divergence et champ dérivant d'un potentiel.

[kalish]

Bonjour à tous,
je voulais réécrire le sujet en entier histoire d'être plus lisible, mais j'ai la flemme. Le problème s'adresse à ceux qui comprennent l'énoncé, ce n'est pas un problème de l'ENS, mais ça n'est pas un problème de seconde/première non plus.
j'imagine que j'ai un champ "extérieur", par exemple électrique, dérivant d'un potentiel, (c'est à dire de rotationnel nul (déjà ce genre de vocabulaire devrait laisser comprendre que ça n'est pas un problème de première)), dans lequel baigne une distribution de charge homogène à la surface d'une sphère. Le champ résultant s'annule à l'infini.
C'est à dire, au choix, de densité surfacique ou de densité volumique
J'ai de bonnes raisons de penser que la force totale
se résume à où Q est la charge totale et E(0) le champ au centre de la sphère, mais malgré quelques tentatives d'intégration par partie et autres manipulations je n'arrive pas à le prouver par un calcul brut. Existe-t-il un théorème/calcul qui le prouve? L'idée c'est qu'en plaçant une charge opposée au centre de la sphère, le champ produit par l'ensemble Charge Centrale+ sphère est nul à l'extérieur de l'ensemble et ne peut donc pas agir avec le reste. Par conséquent le reste (champ extérieur) ne peut pas non plus agir avec l'ensemble CC+sphère (même si il agit avec chaque partie différemment).

Pour justifier de cette égalité j'ai simplement utilisé les équations de conservation de la quantité de mouvement difficiles à manier pour les macaques dont je fais partie, mais pas non plus inconcevables ou inapliquables, j'espère qu'elles ne sont pas chasse gardées des grands esprits de ce monde.

J'aimerais avoir une démonstration qui soit plus par le calcul brut
Le champ doit être nul à l'infini ou suffisemment symétrique pour que l'intégrale du tenseur des contraintes sur une surface infinie soit nulle. De toutes façons, si son intégration était constante, on aurait quand même un problème puisque ça doit être valable pour une infinité de rayons différents.

Bien sûr comme tout ça dérive de l'électromagnétisme, le potentiel doit répondre à l'équation de Poisson.
Cett histoire m'intéresse car elle est extensible au cas d'un ensemble animé d'une vitesse constante dans un champ magnétique et à quantité d'autres cas et je pense pouvoir en tirer des correspondances entre intégrales si ça n'a jamais été utilisé. J'imagine que je pourrais également créer de nouveaux champs pour de nouvelles intégrales.

Par exemple ici ça donne et ce pour pas mal de champs différents et donc d'intégrales.

Banzaï.
-----

[interferences]

Bonjour,

Tu n'arrives pas à le démontrer parce que c'est faux

En effet, considérons une boule de rayon ayant une charge surfacique .



Je suis d'accord pour dire que la force F exercée sur la boule est :



Mais si on fait le calcul dans le cas ou le champ est créé par une charge ponctuelle éloignée d'une distance de la boule, une approximation de la norme de la force est :



Qui n'est égal à que lorsque .

Au revoir

[invite21348749873]

car dans ce cas le champ est pratiquement uniforme.

[coussin]

Il faut donc l'approximation dipolaire (champ uniforme sur le volume de la sphère) ? Intéressant
La formule générale doit contenir toute les “contributions multipolaires” à la force s'exerçant sur la sphère…

[A voir en vidéo sur Futura]

[interferences]

Re,

Si il y avait une loi genre poussée d'Archimède (là le champ de pression est uniforme) en électrostatique ça se saurait et les calculs seraient beaucoup plus simples, mais du coup les lois de maxwell seraient sans doute fausses

Au revoir

[interferences]

Re,

Il faut donc l'approximation dipolaire (champ uniforme sur le volume de la sphère) ? Intéressant

C'est ce qu'on appelle la poussée d'Archimède en hydrostatique

La force est égale à quel que soit la surface plongée dans le champ de pression.
Ici la force est égale à quel que soit la surface plongée dans le champ électrique.
Mais il faut que la taille caractéristique de 'objet soit petite devant la distance qui sépare l'objet de la charge ponctuelle comme tu l'as dit "(champ uniforme sur le volume de la sphère) ".

Au fait personne ne m'a corrigé mais dans mon premier message c'est et , le étant une variable

Au revoir

[albanxiii]

Bonjour,

Vu de loin, par rapport au rayon de la sphère, on a une charge ponctuelle et donc une force . Au moins, le résultat n'est pas absurde.

Ensuite, il faut supposer que la sphère n'est pas métallique...

