Notion de métrique sur une variété.

[invite76543456789]

Bonjour,
Ce petit fil sert a preciser et a définir ce qu'est la notion de métrique sur une variété.

Notion d'espace avec distance.
Je change un petit peu la terminologie pour qu'il n'y ait pas de confusion (j'ai appelé espace avec distance ce qu'on appelle en general espace métrique, mais je veux eviter le conflit avec la terminologie métrique sur une variété qui veut dire qqch de plus précis).

Si X est un ensemble, on dit que X est munie d'une distance, si il est muni d'une application d: XxX->R+
qui vérifie d(x,y)=0 ssi x=y, d(x,y) majoré par d(x,z)+d(z,y) pour tout x,y,z, et enfin d(x,y)=d(y,x).
Moralement une distance est qqch qui a un couple de point associe un réel positif, et qui respecte les propriétés intuitives d'une distance.
La distance entre deux points est toujours plus petite que la somme des distances à un point auxiliaire (il est plus rapide d'aller de x a z, que d'aller de x à y puis de y à z); la distance de x à y est la meme que celle de y à x, et enfin la distance d'un point a un autre est nulle si et seulement si les deux point sont en fait le meme point.
Rien de bien méchant jusque là.


Produit scalaire sur R^n.
Il y a une manière parituclierement simple de fabriquer une distance sur R^n, c'est de le munir d'un produit scalaire. En terme technique c'est une forme bilinéaire symétrique definie positive. Moralement on choisit une base de R^n, celle que l'on veut, et on la déclare orthonormée. Ensuite le produit scalaire que cela défini, est le meme que celui appris dans les petites classes. On ecrit les coordonnées de x disons x_i et ceux de y, disons y_i, dans la base que l'on a declaré orthonormée, et alors le produit scalaire est simplement la somme des x_iy_i.

Un tel produit scalaire définit une distance sur R^n, il suffit de poser d(x,y)=racine de (y-x|y-x) ou j'ai noté (.|.) le produit scalaire.
Le produit scalaire donne une longueur au vecteurs, à partir de là la distance associée c'est juste distance de a à b =longeur du vecteur reliant a à b.

Métrique sur un ouvert de R^n.
Passons au vif du sujet, qu'est ce qu'une métrique au sens de la théorie des variétés.
On va avoir un espace de base, qui sera un ouvert de R^n (je traite uniquement le cas local pour l'instant) et on veut définir une notion de distance la dessus, on procède de manière un peu détournée.
On va regarder UxR^n, le produit de U avec R^n, et on va prendre pour chaque point u de U, un produit scalaire sur {u}xR^n, qu'il faut penser comme l'espace tangent à U en u.
Donc en chaque point u de U, on va choisir un produit scalaire sur les vecteurs au dessus de u, et qui varie de manière "lisse" (c'est a dire que si vous choisissez un produit scalaire via la procédure indiquée dans le précedent paragraphe, en des points voisins, les bases que vous choisirez seront "voisines" en un sens que je vais pas preciser).

Prenons un exemple simple U=]0,1[x]0,1[ (j'aurai préféré prendre un exemple uni-dimensionnel, mais dans les petites classes en general on regarde les produit scalaire dans R^2, et donc je prefere rester dans ce cadre), donc la donnée d'une métrique la dessus c'est la donnée d'un produit scalaire sur chaque espace R²x{(x,y)} pour (x,y) un couple ]0,1[², où dit autrement c'est un produit scalaire sur R² indexé par un couple (x,y).

On peut donc prendre par exemple le produit scalaire donné par ( (U,(x,y))|(V,(x,y) )=x²U.V+U.V où U.V est le produit scalaire naturel sur R².
Par exemple au dessus de (1/2,1/2) le produit scalaire sur R² sera donné par 3/2 U.V où U et V sont des vecteurs quelconque "au dessus" de (1/2,1/2)

Ainsi on a un produit scalaire variable au dessus de tout point de U. Comment faire pour récuperer une distance en bonne et due forme. On va procéder en deux temps.

Deja la partie la plus interessante, on va maintenant pouvoir associer une longueur à tout courbe tracée sur U (suffisament lisse).

