Effet Doppler

[silberic]

bonjour à tous,

Dans une vidéo d'astrophysique, plus particulièrement lors d'un cours sur l'effet Doppler, la professeur explique que :
[delta lamba /lambda = [(1+ v/c)^1/2 / (1-v/c) ^1/2 )]-1 devenait v/c pour des vitesses non relativistes.
Elle ajoute que ça se démontre facilement avec des développement limité.

j'ai donc voulu essayé, mais sans succès...
J'ai pris (1+x)^z = 1+zx pour le développement du premier ordre, j'ai appliqué ceci au numérateur et au dénominateur :$

= [(1+ v/2c) / (1 - v/2c)] -1
Je n'arrive pas à simplifier l'expression pour obtenir v/c à la fin.

Comment faire ?
Merci pour vos réponses.
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[Amanuensis]

Appliquer 1/(1-x) ~= 1+x

(Ce qui est juste un cas de (1+x)^z = 1+zx, celui pour z=-1 ...)

[silberic]

Merci , mais je ne comprends pas bien...
Dans [(1+ v/2c) / (1 - v/2c)] -1 , le "-1" n'est pas une puissance, mais bien une soustraction...
Je pensais à multiplier tout par (1+ v/2c), mais on ne peut pas simplifier et le "-1" de la fin reste là.

[silberic]

bonjour à tous,

Dans une vidéo d'astrophysique, plus particulièrement lors d'un cours sur l'effet Doppler, la professeur explique que :
[delta lamba /lambda = [(1+ v/c)^1/2 / (1-v/c) ^1/2 )]-1 devenait v/c pour des vitesses non relativistes.
Elle ajoute que ça se démontre facilement avec des développements limités.

j'ai donc voulu essayer, mais sans succès...
J'ai pris (1+x)^z = 1+zx pour le développement du premier ordre, j'ai appliqué ceci au numérateur et au dénominateur :$

= [(1+ v/2c) / (1 - v/2c)] -1
Je n'arrive pas à simplifier l'expression pour obtenir v/c à la fin.

Comment faire ?
Merci pour vos réponses.

Je viens de relire mon premier message et je corrige les horreurs syntaxiques et orthographiques qui s'y trouvaient.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Si si, tu as bien un -1 en puissance : 1/x est égal à x exposant -1. D'où l'histoire du développement limité.

Ensuite, en utilisant la forme approchée donnée par Amanuensis (1/(1-x) ~ 1+x) tu peux remplacer ta fraction par un produit. Et la conclusion s'ensuit presque immédiatement.

[silberic]

Merci Deedee, je vais réessayer en tenant compte de tout ça.
Je n'avais pas vu que Amanuensis faisait référence au 1/x = x^-1.
J'ai mal interprété.

Je vous tiens au courant quand j'aurai retenté.
Merci encore à vous deux.

[silberic]

Alors, si j'ai bien compris, on applique 2 fois le développement limité :

1ère fois :

[(1+ v/c)^1/2 / (1-v/c) ^1/2 )]-1 -> [(1+ v/2c) / (1 - v/2c)] -1

2ème fois :

le (1-v/2c) du dénominateur devient -> 1+ v/2c au nominateur

On a donc : delta lambda / lambda = (1+v/2c) * (1+ v/2c ) -1

= (1+v/2c)² -1 Je ne vois pas comment simplifier davantage...
Ou alors, où est mon erreur ?

Merci encore

[calculair]

Bonjour

Developpe la dernière expression 1+ V /C + V^2 /4C^2 -1

V^2 /4 C^2 <<<<1 alors seul survit V /C

Alors, si j'ai bien compris, on applique 2 fois le développement limité :

1ère fois :

[(1+ v/c)^1/2 / (1-v/c) ^1/2 )]-1 -> [(1+ v/2c) / (1 - v/2c)] -1

2ème fois :

le (1-v/2c) du dénominateur devient -> 1+ v/2c au nominateur

On a donc : delta lambda / lambda = (1+v/2c) * (1+ v/2c ) -1

= (1+v/2c)² -1 Je ne vois pas comment simplifier davantage...
Ou alors, où est mon erreur ?

Merci encore

[calculair]

Re bonjour

Et aussi V^2 /4 C^2 <<<< V /C si V <<<C

( 1 + e )^2 + 1 + 2 e si e <<<1 forme à appliquée et que tu as appliqué déjà

[silberic]

Merci beaucoup Calculair,

Je n'ai pas pensé que v²/4c² pouvait être éliminé, ce qui est logique dans la mesure où dès que l'on entre dans les développements limités, on est dans l'approximation déjà et que l'on considère forcément des v <<<<< c.

Merci encore à vous tous.

[Amanuensis]

D'un autre côté c'est toujours l'application de la formule générale indiquée message #1

(1+v/2c)² ~= 1 +2 v/2c

[silberic]

D'un autre côté c'est toujours l'application de la formule générale indiquée message #1

(1+v/2c)² ~= 1 +2 v/2c

De quoi parles-tu ? du fait que v²/4c² s'élimine ? Parce-que là je ne vois pas bien comment transformer cela avec cette formule ...

[Amanuensis]

Prendre (1+x)^z = 1+zx (copié du message #1), y remplacer z par 2 et x par v/2c.

[silberic]

Oui, effectivement...
On a alors (1+ v/2c)² -1 -> 1 + (2v /2c) -1 = v/c

Merci pour ces éclaircissements.

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Une fois que vous avez fait un DL à l'ordre 1 de ça n'a plus de sens de garder des termes d'ordre deux en x (ici en v/c), parce que vous avez déjà trop perdu en précision. Quand vous faites des développements limités, n'oubliez pas les qui vous permettent d'écrire de vrais égalités mathématiques (et pas des équivalences), et qui vous renseignent sur le degré de précision.

Je m'explique : si , alors pour ,



Vous remarquerez que dans le produit je n'ai pas développé les termes d'ordre 2 parce qu'ils sont dans le qui contient tous les termes d'ordre >= 2 (les termes "négligeables" devant v/c)

A+,

[silberic]

Mon Dieu,

Je viens de m'apercevoir (6 mois après) que vous aviez répondu à mon message...
Désolé de ne pas avoir remercié avant pour ses éclaircissements !

Mea culpa