@+

[coussin]

J'ajoute pour kalish que des expériences piègent des nanosphères dans des pinces optiques et qu'on calcule ainsi les forces s'exerçant sur la sphère plongée dans le champ laser de la pince. Peut-être une piste de recherches.

[kalish]

Le problème c'est que c'est déjà démontré.
Il suffit comme je l'ai montré d'utiliser la conservation de la quantité de mouvement, notamment la loi locale et de l'intégrer sur tout l'univers, cette loi n'est pas discutable et aucun de vous n'a d'ailleurs essayé de la discuter (ce qui m'inquiète). Ce que tu montres c'est que les expressions ne sont pas semblables, pas que les valeurs sont différentes après intégration, c'est justement le propos.

Mais on peut faire beaucoup plus simple. Et d'ailleurs pourquoi la norme de la force dans ton intégration? il s'agit bien de vecteurs et c'est important, les forces "orthogonales" valant 0 après intégration.


1 ère preuve que ce que je dis est vrai

En terme de charges ponctuelles la

Force c'est

On est bien d'accord?

Ce qui est pratique avec l'expression des forces de coulomb c'est que l'action réaction est évidente. c'est à dire que la force de Q1 sur Q2 est égale en module et opposée en vecteur à celle de Q2 sur Q1.

On est bien d'accord?

Ce qui est bien avec les forces c'est qu'elles s'additionnent (vectoriellement), on a donc la somme des forces de la sphère sur la charge lointaine qui est égale
à Q E_sphere.

On est toujours d'accord?

D'après toujours cette propriété d'addition à la fois des forces et forcément des champs, la force qu'exerce la charge lointaine sur la sphère est la même, mais de sens opposée.

Ou si vous préférez comme chaque charge de la sphère respectent cette loi de forces sur la source égale à celle de la source sur la charge de la sphère, il en est de même de la sphère sur la source...

Donc la source a une force moyenne égale sur la sphère à celle de la sphère sur la source, mais de sens opposé.

Or le champ que créé une charge au centre est EXACTEMENT égal à celui de la sphère, donc une charge opposée annule totalement le champ créé par l'ensemble.

Et donc l'ensemble n'agit pas sur la source.

2 ème preuve j'utilise simplement le fait que

où l'intégration me prend donc les deux charges opposées de l'ensemble.

Troisième façon de voir beaucoup plus simple:

Vous avez une source de champ électrique et vous avez un ensemble neutre (qui ne créé aucun champ) alors affirmer que les égalités sont fausse signifie que l'ensemble neutre subit une force, mais pas la source. Bravo vous avez inventé un vaisseau spatial capable de se déplacer tout seul.

Je pense que très peu ont visualisé la situation.

Je ne serai pas là ce week end, mais je vous envoie un dessin parce que visiblement ça pose un problème de voir le problème.

Les pinces optiques utilisent des ondes EM d'après ce que je sais, et ça concerne l'interaction des charges avec le rayonnement, il s'agit de la force pondéromotrice qui agit il me semble qui ne brise aucunement la quantité de mouvement d'après ce que je sais. Mais je jetterai un coup d'oeil merci du coup de main.


Je tenterai le calcul en numérique mais je l'ai déjà fait pour une boule dans un champ magnétique et ça fait 0.

[kalish]

@albanxii. Justement de loin ou de près si je mets une charge au centre de signe opposé alors le champ que produit l'ensemble est totalement nul. Donc si les forces n'étaient pas les mêmes l'ensemble neutre subirait une force mais tout absolument tout ce qui est à l'extérieur n'en subirait aucune.

D'où problème.

@interférence

de même.

[kalish]

Et j'ajouterai que si certains peuvent percevoir un manque de diplomatie dans mes propos, ça n'est pas volontaire. je vois la situation très distinctement et je trouve déjà qu'il y a trop de mots.
@albanxii
Oui en fait j'ai répondu un peu trop vite tu as parfaitement vu la situation.

Désolé

[interferences]

Bonjour,

Oui tu as raison et j'ai tord.
Je ne sais pas pourquoi j'ai voulu montrer que c'était faux.
Milles excuses.

Au revoir

[albanxiii]

Bonjour,

Et j'ajouterai que si certains peuvent percevoir un manque de diplomatie dans mes propos, ça n'est pas volontaire.

Alors évitez d'écrire des choses comme

cette loi n'est pas discutable et aucun de vous n'a d'ailleurs essayé de la discuter (ce qui m'inquiète).

ou

(c'est à dire de rotationnel nul (déjà ce genre de vocabulaire devrait laisser comprendre que ça n'est pas un problème de première)),

ou encore

j'espère qu'elles ne sont pas chasse gardées des grands esprits de ce monde.

et on pourrait encore allonger la liste....