En effet qu'est ce que c'est qu'une courbe tracée sur U, c'est la donnée d'une application de R dans U, a chaque temps t de R, on associe un point de U (c'est la trajectoire d'un mobile qui se deplace dans U si vous voulez). On va note une telle application ou trajectoire.
Maintenant un telle trajectoire à une dérivée, sa vitesse si vous voulez, en un temps t, c'est et ce truc là est un vecteur.
On peut le voir comme un vecteur au dessus de , mais ca tombe bien, on a un produit scalaire au dessus de , ce produit scalaire nous permet donc d'evaleur la longueur de ce vecteur vitesse, dont il faut prendre la racine pour avoir la longueur (comme je l'ai expliqué au paragraphe précedent).
Donc en chaque point de la trajectoire, on a associé un réel positif, La longueur du vecteur vitesse au point considéré notére disons , maintenant on appelle longueur de la courbe, l'intégrale de cette longueur le long de la trajectoire.

Ca nous permet de pouvoir calculer la longueur de toute trajectoire lisse. Remarquez, et c'est important, que comme le produit scalaire en chaque point est variable, certain points de la trajectoire vont contribuer plus que d'autres. C'est cette notion qui permet de définir la "courbure".

Maintenant pour retomber sur nos pates et définir une distance (au sens du premier paragraphe), alors il nous suffit de decreter que la distance entre deux points a et b c'est la plus petite longueur de toutes les longueurs des courbes reliant a et b.


Donc on voit que définir qqch d'assez baroque, la donnée en chaque point de U, notre espace de base, d'un produit scalaire sur l'espace tangent au dessus de U, permet de définir une distance gloable sur U.
C'est la donnée de ce produit scalaire en chaque point, qu'on appelle métrique sur U.


Quid du cas général?
Ici j'ai uniquement considéré le cas d'un ouvert de R^n, un espace en general n'est pas aussi simple, il est défini par recollement de telles choses, et bien je n'en dirai pas beaucoup, mais disons qu'on effectue le meme procédé, et les definitions assurent que la distance d'une trajectoire ne va pas dépendre de l'ouvert U dans lequel on l'inclus pour pouvoir la calculer.
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[invite76543456789]

Je précise que tout ceci est fait dans le cadre de la géométrie riemannienne, pour la geométrie lorentzienne, celle de la RG, il faut un tout petit modifier les choses (le produit scalaire n'est plus defini positif mais simplement non degenré, c'est un peu plus faible, mais moralement c'est la meme chose).

[invite23876543123]

Tu vas larguer tout les pseudo-physiciens du forum astronomie et astrophysique ... pourquoi ne ferais-tu pas un schéma ?

[invite23876543123]

d(x,y)=racine de (y-x|y-x) ou j'ai noté (.|.) le produit scalaire.
Le produit scalaire donne une longueur au vecteurs,

Ben oui c'est tout simplement le module ... non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Je ne peux faire de schéma car je ne vois pas trop en quoi un schéma eclairerait les choses.
Comme dit Serre (traduction libre) "un schéma vaut 1000 explications, oui. Cela epargne 1000 explications au redacteur, et cela necessite 1000 explications pour que le lecteur comprenne".

Et non, ca n'est pas tout simplement le module. Puisque ce sont des vecteurs quelconque, par des nombres complexes.

[invite76543456789]

Le meilleur dessin que j'ai trouvé est ceui de wiki,

On voit bien sur le dessin, le U, qui est le cercle, c'est la variété (c'est pas un ouvert de R mais faisons comme si), qui est en bleu, et les droties rouges sont tous les espaces tangents, une métrique est la donnée d'un produit scalaire sur chaque doite rouge, indexée par un point du cercle bleu (le point de tangence de la droite rouge avec le cercle bleu)

[invite23876543123]

Merci MissPacMan, c'est exactement ce que j'ai essayé de dessiner pour un difféomorphisme ou du moins son invariance : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4299435 en fait ce ne sont que des carrés (en gros) mais le cercle bleue a-t-il une épaisseur car tout ça me fait furieusement penser à un trou noir !

[Médiat]

Bonjour,

Merci de cette synthèse.

Donc en chaque point u de U, on va choisir un produit scalaire sur les vecteurs au dessus de u, et qui varie de manière "lisse" (c'est a dire que si vous choisissez un produit scalaire via la procédure indiquée dans le précedent paragraphe, en des points voisins, les bases que vous choisirez seront "voisines" en un sens que je vais pas preciser).

Il me semble que le coeur du concept est là, c'est dommage de ne pas le préciser.

