Exercice de mécanique quantique

[invite66f33b52]

Bonjour, je bloque sur un exo de mécanique quantique , j'ecrit ici en éspérant avoir un peu d'aide.

voila, on a un operateur H= hw*
{1 0 0}
{0 0 1}
{0 1 0}

dans une base Q={1;2;3}
on veut exprimer la base des vecteurs propres de H dans Q, est il necessaire de diagonaliser la matrice ? ensuite il suffit simplement de calculer les valeurs propres puis leurs vecteurs propres associés, ca je sais faire, mais l'énoncé ajoute: "pour l'identification des vecteurs on prendra des vecteurs orthogonaux a 1 ) et la je comprends pas, normalement on obtient directement la base des vecteurs propres par rapport a Q non ? pourquoi ils devraient forcément etre orthogonaux a 1 ?
-----

[invite54165721]

Ta base 1 2 3 est elle orthonormée?

[invite66f33b52]

Oui, l'énoncé précise qu'elle est orthonormée, j'ai oublié de l'ecrire désolé

[invite66f33b52]

Personne ne peut m'aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Tu peux bien sur diagonaliser mais le résultat est pratiquement visible sans calcul.
la matrice H est associée à une application linéaire dont on cherche les vecteurs.propres
on a m(e1) = 1 fois e1 (premiere colonne)
Puis m(e2) = ?
m(e3) = ?
m(e2 + e3) = ?
m(e2 - e3) = ?

[invite66f33b52]

Merci pour la réponse, malheureusement, je ne voit pas comment on peut le voir directement, e1,e2,e3 ce sont les valeurs propres c'est ca ? et m les vecteurs propres ? dans ce cas quelle est l'interet de calculer m(e2+e3) ou m(e2-e3). De plus en résolvant l'équation aux valeurs propres on obtient directement les vecteurs propres exprimés dans Q non (vu que H est écrit dans Q) ? et puis plus globalement , quel est l'interet de diagonaliser un operateur, ne peut on pas calculer directement sa base des vecteurs propres meme si il n'est pas diagonalisé ?

[invite54165721]

j'ai renommé 1 2 3 en e1 e2 et e3
quant à m tu peux la renommer h (comme ta matrice) c'est la fonction linéaire (de matrice H dans la base e1 e2 e3)dont tu cherches les vecteurs propres.
donc h(e1) = e1 (tu as déjà trouvé un vecteur propre pour la valeur propre 1)
h(e2) = ?
h(e3) = ?
h(e2 + e3) = ?
h(e2 - e3) = ?

[invite66f33b52]

d'accord, mais a quoi sert il de chercher h(e2-e3) et h(e2+e3) ? et je vais poser une question polus générale, est il forcément nécéssaire que l'operateur (ou la matrice) soient diagonalisés pour pouvoir calculer leurs vecteurs ou valeurs propre grace au polynome caractéristique ? de plus les vecteurs propres obtenus le sont directement dans la e1,e2,e3 non ?

[invite54165721]

donnant, donnant:
tu fais les calculs que je t'ai donnés PUIS je réponds à tes questions!

[invite66f33b52]

d'accord, on a h(2)=h(3)
h(3)=h(2)
h(e2+e3)=h(2)+h(3)
h(e2-e3)=-h(3)+h(2)


en espérant avoir une réponse a mes questions (je suis un peu largué la)

[invite54165721]

on n'utilise plus les notations initiales 1 2 et 3 pour désigner les vecteurs de base.
par exemple e2 a pour coordonnées:
(0)
(1)
(0)
et pour avoir h(e2) tu multiplies la matrice par ce vecteur colonne à droite
tu obtiens
(0)
(0)
(1)
qui sont les coordonnées de e3
donc h(e2) = e3 (l image de e2 par l'opérateur H est e3 et n'est donc pas un vecteur propre)
continue de faire les calculs indiqués et tu verras que tu trouveras les vecteurs propres.

[invite66f33b52]

j'obtiens h(e2)=e3
h(e3)=e2
h(e2+e3)=[0;1;1]=e2+e3
h(e3-e2)=[0;1;-1]=e2-e3


on a h(e2+e3)=e2+e3, mais je ne voit toujours pas ou sont les vecteurs propres la dedans

[invite54165721]

Dommage de continuer à chercher quand on trouvé!
regarde la définition dun Vecteur_propre
quels sont les vecteurs propres parmi ceux que tu as calculés et pour quelles valeurs propres (une par vecteur)?

As tu bien compris que e1 est un vecteur propre de H avec la valeur propre 1?
Il y a un théorème qui dit que si la matrice est réelle symétrique, les vecteurs propres sont orthogonaux.
e1 étant vecteur propre, le prof t'avais suggèré de chercher les autres vecteurs propres comme combinaison linéaire de e2 et e3.

[invite66f33b52]

j'avais oublié la défnition d'un vecteur propre, la ca va mieux
on a donc 2 valeurs propres 1 et -1 et 3 vecteurs propres: [1,0,0] et [0,1,1] pour 1 et [0,1,-1] pour -1 , 1 est dégénérée d'ordre 2 (2 vecteurs propres lui correspondent).

[invite54165721]

C'est tout bon.
Par curiosité, tu es en quelle classe?

[invite66f33b52]

Je suis en L3 de physique aprés avoir fait un DUT mesures physiques (ce qui explique mes lacunes en maths), pour moi les vecteurs propres, c'est généralement pour diagonaliser une matrice, j'avais oublié la définition principale, ses vecteurs propres sont définis dans la base [1;2;3] donc ?

[invite54165721]

oui, ici les vecteurs propres appartiennent à un espace vectoriel de dimension 3. si tu prends une certaine base un vecteur propre aura 3 coordonnées dans cette base, si l'on prend une autre base on aura 3 autres coordonnées.
La méthode que je t'ai fait suivre est en fait une vérification quand on a "vu" intuitivement quels étaient les vecteurs propres à trouver.
Quand on n'a pas d'idée il faut résoudre le polynome aux valeurs propres (ici determinant = s(s² - 1) = 0)
puis pour chaque valeur s propre trouvée résoudre (H - s) V = 0.
Je te conseille de faire cet exercice également de la façon indiquée par ton prof:
il y en a une qui est évidente pour la valeur propre 1 c'est e1 (je n'aime pas la notation (1;2;3) car il s'agit d'une base de 3 vecteurs)
il reste à trouver les deux autres dans le plan (e1 e2)perpendiculaire à e1.
tu l'écris a e1 + b e2 puis tu cherches une solution en calculant des a b qui marchent.

[invite54165721]

erreur:
il fallait lire (s - 1) (s² - 1)