Equation différentielle du mouvement
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Equation différentielle du mouvement



  1. #1
    silberic

    Equation différentielle du mouvement


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai une petite question :

    Dans une vidéo faite par un éminent professeur de physique à l'université de Chambéry (qui se reconnaîtra certainement, puisqu'il vient souvent sur ce forum...), ce dernier explique comment résoudre l'équa diff suivante : dv/dt = 1/(tau v) et montre comment faire en 3 étapes :
    - résoudre dv/dt + 1/tau v = -g
    - chercher la solution particulière de l'équation complète (donc, avec second membre) = -g
    - faire la somme des 2.

    Ma question est la suivante : Ne peut-on pas utiliser la résolution "mathématique" de l'équation différentielle du premier ordre avec second membre, soit :
    f(x) = exp (ax) - b/a ?

    J'ai tenté de le faire, mais ça ne fonctionne pas... Peut-être me suis-je trompé dans mes "calculs"...

    PS : je ne suis pas un élève qui veut se faire faire son exercice, mais quelqu'un passionné de physique (et surtout d'astrophysique) qui cherche à s'améliorer par ses propres moyens et de comprendre des choses...

    Voilà, merci pour votre aide
    Eric

    -----

  2. #2
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Bizarre. Les données sont correctes ? Lien sur la vidéo ?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  3. #3
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Oui ...
    http://podcast.grenet.fr/episode/cours-4-3/


    à 1h04'33 .

    Mais si tu trouves bizarre, c'est que je me plante certainement quelque part.

  4. #4
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    En fait, je me pose la question suivante : puisque l'équation présente une dérivée en fonction du temps dv/dt et qu'on a des constantes g et tau qui sont dans d'autres unités, est-il possible de résoudre cette équation de la manière mathématique que j'évoquais, ou doit-on s'y prendre autrement ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Vu le sujet j'aurais anticipé dv/dt = v/tau - g comme équa diff. (Au moins c'est homogène si on suppose tau être une durée... Et c'est un classique.)

    Je regarde/écoute le lien et reviendrai sur le sujet dans l'après-midi.
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/04/2013 à 14h57.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  7. #6
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Oui, c'est ce que fait le professeur, effectivement...

    Ouh là, je viens de voir que je m'étais emmêlé dans l'énoncé !!!
    En fait, l'équation de départ est avec ... = -g et dans un premier temps, on propose de la résoudre avec ...= 0
    (j'ai écris l'inverse dans mon post, désolé !!!)


    C'est gentil de t'intéresser à ma question.

    Tu pourras me dire en même temps pourquoi tu ne considères pas directement l'équa diff y' - ay = b avec a = -1/tau et b = -g ?

    Merci encore

  8. #7
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    Ouh là, je viens de voir que je m'étais emmêlé dans l'énoncé !!!

    En fait, l'équation de départ est avec ... = -g et dans un premier temps, on propose de la résoudre avec ...= 0
    C'est ce que j'avais "reconstruit", mais je voulais vérifier sur l'original...

    Et ce doit être plutôt dv/dt = -v/tau - g, à moins de prendre tau négatif...
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/04/2013 à 15h11.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  9. #8
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    En fait c'est :

    dv/dt + 1/tau v = -g

    -> dv/dt = -g - 1/tau v

    Avec ici tau de dimension T-1
    Dernière modification par silberic ; 13/04/2013 à 15h16.

  10. #9
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    Tu pourras me dire en même temps pourquoi tu ne considères pas directement l'équa diff y' - ay = b avec a = -1/tau et b = -g ?
    Je ne vois pas trop la différence.

    La technique usuelle pour une équation diff. "affine" c'est bien de résoudre la linéaire d'abord, puis trouver un cas particulier pour l'équa complète.

    Simplement parce que si p est une solution de y'-ay = b et q une solution de y'-ay=0, alors q+p est aussi solution de y'-ay=b. On trouve toutes les solutions de y-ay=b en en trouvant une (quelconque) et en additionnant une solution de y'-ay=0.