[invite76543456789]

Ben la façon dont on définit la lissité ne me semble pas forcément tres eclairante (ca parait obscur parce que j'ai défini un produit scalaire de manière assez baroque, qui consiste d'abord a choisir ce que sera une base orthonormée), si on prend la bonne définition, c'est de suite moins mysterieux
Un produit scalaire c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive, ca c'est un ouvert de l'espace des formes bilinéaires symétriques, muni de sa topologie d'espace normé (de dimension finie donc). Donc la métrique est juste une application de U dans l'espace des formes bilinéaires symétriques définies positives sur R^n (où n est la dimension de U), qui soit infiniement differentiable.

Ca correspond bien a l'idée intuitive, d'un produit scalaire sur chaque espace tangent qui varie de manière "lisse", qui est, je crois, le coeur de la notion de métrique.

Dit de manière encore plus simple c'est une application de U dans l'espace des matrices symétriques définies positives, telle que chaque coefficient soit une fonction C_infini de U.

[Médiat]

Bonjour,

Merci de ces précisions qui sont parfaitement claires et complètes.

Je reviens néanmoins sur ma compréhension de votre premier message et sur ce que je m'attendais (sans doute à tort) à lire.

Soit un ouvert de , muni de son produit scalaire canonique.

On définit une distance sur , telle que

1) Pour tout , est un produit scalaire sur .
2) Pour tout , est le produit scalaire canonique sur .
3) Des conditions de lissages (par exemple, telle projection de sur est continue, voire ).

Ce que je viens d'écrire est mon attente/compréhension intuitive, en aucun cas ce n'est une définition officielle (je ne connais pas du tout cette partie des mathématiques).


Merci de me corriger.

[0577]

Bonjour,

un petite remarque technique : pour qu'une metrique (sens geometrie riemannienne)
sur une variete definisse une distance (comme explique par MissPacMan : on prend
l'infimum sur les longueurs des courbes reliant deux points), il est important
de mettre dans la definition de variete "espace topologique separe"
(sinon, on n'a pas forcement d(x,y)=0 implique x=y).

[inviteaf1870ed]

Mes félicitations Miss Pac Man : c'est la première fois que je vois un exposé aussi clair sur ce sujet, qui m'a toujours paru particulièrement hirsute !

[ansset]

Re Miss,
tu as bien fait de remettre ce post , que tu avais mis en lien sur un autre fil suite à une question de ma part ;
mess à laisser dans les archives je pense.

[invite76543456789]

Bonjour,

Merci de ces précisions qui sont parfaitement claires et complètes.

Je reviens néanmoins sur ma compréhension de votre premier message et sur ce que je m'attendais (sans doute à tort) à lire.

Soit un ouvert de , muni de son produit scalaire canonique.

On définit une distance sur , telle que

1) Pour tout , est un produit scalaire sur .
2) Pour tout , est le produit scalaire canonique sur .
3) Des conditions de lissages (par exemple, telle projection de sur est continue, voire ).

Ce que je viens d'écrire est mon attente/compréhension intuitive, en aucun cas ce n'est une définition officielle (je ne connais pas du tout cette partie des mathématiques).


Merci de me corriger.

En fait U l'ouvert de base n'est pas muni a priori d'un produit scalaire (seulement d'une topologie, mais j'ai un peu eludé la chose en parlant simplement de U ouvert de R^n), mais ce que je voulais souligner c'est que le produit scalaire n'est pas sur U, mais sur chaque espace au dessus de U, et est variable avec u le point courrant de U.
Par contre en me relisant et en relisant mon message, je me suis apercu qu'il y a deux choses un peu malheureuses dans mon laius.
1/ J'utilise U a un moment pour parler d'un vecteur au dessus d'un point (x,y) de U mon ouvert... y a doublon.
2/ J'ai switché entre UxR^n et R^nxU (donc l'ordre des facteurs) a un moment donné dans le message, j'espere que ca ne créera pas de confusions (j'ai l'impression que votre impression du fait que le produit scalaire vit sur U viens de là, alors qu'on a bien un produit scalaire sur R^nx{u} indetifié à R^n disons, pour chaque point de U, et c'est ce produit scalaire, vu sous la forme de sa matrice par exemple qui varie de manière lisse avec u le point courrant de U).

