.

Envoyé par Amanuensis

Peu de souci de l'esthétisme des symétries, peu d'intérêt pour l'approche par les groupes ? Respect de la trame historique ?

En tout cas, c'est éclairant. Merci.

Plus qu'à visualiser cette surface?

invite60be3959 · 11/04/2013, 08h04

Bonjour,

Envoyé par stefjm

Bonjour,

Généralisation de la relation.
La somme de vecteur, je vois à peu près. Pour le produit, ce serait lequel? (si c'en est un!?)

Cordialement.

En prenant la composition des vitesses dans le cas général, on trouve :

$\frac{\vec{u}}{\gamma}+\vec{v}+\vec{w}+\frac{\gamma-1}{\gamma v^2}(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{v}=\frac{-(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}}{c^2}$

ce qui redonne bien la relation obtenue par Amanuensis, selon la convention de signe choisit.

**Amanuensis** · 11/04/2013, 08h27

Comme déjà indiqué, il est gênant que l'égalité soit entre vecteurs d'espaces différents. C'est une relation en composantes, pas une relation géométrique.

Vitesse relative