divergence et champ dérivant d'un potentiel.

[invite473b98a4]

Bonjour à tous,
j'imagine que j'ai un champ, par exemple électrique, dérivant d'un potentiel, (c'est à dire de rotationnel nul), dans lequel baigne une distribution de charge homogène à la surface d'une sphère. J'ai de bonnes raisons de penser que la force totale se résume à où Q est la charge totale et E(0) le champ au centre de la sphère, mais malgré quelques tentatives d'intégration par partie et autres manipulations je n'arrive pas à le prouver. Existe-t-il un théorème/calcul qui le prouve? Je sens que c'est simple, mais je n'y arrive pas. (en fait je ne suis même pas sûr que ce soit vrai, mais il faut que ça le soit).
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[coussin]

Il me semble que le champ à l'intérieur d'une "coquille" chargée est nul, non ? E(0) me semble de toutes façons nul par symétrie, non ?

[invite473b98a4]

Non non la coquille est plongée dans un champ extérieur.

[invite473b98a4]

l'argument c'est que justement si je mets une coquille plus une charge opposée au centre, le champ à l'extérieur de l'ensemble produit par l'ensemble coquille plus charge est nul, et donc la force à exercer sur les sources du champ extérieur (celui qui baigne l'ensemble) cette fois est nulle. Par conservation de la quantité de mouvement la force totale que doit subir l'ensemble est nulle et donc les forces de la coquille et de la charge centrale doivent être égales en module.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Ah oui, d'accord Ce que vous dites est en tout cas consistent avec la limite où le rayon de la coquille tend vers 0...

[invite473b98a4]

ben oui mais j'aimerais le prouver un peu en brute de force et pour un rayon plus grand car je peux justement déjà invoquer la conservation de la quantité de mouvement, je voudrais plutôt de l'analyse vectorielle. (j'aimerais bien qu'on se décide à adopter moment pour quantité de mouvement à l'instar des anglais, ça raccourcirait énormément mes échanges)

[coussin]

C'est hors sujet mais moment et quantité de mouvement ne coïncide que dans la plupart des cas
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_lin%C3%A9aire
C'est plutôt pas mal que la langue française ait les deux termes.

[invite473b98a4]

oui mais en même temps dans ces cas là on parle de moment canonique (ou conjugué ou canonique conjugué, j'avoue que...). Quantité de mouvement c'est trois mots, c'est long, et en plus nous pensons moment angulaire quand les anglais pensent à quantité de mouvement. Bref.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Je comprends pas ton énoncé deja.
Ta distribution est surfacique ou volumique? Parce que tu dis qu'elle est repartie sur une sphere, mais tu as un d^3r dans ton intégrale.
Ensuite a vue de nez ton resultat me semble faux (mais c'est un peu au jugé).

[invite473b98a4]

Ben si vous ne comprenez pas, ça n'aide pas la résolution alors, coussin semble avoir compris, après quelques détails.
Vu que la surface est sur le bord d'un volume ça ne me parait pas être trop genant à moins d'inventer une nouvelle géométrie où les 2D ne sont pas DANS les 3D .
La distribution est toujours volumique en réalité puisque la coque a forcément une épaisseur, mais ça n'est pas l'important, on peut écrire la même équation avec une densité surfacique intégrée sur la surface, j'ai gardé les volume parce que je veux prendre en compte l'intégrale de rho dV et la divergence du champ.

Et justement je ne demande pas à vu de nez, car si c'est faut la conservation de la quantité de mouvement est brisée.

[invite473b98a4]

Mon dieu quelle faute * faux.

[invite47ecce17]

Bon,
je comprends toujours pas .
Tu intègres sur quoi? La sphere ou la boule?
Si tu intègres sur la boule, ton intégrale est nulle, si tu intègre sur la sphere, ton intégrale c'est ou ds est la mesure de "peau" sur la sphere.
Dans le second cas ta formule est fausse, prend le champ E=(e^{az}-1)u_z pour la sphère unité.

[invite473b98a4]

Non l'intégrale n'est pas nulle, elle est peut-être nulle pour un autre problème dont vous semblez parler, mais ça n'a rien à voir, ce n'est pas un problème de première année, vous n'avez pas regardé où étaient les flèches, la flèche n'est pas sur le dS et il n'y a pas de produit scalaire, ça devrait vous aider à comprendre que ça n'est pas une intégrale de Gauss, mais la force appliquée à la sphère. Vous n'avez pas bien lu l'énoncé, ce que vous me dites n'a rien à voir tout simplement. Je connais très bien le théoreme de gauss, le théoreme de stoke etc, c'est pas le soucis, vous n'avez même pas lu les réponses de coussin car c'est un peu comme ça qu'il a compris la question.

