Champ de vecteur sur une variété

[inviteafe88240]

Bonjour, soit V une variété différentielle, en chaque point M il existe un système de coordonnées locale (x⁰, x¹, x², x³). Je demande juste
juste au lecteur(s) de confirmer ou non, s'il(s) lui(leurs) plaît(plaisent), mes dires.

Définir un champ de vecteur sur une variété consiste à associer à chaque point M de coordonnées locale (x⁰, x¹, x², x³) un vecteur de l'espace tangent. En d'autres termes, on définie 4 fonction de (x⁰, x¹, x², x³) noté f^p ou p va de 0 à 3 et en posant (∂₀; ∂₁; ∂₂; ∂₃) une base de l'espace tangent, le vecteur u de l'espace tangent associé au point M est noté(j'utilise la convention d'Einstein.). :

u = f^p(x⁰, x¹, x², x³)∂_p

Merci d'avance et bonne fin d'après midi.
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[inviteafe88240]

Tout d'un coup, je me sens seul.

[Amanuensis]

Oui, pourquoi pas. (En prenant garde quand même que ce que représente (par exemple) ∂₀ varie d'un point à un autre.)

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Au passage, il y a des petits problèmes dans les hypothèses. Par exemple

en chaque point M il existe un système de coordonnées locale (x⁰, x¹, x², x³).

n'est pas dit rigoureusement. Je ne sais pas si c'est une maladresse d'expression, ou un problème de compréhension de la notion de système de coordonnées.

[inviteafe88240]

Par coordonnées locales j'entends qu'en chaque point M de la variété V phi on défini un voisinage(ouvert noté U.). homéomorphe à un ouvert U' de Rⁿ(ici n = 4.).

U c V -> U' c R⁴
phi :
M -> (x⁰, x¹, x², x³)

Je me suis mal exprimé désolez.
J'espère en tous cas que ce que je dis est vrai?

Merci d'avance et bonne fin soirée.

PS : Serais t-il possible que je pose dans cette discussion d'autre question en rapport?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafe88240]

En outre les ∂_ i où i va de 0 à 3 sont les vecteurs de base de l'espace tangent qui change lorsque l'on change de point, c'est d'ailleurs là où interviennent les fameux symboles de Christoffel. Mais corrigez moi si je me trompe, je suis là pour apprendre.

[Amanuensis]

Par coordonnées locales j'entends qu'en chaque point M de la variété V phi on défini un voisinage(ouvert noté U.). homéomorphe à un ouvert U' de Rⁿ(ici n = 4.).

On peut faire cela, mais cela n'est pas très adapté à parler d'un champ de vecteurs. Pour tout ce qui est différentiation, faut que le système de coordonnées choisi soit le même pour tous les points dans tout le voisinage d'un point, ce qui n'est pas la même chose que de choisir un système par point.

La fonction f dont vous parlez est définie sur tout un ouvert avec un unique système de coordonnées utilisé pour tous les points de l'ouvert, pas avec un système par point.

Je me suis mal exprimé désolez.

À vous de juger, et de voir si vous trouvez cela risible.

[inviteafe88240]

Bonjour et merci de vos réponses Amanuensis. Donc récapitulons un champ de vecteur sur notre variété est une application qui associe
à chaque point M de V un vecteur de l'espace tangent à la variété V en M. Maintenant, une fois que l'on a défini cela, est-ce vrai qu'il existe une formule avec les symboles de Christoffel qui permet d'exprimer la dérivée covariante du champs de vecteur? Parce que moi j'ai trouvé plusieurs formule différente pour exprimer la dérivée covariante.

Merci d'avance et bonne matinée.

[Amanuensis]

Maintenant, une fois que l'on a défini cela, est-ce vrai qu'il existe une formule avec les symboles de Christoffel qui permet d'exprimer la dérivée covariante du champs de vecteur?

Oui, du moins une fois choisi un champ de base. Par définition, les symboles de Christoffel sont



est la kième coordonnée de la dérivée directionnelle du champ , dans la direction de .

Ce qui permet d'exprimer la dérivée covariante pour un champ quelconque, ou la dérivée directionnelle d'un champ quelconque dans une direction quelconque...

Parce que moi j'ai trouvé plusieurs formule différente pour exprimer la dérivée covariante.