Bonjour,

un petite remarque technique : pour qu'une metrique (sens geometrie riemannienne)
sur une variete definisse une distance (comme explique par MissPacMan : on prend
l'infimum sur les longueurs des courbes reliant deux points), il est important
de mettre dans la definition de variete "espace topologique separe"
(sinon, on n'a pas forcement d(x,y)=0 implique x=y).

Tout à fait, néanmoins j'ai pris le cas d'un ouvert de R^n, pour ma variété, et ce truc là est séparé.
Mais dans le cas general la precision est nécéssaire en effet (la fameuse droite à origine doublée)

[Médiat]

Bonjour,

D'accord, mais cela ne change pas fondamentalement ce que j'écrivais (j'avais juste adopté votre cas particulier), je reprends :

Soit un espace muni d'une topologie séparée

On définit une distance sur , telle que

1) Pour tout , est un produit scalaire sur .
2) Pour tout , est homéomorphe à
3) Des conditions de lissages (par exemple, telle projection de sur est continue, voire ).

Ce que je viens d'écrire est mon attente/compréhension intuitive, en aucun cas ce n'est une définition officielle (je ne connais pas du tout cette partie des mathématiques).


Merci de me corriger.

[invite76543456789]

On ne définit pas une distance gloable sur UxR^n, on définit une distance sur chaque R^n qui induit une distance sur U, mais il n'y a pas de distance globale sur UxR^n (bon on pourrait en construire), par exemple je n'ai pas défini ce que serait la distance entre deux vecteurs au dessus de deux u (dans U) differents.
On définit simplement une distance fibres à fibres, qui en induit une sur U.

[Médiat]

J'avais mal compris car il me semblait que c'était ce que vous aviez fait en écrivant :

( (U,(x,y))|(V,(x,y) )=x²U.V+U.V

J'avais imaginé que U et V étaient des éléments de U et (x, y) un élément de la fibre au-dessus de U ou au-dessus de V respectivement, alors qu'en fait le (x, y) est le même dans les deux cas, c'est bien cela ?

[invite76543456789]

Ah effectivement c'est du a mon switch :-/

Donc effectivement (x,y) ici est un element de U, et ((x,y),U) et ((x,y),V) sont deux vecteurs quelconques de {(x,y)}xR^n (en fait mes notations sont vraiment merdiques désolé).

Je recapitules, il y a un point de U, et au dessus de ce point un espace R^n, et on définit un produit scalaire sur cette espace.
Dit autrement si on voit un element de UxR^n comme (u,x) alors on définit un produit scalaire uniquement sur les elements de la forme (u,x), (u,y), et c'est ce produit scalaire qui dépend de u, autrement dit un produit scalaire "fibre à fibre".

Est ce plus clair?

PS: donc oui, le (x,y) est le meme dans mon ancienne notation, c'est le "point de base". Mais le produit scalaire consideré va lui dépendre de ce (x,y).

[inviteaf1870ed]

En fait chaque produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur IR^n, indexée par chaque "point" de U, c'est ça ?

[invite76543456789]

Je vais ecrire de manière formelle ce sera sans doute plus clair.
En fait ce que je voulais décrire c'est la donnée d'une application differentiable , où Sym++ est l'ensemble des matrices définies positives symétriques.
Alors pour tout u de U défini un produit scalaire sur indentifié à R^n.
C'est ca qui permet d'induire une distance sur U, parce ce que j'ai indiqué plus haut.

Ouf

[invite76543456789]

En fait chaque produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur IR^n, indexée par chaque "point" de U, c'est ça ?

C'est exactement ca!!

[invite179e6258]

ce serait intéressant aussi de motiver cette démarche. Il y a une approche (qui ne marche pas) plus évidente : puisque la variété est définie par des cartes, on pourrait penser à prendre comme distance entre points de la variété la distance des images sur une carte. Sauf que deux points ne sont pas toujours sur la même carte et que les changements de cartes ne sont pas toujours isométriques (à cause de la courbure).

bon, c'est du moins ce que j'avais compris il y a 30 ans des cours de Mr Molino...

[Médiat]

Je vais ecrire de manière formelle ce sera sans doute plus clair.
En fait ce que je voulais décrire c'est la donnée d'une application differentiable , où Sym++ est l'ensemble des matrices définies positives symétriques.
Alors pour tout u de U défini un produit scalaire sur indentifié à R^n.
C'est ca qui permet d'induire une distance sur U, parce ce que j'ai indiqué plus haut.