J'ai un champ extérieur (C'est à dire pas produit par la sphère, mais par d'autres sources ...ailleurs) DANS LEQUEL se trouve une sphère chargée et je cherche à calculer la force appliquée sur la sphère, force due à un champ dérivant d'un potentiel (conservatif). Si j'ai mis un volume, et une densité volumique au lieu de surfacique, c'est pour pouvoir à un moment où un autre utiliser le fait que
Mais effectivement en pratique on utilisera une densité surfacique et on intègrera sur une sphère, il n'empêche qu'il s'agit bien de l'ensemble des charges se trouvant à l'intérieur de la sphère, cad dans le volume créé par la sphère.

Il se trouve que si je mets au centre de la sphère une charge opposée, alors le champ créé par la sphère+ la charge centrale est nul à l'extérieur du système sphère+ charge centrale. Si le champ est nul à l'extérieur du système SCC alors il ne peut plus agir avec les sources du champ, sources situées à l'extérieur du système SCC. DONC par conservation de la quantité de mouvement du système total source+champ + sphère + charge intérieure à la sphère, le système SCC ne peut pas subir de force. Il s'ensuit que la force sur la sphère doit être opposée et égale à la force sur la charge centrale.

Je pense déjà pouvoir le prouver en utilisant le tenseur de maxwell et la conservation de la quantité de mouvement et en l'intégrant sur une surface englobant un volume plus grand que le système total mais j'aimerais pouvoir le démontrer brutalement, par le calcul.

Maintenant j'espère que vous avez compris, sinon je ne peux rien faire de plus.

[invite47ecce17]

Oui, c'est bien ce que je pensais que ton probleme etait.
Et je maintiens ma réponse.
Si tu intègre sur la boule une fonction (peu impote ce qu'elle est) dont le support est la sphère, tu obtiens 0. La sphere est de mesure nulle pour la mesure naturelle sur R^3 (restreinte à la boule). Si tu preferes le voir sous l'angle du theoreme de stokes, tu restreint une 3-forme à une surface... tu obtiens donc 0.
Si tu ecrit la force exercée tu vas obtenir une intégrale surfacique, ce qui n'est pas du tout la meme chose que l'integrale volumique d'une fonction donc le support est la sphere.
Par contre, j'ai l'impression que tu t'embrouilles avec ton div(E)=\rho, tu dis toi meme que le champ electrique est un champ exterieur, il n'y a aucune raison que la divergence de ce champ soit donné par la distribution de charge sur la sphere! C'est la distribution de charge qui crée ton champ "exterieur" qui verifie div(rho')=E (où rho' est la densité de charge créant ton champ exterieur E).
Mon contre exemple reste valide.

[invite473b98a4]

MAIS NON c'est pas du tout ça!!! C'est toi qui est complètement embrouillé, j'ai jamais vu quelqu'un d'aussi têtu!!! Justement je te dis que ça n'a rien à voir avec Stoke ou Gauss. On s'en fiche d'avoir une intégrale surfacique ou volumique. Pour obtenir LA FORCE il faut simplement faire l'intégrale de là où il y a des charges par là où il y a du champ. Le Div E je pense juste que c'est une condition qui peut être utile à un moment. Ce que tu es en train de m'écrire c'est qu'une force sur une sphère ou une boule chargee plongée dans un champ est forcément nulle, désolé mais tu n'as juste rien compris, relis et relis encore c'est pas vrai!!!

[invite473b98a4]

Par contre, j'ai l'impression que tu t'embrouilles avec ton div(E)=\rho, tu dis toi meme que le champ electrique est un champ exterieur, il n'y a aucune raison que la divergence de ce champ soit donné par la distribution de charge sur la sphere!

c'est bien la preuve que tu ne connais rien à l'électromagnétisme, cette équation est valable partout. là où il n'y a pas de charge, div E = 0 or justement Et ce quel que soit puisqu'on a un produit scalaire. Donc je pense qu'on doit pouvoir introduire cette propriété à un moment ou un autre

[invite47ecce17]

Mais... non, je suis désol.
Je ne parle pas du théoreme de Gauss, ou de Stokes. J'ai bien compris ce que tu veux faire.
Tu veux calculer la force subie par une densité sphérique de charge plongée dans un champ E.
Cette froce vaut ou ds est la mesure de surface sur la sphère et PAS , car cette dernière intégrale vaut 0...
Je n'ai jamais dit que la force exercée etait nulle. J'ai ecrit que l'intégrale que tu ecris (et qui ne calcule pas la force) etait nulle.

Maintenant, quand tu ecris la bonne intégrale (celle que j'ai donné) et que tu fais le calcul avec le champ exterieur que j'ai donné (qui est bien d-fermé) tu obtiens un contre exemple à la formule que tu crois vrai.