J'imagine qu'elles sont équivalentes!

[inviteafe88240]

Bon je pense que je vais revoir les dérivée directionnelle merci quand même et bonne matinée.

PS : Ce peut-il qu'il y est d'autre réponse?

[Amanuensis]

quand même

?? J'ai dû raté le fond de la question, alors...

[inviteafe88240]

Oulà quand vous dites

"faut que le système de coordonnées choisi soit le même pour tous les points dans tout le voisinage d'un point, ce qui n'est pas la même chose que de choisir un système par point.".

Que voulez-vous dire par "faut que le système de coordonnées choisi soit le même pour tous les points dans tout le voisinage d'un point.".
s'il vous plaît?

PS : Quand je mettais dans le message c'était sensé être un sourire pour vous remerciez de me corriger mais pas un rire. Des fois je ne comprends pas vraiment la fonction des smiley que je mets, désolez.

[Amanuensis]

Prenons l'exemple simple de la surface d'une sphère. Il n'y a pas de système de coordonnées différentiable unique, il en faut au moins deux. Si on veut étudier ce qu'il se passe autour d'un point, on va prendre une zone autour (un voisinage) et un unique système de coordonnée couvrant cette zone, une sorte de quadrillage de la zone pour s'y repérer (par exemple ce qu'on obtient avec une projection azimutale centrée sur le point à étudier). Le système est choisi pour qu'il marche sur tout le voisinage, et donc ne serait pas nécessairement adapté à l'étude d'un point hors, et surtout loin, du voisinage. C'est le système choisi qui détermine, pour tout le voisinage, le champ de vecteurs de base, ainsi que les coefficients de Christoffel.

La formulation dans le premier message pouvait se comprendre comme prendre pour chaque point un système de coordonnée différent, ce qui n'est pas la même chose.

[inviteafe88240]

Le système est choisi pour qu'il marche sur tout le voisinage

Comme les coordonnées de Schwarschild dans la variété de dimension 4 correspondant à l'espace temps n'est ce pas?

[Amanuensis]

Oui. Du moins disons pour la partie r>r_s (le rayon de Schwarzschild). En tout point de l'ouvert ainsi défini (tout "l'extérieur" du trou noir), on peut utiliser ce système de coordonnées.

[inviteafe88240]

Ok et c'est avec ce genre de système que l'on peut définir un champ de vecteur sur la variété comme je l'ai écrit dans le premier message, non?

[inviteafe88240]

Il n'y a plus personne?

[inviteafe88240]

Il n'y a plus personne?

[inviteafe88240]

Re,

C'est encore moi j'ai deux nouvelles questions en plus de celles que j'ai posé précédant c'est à dire

Ok et c'est avec ce genre de système que l'on peut définir un champ de vecteur sur la variété comme je l'ai écrit dans le premier message, non?

Sinon les deux autres questions c'est :

Y a t-il un autre moyen de définir un champ de vecteur(où j'associe à chaque point de ma variété un vecteur de l'espace tangent.). sur une variété?

Sinon j'ai aussi vu que la dérivée covariante d'un champ de vecteur est

D_µV^µ = ∂_µ V^µ + R^v_µaV^a (1)
R^v_µa sont les symboles de Christoffel.
Mais des fois on parle de dérivée directionnelles ou on voit des éléments du genre D_u ou u
est un vecteur or dans (1) µ est un entier naturelle allant de 0 à 3. Quelle est dans tous cela la vrai définition de la dérivée covariante?

Y a deux jour je croyais avoir tous compris mais s'a y est je suis de nouveau perdu. Aidez moi je vous prie!

@+

[inviteafe88240]

Franachement...


...


...

[Amanuensis]

Sinon j'ai aussi vu que la dérivée covariante d'un champ de vecteur est

D_µV^µ = ∂_µ V^µ + R^v_µaV^a (1)
R^v_µa sont les symboles de Christoffel.