Je disais donc, alors évitez d'écrire des choses comme ... sinon nous serons obligés d'intervenir en vert.

@+

[invite21348749873]

Bonjour,

Vu de loin, par rapport au rayon de la sphère, on a une charge ponctuelle et donc une force . Au moins, le résultat n'est pas absurde.

Ensuite, il faut supposer que la sphère n'est pas métallique...

@+

Si la sphere était metallique, il serait impossible d'avoir une distribution surfacique uniforme et le champ à l'intérieur serait nul en tous points
Si elle n'est pas metallique, le champ ne dsera pas nul en tout point intérieur.
Est ce correct?

[coussin]

Oui. On peut modéliser la sphère métallique par une “coquille” d'électrons libre sur une épaisseur l'épaisseur de peau. Et effectivement, cette densité de charge s'arrange pour annuler le champ à l'intérieur

[kalish]

Si la sphere était metallique, il serait impossible d'avoir une distribution surfacique uniforme et le champ à l'intérieur serait nul en tous points
Si elle n'est pas metallique, le champ ne dsera pas nul en tout point intérieur.
Est ce correct?

Si la densité est uniforme à la surface alors le champ créé par la sphère (uniquement) est nul à l'intérieur et celui d'une charge ponctuelle à l'extérieur. Le problème c'est qu'une sphère métallique en pratique se polarise énormément en présence de champ extérieur, de façon à tout de même annuler le champ total à l'intérieur et finalement on perd l'intérêt de l'idée puisque plus rien ne correspond.

@albanxii
Oui j'avoue. Mais précisemment j'ai répondu dans des termes scientifiques à interférences, non seulement en lui montrant que c'était prouvé par la loi de conservation qui s'obtient grâce aux équations de maxwell mais aussi en lui répondant clairement où était ses erreurs concernant l'énoncé. C'est une preuve mathématique qui a même valeur, et il n'a pas essayé de la discuter. Dans son message, et c'est le premier, il y a ce petit smiley légèrement agaçant, il n'a donc pas cherché à comprendre l'énoncé et n'a clairement pas démontré que les égalités étaient fausses, il a juste démontré que son intégration (qui n'est pas la mienne) n'a pas la même forme que QE(0), ce que je sais, puisque c'est la question.

Allez bonne nuit à ceux qui ont du courage et autant d'autodérision qu'on m'en a demandé, parce que ça peut servir à l'avenir... et surtout, surtout, ne pas oublier l'autocritique, c'est très important ça l'autocritique

[kalish]

Au fait je ne vois pas ce que tu intègres de 0 à R interférences. je ne vois même pas à quoi ça correspond.

[interferences]

Re,

Je répond un peu tard sur ma bêtise.
Si je me rappelle bien j'ai en fait réalisé une approximation stupide en considérant un champ électrique s'appliquant sur la boule décroissant en 1/d² de direction ux (avec pour hypothèse le rayon de la sphère très petit devant la distance de la sphère à la particule).
Puis j'ai utilisé le théorème de Green-Ostrogradski.
Fin bref...à oublier.
La loi de conservation à garder à l'esprit par contre.

Au revoir

[interferences]

PS : Ce qui est marrant c'est que je fais l'hypothèse d>>r au départ, que je l'oublie et que je la recite à la fin du calcul pour prouver que c'est bien égal à QE dans les conditions vérifiées par l'hypothèses lol

[kalish]

Pas de souci, je vois bien que j'ai mal présenté le problème, mon grand problème c'est la formulation.
Comme ça a été dit avant par quelqu'un d'autre le champ d'une sphère est celui d'une charge ponctuelle et donc par les lois de conservation on doit avoir... etc...
Ca aurait été plus clair dit comme ça.

La question portait surtout sur l'aspect calculatoire, à l'évidence on peut faire correspondre une intégrale assez complexe avec une valeur qui peut être connue, dans l'idéal j'aimerais généraliser ce principe à des champs complètement fictifs (qui respecteraient des lois de conservation locales) mais pour savoir si c'est utile il faut bien que je sache si c'est faisable de le prouver simplement par le calcul ou pas, car si c'est faisable par des méthodes plus brutes, ça n'a pas d'intérêt de passer par des lois de conservation (à part se faciliter la vie).

[interferences]

dans l'idéal j'aimerais généraliser ce principe à des champs complètement fictifs

Après ça s'appelle des math ^^.