Equation différentielle du mouvement

[inviteea98c9e1]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question :

Dans une vidéo faite par un éminent professeur de physique à l'université de Chambéry (qui se reconnaîtra certainement, puisqu'il vient souvent sur ce forum...), ce dernier explique comment résoudre l'équa diff suivante : dv/dt = 1/(tau v) et montre comment faire en 3 étapes :
- résoudre dv/dt + 1/tau v = -g
- chercher la solution particulière de l'équation complète (donc, avec second membre) = -g
- faire la somme des 2.

Ma question est la suivante : Ne peut-on pas utiliser la résolution "mathématique" de l'équation différentielle du premier ordre avec second membre, soit :
f(x) = exp (ax) - b/a ?

J'ai tenté de le faire, mais ça ne fonctionne pas... Peut-être me suis-je trompé dans mes "calculs"...

PS : je ne suis pas un élève qui veut se faire faire son exercice, mais quelqu'un passionné de physique (et surtout d'astrophysique) qui cherche à s'améliorer par ses propres moyens et de comprendre des choses...

Voilà, merci pour votre aide
Eric
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[Amanuensis]

Bizarre. Les données sont correctes ? Lien sur la vidéo ?

[inviteea98c9e1]

Oui ...
http://podcast.grenet.fr/episode/cours-4-3/


à 1h04'33 .

Mais si tu trouves bizarre, c'est que je me plante certainement quelque part.

[inviteea98c9e1]

En fait, je me pose la question suivante : puisque l'équation présente une dérivée en fonction du temps dv/dt et qu'on a des constantes g et tau qui sont dans d'autres unités, est-il possible de résoudre cette équation de la manière mathématique que j'évoquais, ou doit-on s'y prendre autrement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Vu le sujet j'aurais anticipé dv/dt = v/tau - g comme équa diff. (Au moins c'est homogène si on suppose tau être une durée... Et c'est un classique.)

Je regarde/écoute le lien et reviendrai sur le sujet dans l'après-midi.

[inviteea98c9e1]

Oui, c'est ce que fait le professeur, effectivement...

Ouh là, je viens de voir que je m'étais emmêlé dans l'énoncé !!!
En fait, l'équation de départ est avec ... = -g et dans un premier temps, on propose de la résoudre avec ...= 0
(j'ai écris l'inverse dans mon post, désolé !!!)


C'est gentil de t'intéresser à ma question.

Tu pourras me dire en même temps pourquoi tu ne considères pas directement l'équa diff y' - ay = b avec a = -1/tau et b = -g ?

Merci encore

[Amanuensis]

Ouh là, je viens de voir que je m'étais emmêlé dans l'énoncé !!!

En fait, l'équation de départ est avec ... = -g et dans un premier temps, on propose de la résoudre avec ...= 0

C'est ce que j'avais "reconstruit", mais je voulais vérifier sur l'original...

Et ce doit être plutôt dv/dt = -v/tau - g, à moins de prendre tau négatif...

[inviteea98c9e1]

En fait c'est :

dv/dt + 1/tau v = -g

-> dv/dt = -g - 1/tau v

Avec ici tau de dimension T-1

[Amanuensis]

Tu pourras me dire en même temps pourquoi tu ne considères pas directement l'équa diff y' - ay = b avec a = -1/tau et b = -g ?

Je ne vois pas trop la différence.

La technique usuelle pour une équation diff. "affine" c'est bien de résoudre la linéaire d'abord, puis trouver un cas particulier pour l'équa complète.

Simplement parce que si p est une solution de y'-ay = b et q une solution de y'-ay=0, alors q+p est aussi solution de y'-ay=b. On trouve toutes les solutions de y-ay=b en en trouvant une (quelconque) et en additionnant une solution de y'-ay=0.

Et on va bien chercher les solutions de dv/dt+v/tau=0 en cherchant les exponentielles, méthode classique pour les linéaires. Soit ici e^{-t/tau} solution.

Reste à trouver une solution particulière à dv/dt = -v/tau -g

[Amanuensis]

Avec ici tau de dimension T-1

?? Rare qu'on appelle tau une fréquence!

[inviteea98c9e1]

Oui , je pense que ton explication m'a éclairci...
En fait :

f(t) = exp (a)t -b/a = exp (-1/tau) t + g/(-1/tau)

c'est la même chose que le résultat final dans le cours : exp (cte) * exp (- t/ tau) - g tau...

En fait, le prof "démontre" en quelque sorte la "formule" toute faite, c'est cela ?

[Amanuensis]

En fait c'est :

dv/dt + 1/tau v = -g

Avec ici tau de dimension T-1

Je viens de vérifier, c'est bien

dv/dt + v/tau = -g (j'écris le v avant 1/tau pour éviter la confusion entre v/tau et 1/(tau v))

avec tau une durée (dimension T).

[inviteea98c9e1]

non, en fait 1/tau qui est de dimension T-1 ... excuse, je vais trop vite pour répondre.
Je prendrai soin de vérifier avant d'envoyer mes posts.

[inviteea98c9e1]

oui, désolé, j'ai répondu entre temps...
Dernière question... Je comprends bien l'apparition de la constante K dans le cours de la vidéo, mais dans la formule mathématique, elle n'apparaît pas du tout...
Pourquoi et à quoi "sert-elle" ? ou plutôt , que représente -t-elle ?

[Amanuensis]

En fait, le prof "démontre" en quelque sorte la "formule" toute faite, c'est cela ?

? Richard explique en détail la méthode(1), non? Où sortirait-il une formule toute faite ?

(1) J'ai juste zappé vite fait quelques endroits de la partie finale de la vidéo...

[inviteea98c9e1]

Quand je parle de la "formule toute faite", je pense à la solution de l'ED du premier ordre avec second membre : f(x) = exp (ax) - b/a
Et ce qu'il fait dans la vidéo, c'est démontrer tout ça... c'est ce que je voulais dire pour "démontrer la formule toute faite...".

Peut-être que cette formule que j'ai en tête est "simplifiée" et c'est pour cette raison que cette constante n'apparaît pas.

[Amanuensis]

oui, désolé, j'ai répondu entre temps...
Dernière question... Je comprends bien l'apparition de la constante K dans le cours de la vidéo, mais dans la formule mathématique, elle n'apparaît pas du tout...
Pourquoi et à quoi "sert-elle" ? ou plutôt , que représente -t-elle ?

Je l'ai oublié dans ma description. K est l'équivalent de la constante d'intégration ; ici c'est aussi le choix arbitraire de l'origine des temps. Si e^{-t/tau} est solution de la linéaire y'-y/tau = 0, sont solutions aussi toutes les Ke^-{t/tau} avec K un réel quelconque. Il n'y a pas une solution unique, mais toute une famille. La solution unique est déterminée par les conditions initiales (ici par la vitesse quand t=0, on pourrait écrire comme solution pour l'équation linéaire v0 e^{-(t-t0)/tau, en notant v0 la vitesse à t0.).

[inviteea98c9e1]

Ah oui, d'accord... C'est beaucoup plus clair comme ça.
Merci beaucoup pour tes réponses et le temps que tu as pris pour m'expliquer tout ça.