    Et on va bien chercher les solutions de dv/dt+v/tau=0 en cherchant les exponentielles, méthode classique pour les linéaires. Soit ici e^{-t/tau} solution.

    Reste à trouver une solution particulière à dv/dt = -v/tau -g
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  11. #10
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    Avec ici tau de dimension T-1
    ?? Rare qu'on appelle tau une fréquence!
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  12. #11
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Oui , je pense que ton explication m'a éclairci...
    En fait :

    f(t) = exp (a)t -b/a = exp (-1/tau) t + g/(-1/tau)

    c'est la même chose que le résultat final dans le cours : exp (cte) * exp (- t/ tau) - g tau...

    En fait, le prof "démontre" en quelque sorte la "formule" toute faite, c'est cela ?

  13. #12
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    En fait c'est :

    dv/dt + 1/tau v = -g

    Avec ici tau de dimension T-1
    Je viens de vérifier, c'est bien

    dv/dt + v/tau = -g (j'écris le v avant 1/tau pour éviter la confusion entre v/tau et 1/(tau v))

    avec tau une durée (dimension T).
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  14. #13
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    non, en fait 1/tau qui est de dimension T-1 ... excuse, je vais trop vite pour répondre.
    Je prendrai soin de vérifier avant d'envoyer mes posts.

  15. #14
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    oui, désolé, j'ai répondu entre temps...
    Dernière question... Je comprends bien l'apparition de la constante K dans le cours de la vidéo, mais dans la formule mathématique, elle n'apparaît pas du tout...
    Pourquoi et à quoi "sert-elle" ? ou plutôt , que représente -t-elle ?
    Dernière modification par silberic ; 13/04/2013 à 15h31.

  16. #15
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    En fait, le prof "démontre" en quelque sorte la "formule" toute faite, c'est cela ?
    ? Richard explique en détail la méthode(1), non? Où sortirait-il une formule toute faite ?

    (1) J'ai juste zappé vite fait quelques endroits de la partie finale de la vidéo...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  17. #16
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Quand je parle de la "formule toute faite", je pense à la solution de l'ED du premier ordre avec second membre : f(x) = exp (ax) - b/a
    Et ce qu'il fait dans la vidéo, c'est démontrer tout ça... c'est ce que je voulais dire pour "démontrer la formule toute faite...".

    Peut-être que cette formule que j'ai en tête est "simplifiée" et c'est pour cette raison que cette constante n'apparaît pas.
    Dernière modification par silberic ; 13/04/2013 à 15h39.

  18. #17
    Amanuensis

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Citation Envoyé par silberic Voir le message
    oui, désolé, j'ai répondu entre temps...
    Dernière question... Je comprends bien l'apparition de la constante K dans le cours de la vidéo, mais dans la formule mathématique, elle n'apparaît pas du tout...
    Pourquoi et à quoi "sert-elle" ? ou plutôt , que représente -t-elle ?
    Je l'ai oublié dans ma description. K est l'équivalent de la constante d'intégration ; ici c'est aussi le choix arbitraire de l'origine des temps. Si e^{-t/tau} est solution de la linéaire y'-y/tau = 0, sont solutions aussi toutes les Ke^-{t/tau} avec K un réel quelconque. Il n'y a pas une solution unique, mais toute une famille. La solution unique est déterminée par les conditions initiales (ici par la vitesse quand t=0, on pourrait écrire comme solution pour l'équation linéaire v0 e^{-(t-t0)/tau, en notant v0 la vitesse à t0.).
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  19. #18
    silberic

    Re : Equation différentielle du mouvement

    Ah oui, d'accord... C'est beaucoup plus clair comme ça.
    Merci beaucoup pour tes réponses et le temps que tu as pris pour m'expliquer tout ça.

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