Tenseur métrique

[inviteea98c9e1]

Bonjour à tous,

J'ai posé ma question différemment dans la section maths, mais il semblerait que sa place serait plus ici.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la notion de tenseur métrique, sachant que je sais ce qu'est une matrice et à peu près ces propriétés (en tout cas les plus courantes...), mais que je ne vois pas concrètement ce qu'est un tenseur, et son application dans une formule (comme ce que l'on trouve en RG.)

Merci d'avance pour vos pistes
Eric
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[bobdémaths]

Bonjour,

Très intuitivement, la notion de tenseur métrique est, comme son nom l'indique, un tenseur qui permet de mesurer des distances. Un tenseur peut prendre la forme d'une matrice s'il est de dimension 2, ou d'un tableau de nombres plus grand en dimension supérieure, mais il faut comprendre qu'il a une structure supplémentaire. Par exemple, le tenseur métrique est deux fois covariant, ce qui signifie qu'il faut interpréter la matrice comme celle d'une forme bilinéaire, et pas comme celle d'une application linéaire.

Pour comprendre comment ça marche, prenons un exemple simple, avec un tenseur métrique constant, c'est-à-dire qu'il a une certaine valeur numérique dans tout l'espace. Alors pour calculer la longueur d'un vecteur, tu utilises la forme bilinéaire donnée par le tenseur métrique à la place du théorème de Pythagore.

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai posé ma question différemment dans la section maths, mais il semblerait que sa place serait plus ici.

Je vous rapelle que les doublons sont interdits.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la notion de tenseur métrique, sachant que je sais ce qu'est une matrice et à peu près ces propriétés (en tout cas les plus courantes...), mais que je ne vois pas concrètement ce qu'est un tenseur, et son application dans une formule (comme ce que l'on trouve en RG.)

Quel est votre niveau en maths ? Il faut un peu plus que des matrices ici.
Avez-vous essayé de lire un cours de relativité générale, niveau introduction ? Ou de géométrie (pseudo)riemannienne ? Parce que c'est à peu près ce que vous demandez...
Peut-être ensuite aurez-vous des questions plus précises auxquelles nous pourrons répondre.

@+

[bobdémaths]

Pour illustrer mon propos ci-dessus qui n'était peut-être pas très clair, supposons que ton tenseur métrique soit donné par la matrice
(nous nous plaçons sur un espace à deux dimensions)

Alors pour un vecteur , on calcule la "longueur" de V par la formule à la place de la formule usuelle . En fait, tu vois que la formule usuelle correspond à un tenseur métrique , que l'on appelle donc la métrique "euclidienne".

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea98c9e1]

Désolé pour le doublon qui n'en est pas un, puisque j'avais posé deux questions en maths, et on m'a répondu que celle-ci serait plus pour des physiciens...
Mon niveau en maths (pour l'instant) est bac S (passé il y a 12 ans), mais je me replonge dans les maths et la physique en ce moment, et j'essaye de comprendre les différentes notions, en recherchant à droite et à gauche.

C'est justement en regardant des cours de RG que me vient cette question concernant le tenseur métrique.

[inviteea98c9e1]

Pour illustrer mon propos ci-dessus qui n'était peut-être pas très clair, supposons que ton tenseur métrique soit donné par la matrice
(nous nous plaçons sur un espace à deux dimensions)

Alors pour un vecteur , on calcule la "longueur" de V par la formule à la place de la formule usuelle . En fait, tu vois que la formule usuelle correspond à un tenseur métrique , que l'on appelle donc la métrique "euclidienne".

En fait, la géométrie euclidienne n'est qu'un cas particulier de cette géométrie pseudo-riemannienne ?
Je comprends ton exemple... Mais à quoi correspondrait un tenseur métrique représenté par cette matrice dont tu parles ?

[albanxiii]

Re,

J'ai vu vos questions dans votre fil en maths....
Je vous conseille le cours "Gravitation" d'Alain Laverne, que vous trouverez dans la bibliothèque virtuelle de physique, ou bien ici http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/ C'est écrit par un physicien, pour des physiciens, avec le minimum de maths.
Niveau bac S, ça risque de pas le faire par contre. Dans votre profil il est indiqué "maîtrise", vous avez bien du faire des maths après le bac, non ?

Une autre question : vous connaissez la relativité restreinte ?

@+

[bobdémaths]

En fait, la géométrie euclidienne n'est qu'un cas particulier de cette géométrie pseudo-riemannienne ?
Je comprends ton exemple... Mais à quoi correspondrait un tenseur métrique représenté par cette matrice dont tu parles ?

Oui, la géométrie euclidienne n'est qu'un cas particulier de géométrie riemannienne.