Ouf

Ca j'aime bien, c'est dans mes cordes

[invite06459106]

Pour remettre au bon endroit, donc de là: http://forums.futura-sciences.com/as...-plat-ca.htmlà à ici.



Bon, alors ok j'y vais,
Attention questions de base certainement à la c.n

Notion d'espace avec distance.
Je change un petit peu la terminologie pour qu'il n'y ait pas de confusion (j'ai appelé espace avec distance ce qu'on appelle en general espace métrique, mais je veux eviter le conflit avec la terminologie métrique sur une variété qui veut dire qqch de plus précis).

Par curiosité, pour ce qui est en gras.

On va avoir un espace de base, qui sera un ouvert de R^n

Ca je comprends pas...

on va choisir un produit scalaire sur les vecteurs au dessus de u, et qui varie de manière "lisse" (c'est a dire que si vous choisissez un produit scalaire via la procédure indiquée dans le précedent paragraphe, en des points voisins, les bases que vous choisirez seront "voisines" en un sens que je vais pas preciser

Ca non plus...
Bon, j'arrete là, je connais déja la réponse: revoir tout de A à Z...
De mon niveau nul, j'ai eu le sentiment en lisant le laius, que c'est une technique pour agrandir mon plan( ou mon réferentiel) de proche en proche, pour proceder aux calculs.
Bref, une espece de "carte" agrandissable (transposable) techniquement permettant de garder un espace euclidien(aie...non pas taper), malgré une courbure(ou intégrant une courbure) ou je peux poser une distance entre deux ou x points d'une droite.
Voili voilo...fallait pas m'inviter
Cordialement,

[invite76543456789]

Alors, je precise certaines notions.

Donc, le but de tout ce laius est de définir une distance particulière sur une variété (ou un ouvert de R^n).

Deja la notion d'ouvert de R^n, en fait il est possible de construire des distances sur tout un tas d'objets, on va ici se concentrer sur cela, parce que les objets qui nous interessent, les variétés diff, sont des recollements d'ouverts de R^n.

Alors allons y pas à pas. Qu'est ce qu'un ouvert de R^n, et bien c'est tout simplement un sous ensemble de R^n, tel qu'en chaque point de cet ensemble, on puisse trouver un petit pavé (un produit d'intervalles) centré en ce point, qui soit inclus dans le sous ensemble.
Par exemple une cercle n'est pas un ouvert de R^2, en chaque point (a,b) du cercle un pave du type ]a-r,a+r[x]b-r,b+r[ va sortir du cercle.
Bon si cela vous embête vous pouvez remplcer ouvert de R^n, par R^n à chaque fois.

Maintenant les objets globaux qui nous interessent se définissent comme recollement d'ouverts de R^n (ou meme de R^n tout court), par exemple une sphere est le recollement de deux plans. En effet une sphere privée du pole nord, c'est la meme chose que le plan (voir la notion de projection stereogrpahique). Bien sur la sphere privé du pole sud, meme histoire, de sorte que l'on peut voir la sphere comme un recollement de deux plans. Il est donc important de comprendre d'abord (et je n'irai pas beaucoup plus loin) ce qu'il se passe sur R^n, ou un ouvert de celui ci.

Donc le but de la notion de mértique est de définir une distance sur R^n. Il faut bien garder cela en tete, le but de tout ça c'est de pouvoir parler de longueur de courbe, de distance entre des points, dans R^n.
Vous allez me dire, ben on a deja une distance sur R^n, pourquoi en creer d'autres, de manière aussi tordues en plus. C'est vrai, mais on veut pouvoir creer d'autre distances, c'est d'ailleurs parfois bien utile dans la vie réelle, par exemple si l'on veut prendre le train, la distance à vol d'oiseau entre les villes n'est pas tres pertinente, ce qui nous interesse plutot c'est la distance que le train va effectivement parcourir (et donc le temps que l'on va mettre).
D'ailleurs il existe la carte de france en distance de train (voir ici), on s'apercoit deja que si l'on change la distance on a changé la "forme" de la france, on a changé sa géométrie. C'est tout l'interet de la notion de métrique, qui spécifie la géométrie.

Donc je répète, on veut définir une notion de distance, sur notre espace, qui est R^n (et c'est lui que l'on veut munir d'une distance).