Hmmm... D'où vient cette formule? (elle n'est pas cohérente, les termes ne peuvent pas s'additionner, les indices ne correspondant pas, ce me semble)

[Amanuensis]

D_µV^µ = ∂_µ V^µ + R^v_µaV^a

Proposition de réécriture:

D_µV^v = ∂_µ V^v + R^v_aµV^a

[inviteafe88240]

Ok merci Amanuensis merci pour la réponse, donc mes V_a sont des fonctions de M et plus précisément de
(x⁰, x¹, x², x³)? Mais d'ailleurs mas dérivée covariante donne un scalaire et pas un vecteur? Et puis c'est quoi la dérivée directionnelle est-ce une autre dérivée covariante?Parce que j'en ai aussi entendu parler. Je suis embrouillé. Merci de me répondre bonne soirée.

[Amanuensis]

donc mes V_a sont des fonctions de M et plus précisément de
(x⁰, x¹, x², x³)?

Les V^a sont des fonctions de M et, une fois choisi un système de coordonnées pour un voisinage de M, des coordonnées
(x⁰, x¹, x², x³) de M.

Mais d'ailleurs mas dérivée covariante donne un scalaire et pas un vecteur?

La dérivée covariante d'un champ de vecteurs ne donne ni un champs de scalaire, ni un champ de vecteurs, mais un champ de tenseurs d'ordre (1,1).

Et puis c'est quoi la dérivée directionnelle est-ce une autre dérivée covariante?

La dérivée directionnelle, c'est la dérivée du champ de vecteurs le long d'une ligne passant par le point. Elle dépend du champ de vecteurs et de la direction de la tangente à la ligne au point.

Un tenseur (1, 1) s'interprète (entre autres) comme une fonction (linéaire) qui à un vecteur associe un autre vecteur. Appliquer le tenseur "dérivée covariante en M du champ de vecteurs" à un vecteur W donne la valeur de la dérivée directionnelle du champs dans la direction de W.

D'une certaine manière, la dérivée covariante en un point d'un champ est l'ensemble des dérivées directionnelles en ce point du champ, ensemble "codé" sous la forme d'un tenseur.

[inviteafe88240]

Bonjour et merci Amanuensis,

"Les V^a sont des fonctions de M et..." oui le a est contravariant donc en haut .

Sinon :

D_µV^v est un scalaire(tenseur d'ordre (0, 0) .). et pas un tenseur d'ordre (1, 1)? Où alors vu que le µ est en bas et
que le v est en haut, on peut dire que D_µV^v est sa µ ième composante covariante et sa v ième composantes contravariantes?

Sinon "La dérivée directionnelle, c'est la dérivée du champ de vecteurs le long d'une ligne passant parle point" quelle point je vous prie?


Merci d'avance et bonne matinée.

[Amanuensis]

D_µV^v est un scalaire(tenseur d'ordre (0, 0) .). et pas un tenseur d'ordre (1, 1)?

La dérivée covariante d'un champ vectoriel est un tenseur (1, 1).

Maintenant l'écriture D_µV^v peut être comprise indifféremment comme:

1) Le tenseur lui-même;

2) La composante particulière (µ,v) du tenseur (composante qui est un scalaire).

La signification dépend du contexte. Cette équivoque est la même que de parler du vecteur V^a.

Sinon "La dérivée directionnelle, c'est la dérivée du champ de vecteurs le long d'une ligne passant parle point" quelle point je vous prie?

Le point pour lequel on calcule la dérivée directionnelle. De même qu'on va dire que la dérivée en 2 (au point 2) de x² vaut 4.

[inviteafe88240]

Merci Amanuensis donc notre dérivée covariante nous permet d'exprimer les composantes d'un tenseur d'ordre (1, 1) c'est OK. Mais
d'une manière générale comment exprimer la dérivée covariante d'un champ de tenseur d'ordre (q, k)(q contravariants et k covariants.).? Et vu que cette dérivée covariante donne les composantes d'un tenseur quelle st l'ordre de ce tenseur?
Sinon avec les sigma la dérivée covariante donne bien :

?

Nos V^a étant des fonctions de (x⁰, x¹, x², x³) et nos R étant les symboles de Christoffel.
Et est-ce qu'en Relativité Générale on se sert beaucoup de la dérivée directionnelle?

Merci d'avance et bonne après midi.

[Amanuensis]

d'une manière générale comment exprimer la dérivée covariante d'un champ de tenseur d'ordre (q, k)(q contravariants et k covariants.).?