Pour ta seconde question, je ne sais pas si je la comprends très bien. Que veux-tu dire par "à quoi correspondrait" ? Je t'ai simplement donné un exemple pour illustrer ce qu'est un tenseur métrique. Peux-tu être plus explicite ? Je me ferai une joie de te répondre !

[inviteea98c9e1]

Je devrais préciser dans le profil... Je suis prof de langues, donc, j'ai fait du littéraire après le bac.
Je connais la RR, oui. En tout cas, je l'étudie à l'aide de différents cours que j'ai trouvé en ligne.

Merci pour le lien, je vais regarder ça.
Eric

[inviteea98c9e1]

En fait, le tenseur métrique EST une matrice simple ?
Si j'ai bien compris, elle sert à illustrer le changement de coordonnées en chaque point d'un espace courbe, c'est cela ?

[invite6754323456711]

En fait, le tenseur métrique EST une matrice simple ?

Dans un premier temps en mon sens est d'oublier cette notion de matrice. Pour ce raccrocher à un cas pratique qui est celui de la RR ou l'espace-temps est un espace affine de dimension 4 sur R. La distinction avec l'espace-temps de la mécanique Newtonienne se fait au niveau des structures fondamentales introduites sur ces deux espaces. Pour l'espace-temps relativiste, la structure fondamentale est fournie par le tenseur métrique.

Dans le cadre de la physique classique non relativiste, la cadre de l'espace absolu Newtonien les objets primordiaux sont les vecteurs v d'un espace vectoriel R³. Sur cet espace une structure importante qui est défini est le produit scalaire de deux vecteurs :

u.v = u¹v¹ + u²v² + u³v³ ou les uⁱ vⁱ sont les composantes des vecteur u et v dans une base orthonormale. Le produit scalaire fonde la géométrie. En effet il permet notamment de la norme d'un vecteur, l'angle entre deux vecteurs et d'introduire des relations d'orthogonalité entre deux sous-espaces.

Le géométrie de la physique relativiste diffère de celle de la physique Newtonienne en deux points :

- L'espace de base n'es plus de dimension 3 mais 4 (il intègre le temps)
- Le produit scalaire utilisé n'est plus euclidien au sens ou il existe une base de l'espace vectoriel ou il s'écrit u.v = -u⁰v⁰ + u¹v¹ + u²v² + u³v³

De manière plus précise on muni l'espace vectoriel E associé à l'espace-temps affine d'une forme bilinéaire symétrique g qui est non dégénérée et de signature (-, +,+,+).

Vous trouverais facilement sur wikipédia les sens donnés à forme bilinéaire, symétrique, non dégénéré et de signature.

La forme bilinéaire ainsi définie est appelée tenseur métrique de l'espace-temps affine. On l’appelle aussi parfois la métrique.

Patrick

[bobdémaths]

En fait, le tenseur métrique EST une matrice simple ?

Je vais essayer de répondre plus précisément à ta question, en complément aux remarques plus générales de ù100fil.

Comme je l'ai dit, un tenseur peut se représenter par une matrice, mais il possède plus de "structure". Prenons l'exemple du message précédent. La matrice peut s'interpréter d'au moins deux façons différentes.
1) On peut la voir comme la matrice d'une application linéaire entre deux espaces de dimension 2, définie par et .
2) On peut la voir comme matrice d'une forme bilinéaire, c'est-à-dire une fonction allant de l'espace de dimension 2 dans R, définie par .

Comme tu le vois, ces objets sont très différents, mais ils sont tous les deux associés à la même matrice (en tant que tableau de nombres). En gros, chacune des deux interprétations ci-dessus correspond à la même matrice, mais à un tenseur différent.

Le tenseur métrique correspond à la seconde interprétation.

En résumé : un tenseur correspond à une matrice, associée à une certaine interprétation de ses coefficients.

Si j'ai bien compris, elle sert à illustrer le changement de coordonnées en chaque point d'un espace courbe, c'est cela ?

Non ce n'est pas ça.

Comme je l'ai dit juste au-dessus, la bonne interprétation du tenseur métrique est sous la forme d'une forme bilinéaire, c'est-à-dire une application qui est linéaire en ses deux arguments.
Sa signification est alors la suivante : la longueur (=norme) du vecteur est donnée par , où f est la forme bilinéaire. En fait il vaut mieux considérer le carré de la norme, donnée par . Plus généralement, le tenseur métrique permet non seulement de définir les longueurs mais aussi le produit scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs est simplement .

Un exemple pour illustrer cela si tu connais la relativité restreinte. Dans cette théorie, le tenseur métrique est donné par la matrice
. Donc le produit scalaire de deux quadri-vecteurs est donné par la formule de ù100fil.