Est ce que c'est clair pour l'instant?

[invite76543456789]

Alors, je revien à la manière dont on fait cela.
On va procéder de manière détourner, plutot que de spécifier directement la distance entre des points de R^n, on va définir une notion de longeur pour les vecteur tangents à R^n, qui joueront le role de vecteurs "vitesses". Si on a la longueur en tout point du vecteur vitesse d'une trajectoire, on peut estimer la longeur parcouru, en intégrant.
C'est par exemple ce qu'on fait pour une brave fonction, quand on ecrit que la longueur de la courbe d'une fonction c'est , on mesure la longueur du vecteur vitesse qui vaut (1,f'(t)) grace à la formule de pythagore. Autrement dit on calcule la norme du vecteur (1,f'(t)).

Bon ici on va faire la meme chose, sauf que la norme pour calculer la longueur du vecteur va elle aussi varier avec le point en laquelle on le calcule.
Dit de façon un peu simplifiée, le vecteur (a,b) vu comme un vecteur vitesse n'aura pas la meme longueur en fonction du point ou on le calcule dans la trajectoire alors que moralement c'est le "meme" vecteur (il y a en germe ici une difficulté inhérente à la notion de même vecteur vitesse, en des points differents, sur laquelle je ne vais pas m'attarder, du moins pour l'instant).

Pour cela il faut revoir comment on définit les normes de vecteurs.

Il y a une manière particulièrement sympathique d'attacher une norme à une vecteur, c'est de construire une produit scalaire.
Qu'est ce que c'est qu'un produit scalaire, et bien c'est une application qui à un couple de vecteurs, disons u et v, associe un réel, que l'on noter disons <u|v> avec des propriétés naturelles (de bilinéarité).
Examinons quelques exemples sur le plan, le produit scalaire de (a,b) et (c,d) classique est défini par <(a,b)| (c,d)>=ac+bd, mais rien ne nous empeche de définir un produit scalaire different,par exemple <(a,b)|(c,d)>=2ac+bd, ou meme plus tordu <(a,b)|(c,d)>=ac+2ad+2bd+2bc (si je ne me suis pas planté).
En general en produit scalaire est donné par une matrice symétrique définie positive, et le produit scalaire de X et Y que cela défini est transposé(X).MY (ou X et Y sont des vecteurs colonnes)
Tout ceci sont des produits scalaires, et tout ceci fournit une taille aux vecteurs, et le meme vecteur peut se voir atttribuer une taille differente par deux produits scalaires differents.


Comment construire une métrique maintenant.
On va donc avoir notre espace de base, R^n, et au dessus de chaque point de R^n, l'espace tangeant à R^n en ce point, qui est aussi R^n, mais que l'on pense comme l'espace des vecteurs tangents, alors que notre espace de base R^n, est lui pensé comme l'espace des points.
On met au dessus de chaque point de R^n, un produit scalaire sur l'espace tangent, qui varie de manière lisse.
Qu'est ce que ca veut dire, et bien un produit scalaire est donnée par une matrice, les entrées de la matrice doivent etre des fonctions régulières (infiniment differentiables).
Donnons un exemple, prenons R², pour notre espace de base, au dessus de chaque point de R², on a une copie de R², qui est l'espace tangent à R² en ce point, appelons (x,y) le point courrant, on va munir tout ca du "champ de produit scalaire" donné par diag(1+x², 1) (je designe ainsi la matrice diagonale dont les coeff diagonaux sont 1+x² et 1).
Au dessus de chaque point (x,y) de R², on a un produit scalaire, par exemple au dessus du point (1,0) le produit scalaire <(a,b)|(c,d)> est donné par 2ac+bd, la longeur du vecteur (1,1) au dessus du point (1,0) est racine de 3. Au dessus du point (0,1) le produit scalaire est le produit scalaire standard, et la longueur du vecteur (1,1) au dessus de ce point est racine de 2.

C'est cette donnée là qui s'appelle métrique sur R^n.

[invite76543456789]

Maintenant je vais montrer comment calculer des longueurs de courbe.
J'avais deja evoqué que la longueur d'une courbe c'est l'intégrale de la longueur de son vecteur vitesse.
Voyons ce que cela donné dans le cas mentionné, à savoir R², muni de la métrique donnée par diag(1+x²,1).