Pheew... Trop compliqué à retranscrire en adaptant les notations. Cela se trouve dans plein de textes de références, par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9..._de_tenseurs_2

Et vu que cette dérivée covariante donne les composantes d'un tenseur quelle st l'ordre de ce tenseur?

Dériver augmente de 1 l'ordre covariant, (n, m) -> (n,m+1). Par exemple la dérivée covariante d'un champ scalaire est le gradient, d'ordre (0,1); celle d'un champ de vecteur, d'ordre (1,0), est d'ordre (1,1), etc.

Sinon avec les sigma la dérivée covariante donne bien :

oui

est-ce qu'en Relativité Générale on se sert beaucoup de la dérivée directionnelle?

Question pas claire. Pour moi dérivée covariante et dérivées directionnelles sont deux aspects de la même chose, si on utilise l'un on utilise implicitement l'autre.

[inviteafe88240]

Pheew... Trop compliqué à retranscrire en adaptant les notations. Cela se trouve dans plein de textes de références, par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9..._de_tenseurs_2

D'accord vu la formule je comprends que c'est trop compliqué à retranscrire.

Dériver augmente de 1 l'ordre covariant, (n, m) -> (n,m+1). Par exemple la dérivée covariante d'un champ scalaire est le gradient, d'ordre (0,1); celle d'un champ de vecteur, d'ordre (1,0), est d'ordre (1,1), etc.

C'est OK.

En outre, il me reste deux questions :

Maintenant que je sais tous cela(tenseur et opération, variété, système de coordonnées, espace tangent en chaque point avec une base de cette espace en chaque point, dérivée covariante, symboles de Christoffel pour la connexion, champ scalaire de vecteur et de tenseur sur une variété.). qu'est ce qu'il me reste pour étudier les équations du champ(par là j'entend qu'est ce qu'il faut savoir pour démontrer leurs constructions.).?

Par ailleurs, le tenseur de Riemann s'exprime à partir des dérivée première et seconde de la métrique :



Pourquoi l'a t-on écrit ainsi; voulait on qu'il vérifié certaine propriété, et pourquoi voulait t-on qu'ils les vérifie?

Merci d'avance et bonne après-midi.

PS : Cela n'est pas important mais est-ce que cela existe la dérivée contravariante je vous prie?

[Amanuensis]

Maintenant que je sais tous cela(tenseur et opération, variété, système de coordonnées, espace tangent en chaque point avec une base de cette espace en chaque point, dérivée covariante, symboles de Christoffel pour la connexion, champ scalaire de vecteur et de tenseur sur une variété.). qu'est ce qu'il me reste pour étudier les équations du champ(par là j'entend qu'est ce qu'il faut savoir pour démontrer leurs constructions.).?

Hum... Beaucoup! La courbure par exemple, le transport parallèle, ... (et d'autres choses qu'il faudrait que je sache!!!). (La notion de dérivée covariante est indépendante de la courbure, elle s'applique même en plat quand on utilise des coordonnées "curvilignes". En fait on peut le dire dans l'autre sens: les cas où les Christoffel sont nuls sont des exceptions (coordonnées cartésiennes; on pourrait presque définir les coordonnées cartésiennes par la nullité des Christoffel!)

Pourquoi l'a t-on écrit ainsi; voulait on qu'il vérifié certaine propriété, et pourquoi voulait t-on qu'ils les vérifie?

Question beaucoup trop compliquée. Faut étudier dans l'ordre: 1) Ce qu'est la courbure (et si possible la torsion) une fois donnée une connexion (une dérivée covariante, pareil); 2) Le notion de connexion de Levi-civita (de torsion nulle et respectant une métrique); 3) La courbure en fonction de la connexion ; 4) Appliquer le 3) au 2).

PS : Cela n'est pas important mais est-ce que cela existe la dérivée contravariante je vous prie?

Non. Le mot "covariant" dans "dérivée covariante" n'est pas utilisé au sens du mot dans l'opposition entre covariant et contravariant, mais au sens qu'il a (en gros) "indépendant des systèmes de coordonnées", comme dans l'expression "covariance générale" ou "équation covariante" (cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Covaria...3%A9quation%29).

[inviteafe88240]

Bon O.K. je vais voire tous cela merci encore pour tout vous m'avez bien avancé. Bonne après midi.