Cependant, ce que tu as dit n'est pas complètement faux, si on l'interprète correctement. Imaginons une sphère, qui est plongée dans notre espace tridimensionnel. L'espace tridimensionnel est l'espace euclidien, décrit par des coordonnées (x,y,z), et par la métrique euclidienne (des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs). Maintenant, sur la sphère, on peut adopter des coordonnées plus pratiques, par exemple, latitude et longitude. Mais alors pour calculer la distance entre deux points sur la sphère, on ne peut plus utiliser la formule euclidienne classique. Le tenseur métrique n'est pas trivial. Donc en passant des coordonnées euclidiennes aux coordonnées curvilignes, l'expression du tenseur métrique en tant que matrice (tableau de nombres) a changé. Mais le tenseur lui-même n'a pas changé, c'est son expression dans une base donnée qui a changé.

Je n'ai sans doute pas été complètement clair dans ce dernier paragraphe car les concepts sont plus compliqués, donc n'hésite pas si tu as d'autres questions.

[inviteea98c9e1]

Merci beaucoup à vous pour ces explications. Je relirai tout ça demain à tête reposée et poserai d'autres questions (certainement, car le sujet est complexe) si il m'en vient.

Encore merci

[invite6754323456711]

Merci beaucoup à vous pour ces explications. Je relirai tout ça demain à tête reposée et poserai d'autres questions (certainement, car le sujet est complexe) si il m'en vient.

Pour une formalisation plus dans l'esprit mathématique de la notion de tenseur voir cet article http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4048899

Patrick

[albanxiii]

Re-bonjour,

Je connais la RR, oui. En tout cas, je l'étudie à l'aide de différents cours que j'ai trouvé en ligne.

Dans ce cas vous connaissez le tenseur métrique de la RR ? Celui qui permet d'écrire ? (notez que j'ai bien écrit et pas comme en relativité générale, est constant et le même pour tout le mode, c'est à dire qu'il a la me^me valeur dasn tous les référentiels inertiels).

En RG, c'est une généralisation qui permet de décrire des espaces-temps courbes. Une difficulté est le mot "temps" dans espace-temps, en plus de "courbe"...

Un exemple sans le temps : je vous donne . Quel espace courbe cela représente ?

Là, c'est facile, c'est une sphère, de rayon (j'ai utilisé des coodonnées sphériques)... Mais stop ! je vous vois déjà vous imaginer avec une boule dans votre main ! Cette boule dans voter main est une sphère plongée dans l'espace 3D. Avec mon exemple, il faut vous imaginer vous même vivant dans un espace à 2D qui a une métrique donnée par . Là, en étant un être 2D qui vit dans cet espace 2D, vous ne pourrez pas vous rendre compte que c'est une sphère. Et même pire, localement autour de vous , vous aurez l'impression d'être dans un espace plat. Pour des petites distances, vous pourrez faire des mesures et trouver avec une bonne précision, comme dans un plan. Mais si vous vous déplacez et que vous mesurez des distances plus grandes, vous verrez que cette formule le convient plus et que c'est l'autre qui est tout le temps vraie en fait (sans parler du fait que si vous allez tout droit, vous allez revenir à votre point de départ).

Quand on n'a pas l'habitude de ce que je viens d'écrire n'est pas forcément simple... Mais alors imaginez en 3D.... et en 4D quand on ajoute le temps....

J'y repense à l'instant : vous pouvez trouver sur le net les DB de Jean-Pierre Petit (ne lisez que ses BD, sur le reste il a coulé une bielle), lisez "Le géometricon" et "Le topologicon" si vous voulez vous familiariser en douceur et avec des dessins avec des histoires de géométries non euclidiennes.

@+

[inviteea98c9e1]

Merci pour cette explication très claire. Effectivement, je connais le tenseur métrique de la RR sans savoir que c'en était un !
ds² = c²dt² - dx²-dy²-dz², mais je ne l'associais pas au tenseur métrique "eta mu nu" (je ne sais pas écrire les lettres grecques sur mon clavier ^^)

Mais maintenant, tout ça commence à s'éclaircir.
Je vais continuer à étudier avec les articles de Wiki et les différents cours que je trouve en ligne, et vous reposerez des questions si besoin.

Merci encore

[albanxiii]

Re,

Pour les lettres grecques, tapez les avec un \ devant entre des balises [ tex ] et [ /tex ] (sans les espaces). Ou alors cliquez "Répondre avec citation" sur mon message, vous verrez les codes .
Exemple : [ tex ] \eta_{\mu\nu} [ /tex ] donne (sans les espaces dans les balises) : .

@+