Prenons la courbe suivante: f:[0,1]->R², qui à t associe (t,t). La courbe est la diagonale du carré de coté 1 dont le sommet sud ouest est situé en (0,0).
En géométrie traditionnelle (c'est à dire sans se soucier de tout mon laius precédent) la longueur de ce machin, c'est racine de 2, et c'est effectivement la valeur de ou la norme désigne la norme traditionnelle.
Ici, on doit calculer plusieurs chose, tout d'abord le vecteur vitesse, f'(t), c'est facile, il vaut (1,1) (ca ca ne change pas), maintenant on doit calculer sa longeur EN TOUS LES POINTS de la courbe (et c'est la la difference), le vecteur vitesse vaut tout le temps (1,1), mais au point (0,0) sa longueur vaut racine de 2, alors qu'au point (1,1) sa longueur vaut racine de 3!! La longueur du vecteur (pourtant "constant") varie avec le point considéré! C'est tout le sel de la construction!
La longueur du vecteur (1,1), le vecteur vitesse, au point (t,t) vaut exactement , et la longueur de la courbe vaut (dont je ne fais pas le calcul, mais dont on peut voir qu'il est strictement supérieur à racine de 2).

La representation que l'on se fait de la courbe comme diagonale du carré n'est plus isométrique, elle ne conserve plus les longueurs donnée par la métrique.

Encore plus etonant, si l'on calcule la longueur de la courbe donnée par f(t)=(1+t,1+t) pour t allant de 0 à 1, c'est a dire la diagonale du meme carré mais translaté par le vecteur (1,1), on trouve cette fois , qui est une valeur differente de la précédente!
Autrement dit les translations ne conservent plus les longueurs!

Recapitulons: On a defini un objet une peu etrange, une métrique sur R^n, et on a vu que non seulement cette objet nous permettais d'associer des longueurs à des courbes, mais qu'en plus ces longueurs etaient bien plus flexibles que la façon dont on est habitué à mesurer les longueurs (puisque les translations ne respectent pas les longueurs par exemple).
Et pour faire ca, on a construit une notion de longueur sur les vecteurs vitesse, mais le calcul de cette longueur dépend du point de la trajectoire auquel on le calcule.
J'essairai d'expliquer la prochaine fois, pourquoi cela change les plus courts chemins entre les points, et peut etre comment on en déduit la notion de courbure.

Mais avant de m'arreter, un ptit point physique, en Relativité Generale, on est exactement dans la situation décrite ici, on a une métrique, et les longueurs de vecteurs vitesses varient avec le point considéré, et c'est cette métrique (en fait un de ses dérivés) qui est directement reliée à la distribution d'energie, autrement dit la distibution d'energie nous dit comment doit on mesurer les vecteurs vitesses en un point, et plus la densité d'energie est importante, plus la métrique en ce point va s'eloigner de la métrique euclidienne qui est diag(1,1,1,1) (je triche un peu, il faudrait un -1, mais bon).

Je termine par une precision sur lisse/non lisse (mais c'est vraiment pas fondamental), un exemple de métrique non lisse sur R², serait donnée par diag(1+H(x), 1) ou H est la fonction d'heaviside, c'est à dire qu'elle vaut 0 si x<0 et 1 sinon, on voit bien ici que la métrique fait un "saut" en 0, la condition de lissité qui est technique, sert simplement à eviter ce genre de saut ou de discontinuité.

[invite76543456789]

Je voudrais aussi rajouter un petit mot pour ceux qui sont peut etre plus habitués à la notion de métrique (e.g pour qui ca n'est pas la première introduction à la notion).
J'ai dit que la notion de métrique servait à definir les longueurs des courbes sur les variétés. C'est vrai, c'est son but premier. Mais ce qui peut etre déroutant c'est que dans la pratique on ne s'en sert jamais pour ca! (ou alors tres tres rarement) Si bien que dans pas mal d'ouvrages de géométries ce point est completement éludé!

Je pense néanmoins que c'est interessant de savoir que la métrique originellement vient de là.

Alors à quoi on sert la métrique en pratique.
Pour les physiciens: Elle sert par exemple à calculer des trajectoires (et pas des distances! mais pas loin). En effet d'un point de vue relativiste, les particules, dans l'espace temps, suivent des géodésiques (en "chute libre"), les géodésiques sont les chemins les plus courts possibles entre deux point donnés, on a vu plus haut que la notion de métrique conditionnait les longueurs de ces courbes, ce qu'il faudrait faire c'est calculer les longueurs de toutes les courbes (avec la procédure utilisée dans mon message precedent) et prendre la plus petite. En pratique bien sur c'est absolument infaisable, et on utilise le calcul variationnel pour obtenir une equation dont la résolution nous donne les géodésiques, et donc les trajectoires des particules, la métrique intervient, mais de manière indirecte, elle apparait de manière cachée dans l'equation que l'on obtient (qui s'appelle l'equation des geodésiques).

Pour les matheux: Y a beaucoup d'endroit ou intervient la métrique, on s'en sert pour définir la courbure, et relier cette courbure à des propriétés globales de la variété (existence de métrique de courbure donnée, classes caracteristiques), mais on peut aussi s'en servir pour déformer des variétés selon leur courbure (c'est le flot de Ricci), là encore on se sert quasi jamais de la métrique pour calculer effectivement des longueurs de courbes, mais la métrique est plutot un intermédiaire pour définir d'autres notions.


Bon, j'arrete j'ai déjà assez soliloqué

[invite06459106]

Alors, pour le méssage #25, c'est ok.
#26, ai pris 2 aspros.
# 27...ai fini la boite.
Plus sèrieusement, il va me falloir du temps pour le 26 et 27, ya eu comme un coup de turbo...suis un peu(beaucoup) largué...je vais lire, et re-relire pour essayer de m'éclaircir ces deux méssages.
Par exemple, je vois* bien (puisque c'est bien détaillé) comment on associe une longueur à une courbe, mais pas pourquoi cela dépend du point de la trajectoire auquel on le calcul...c'est un ex parmis d'autres.
* Plutot, je ne comprends pas tout les détails, je "crois" juste appréhender le process.
Et je parle meme pas des trucs comme ça:

Autrement dit les translations ne conservent plus les longueurs!

, et autres joyeusetés.
Je ne désespère pas ingurgiter à mon rythme tout ce genre de trucs ...mais suis plutot lent .
En tout cas, merci pour l'éffort.
Cordialement,

[Amanuensis]

Pour les physiciens: Elle sert par exemple à calculer des trajectoires (et pas des distances! mais pas loin). En effet d'un point de vue relativiste, les particules, dans l'espace temps, suivent des géodésiques (en "chute libre"), les géodésiques sont les chemins les plus courts possibles entre deux point donnés, on a vu plus haut que la notion de métrique conditionnait les longueurs de ces courbes, ce qu'il faudrait faire c'est calculer les longueurs de toutes les courbes (avec la procédure utilisée dans mon message precedent) et prendre la plus petite. En pratique bien sur c'est absolument infaisable, et on utilise le calcul variationnel pour obtenir une equation dont la résolution nous donne les géodésiques, et donc les trajectoires des particules, la métrique intervient, mais de manière indirecte, elle apparait de manière cachée dans l'equation que l'on obtient (qui s'appelle l'equation des geodésiques).

L'exemple est assez malheureux, d'une part parce qu'en relativité il n'y a pas de métrique au sens propre, ce qui fait que la notion de calcul de longueur de courbe amène à des contre-sens : cela ne s'applique qu'à certaines courbes, et il y a des points distincts joignables par des courbes de "longueur" nulle. D'autre part parce que la longueur d'une portion de trajectoire d'une particule s'exprime en unité de durée, et si on veut perdre un lecteur, lui parler de longueur ou de distance en lui présentant une durée est une excellente méthode.

Et cerise sur le gâteau, un segment de géodésique de genre temps MAXIMISE la "longueur" entre ses deux événements extrémités, ce qui est un peu gênant pour "la plus courte". (En règle générale, une géodésique "extrémise" localement la longueur.)

(Et, détail?, en relativité on se sert continuellement de la métrique pour calculer des durées (des "distances" donc) ; c'est même une bonne manière de résoudre des questions usuelles genre le paradoxe des jumeaux, et bien d'autres.)

Un exemple plus simple et moins sujet à confusion grave est la surface de la Terre. Le calcul de la longueur d'un trajet pour un avion ou un bateau est un exemple de l'usage de la métrique (e.g., calcul d'une loxodromie, http://fr.wikipedia.org/wiki/Loxodromie).

Autre possibilité : se cantonner aux maths.