[invite47ecce17]

c'est bien la preuve que tu ne connais rien à l'électromagnétisme, cette équation est valable partout. là où il n'y a pas de charge, div E = 0 or justement Et ce quel que soit puisqu'on a un produit scalaire. Donc je pense qu'on doit pouvoir introduire cette propriété à un moment ou un autre

Oui, voila je connais rien à l'ectromagnétisme... Toi apprement tu connais pas grand chose à la théorie de l'intégation....
Je ne vais pas continuer à perdre mon temps avec cette discussion.

[invite473b98a4]

Si je définis une densité surfacique alors la force totale sera
Ok?
Si je définis une densité volumique alors la force totale sera
Ok?
Il n'y a aucune raison pour quelle soit nulle c'est complètement absurde.
J'ai des charges et un champ la force n'est pas nulle si la charge totale n'est pas nulle.

[invite47ecce17]

Allez tiens je suis magnanime... je vais developper un peu.
TU as ta distribution de charge qui crée le champ exterieur, disons et la distribution de charge de ta sphere disons .
Tu as un champ total avec et .
Tu crois vraiment que intervient dans le calcul de la force exercée sur la sphère?

Non, la force c'est .

Maintenant prend le champ que je t'a donné, il est de differentielle nulle (et donc est un champ de gradient, car on est dans R^3). Le calcul se fait facilement (mais meme sans pousser le calcul explicitement on voit bien que ta formule ne peut marcher).

[invite473b98a4]

Bien d'une part je n'ai absolument pas parler du champ de la sphère et du champ extérieur, pour moi ça a toujours été le champ extérieur...MAIS c'est parce que la force intégrée sur toute la sphère due aux autres charges de la sphère sera nulle, en toute rigueur elle est localement non nulle ET IL FAUT BIEN COMPTER LA FORCE DUE AUX AUTRES CHARGES DE LA SPHERE. De plus les équation sont valable localement pour le champ total donc tes équations séparant le champ extérieur et le champ intérieur sont totalement fausse en plus d'être vraiment ultra fausses concernant les lois de l'électromagnétisme. MAis de toutes façons on s'en fiche parce que 1) tes formules sont fausses TOTALEMENT FAUSSES. Tu va me dire comment tu trouves la divergence d'une densité SCALAIRE monsieur intégration? 2) C'est dommage pour toi parce que c'est utilisé tous les jours 3) c'est DIV E = rho pas div rho = E avec E = E TOTAL c'est une formule valable partout et tout le temps, le champ c'est le champ, et justement le E_r est le E_r total dans la formule de GAUSS.

Et c'est toi qui est magnanime????

c'est collector.

[invite47ecce17]

Si je définis une densité surfacique alors la force totale sera
Ok?

Ok

Si je définis une densité volumique alors la force totale sera
Ok?

Oui, aucun souci. Et a ton avis dans ton exemple, celui qui est décrit dans le message 1, on est dans le second ou le premier cas?

Il n'y a aucune raison pour quelle soit nulle c'est complètement absurde.
J'ai des charges et un champ la force n'est pas nulle si la charge totale n'est pas nulle.

Je repete que je ne dis pas que la force exercée par le champ exterieur sur la sphere est nulle

Dans ton premier message tu as ecrit

j'imagine que j'ai un champ, par exemple électrique, dérivant d'un potentiel, (c'est à dire de rotationnel nul), dans lequel baigne une distribution de charge homogène à la surface d'une sphère. J'ai de bonnes raisons de penser que la force totale se résume à où Q est la charge totale et E(0) le champ au centre de la sphère

Ce que je dis c'est que l'intégrale que tu as ecrit et dont tu dis qu'elle donne la force est nulle, et qu'en plus elle ne donne pas la force
C'est pour ca que j'ai demandé si tu t'interesse à la quantité définie par l'intégrale, ou à la force exercée par le champ sur la sphere.
Et je t'ai ensuite donne un contre exemple pour le second cas (qui me paraissait le plus probable).

Au passage est nulle aussi. Peut etre sera tu plus facilement convaincu par ca.

[invite47ecce17]

Bien d'une part je n'ai absolument pas parler du champ de la sphère et du champ extérieur, pour moi ça a toujours été le champ extérieur...MAIS c'est parce que la force intégrée sur toute la sphère due aux autres charges de la sphère sera nulle, en toute rigueur elle est localement non nulle ET IL FAUT BIEN COMPTER LA FORCE DUE AUX AUTRES CHARGES DE LA SPHERE. De plus les équation sont valable localement pour le champ total donc tes équations séparant le champ extérieur et le champ intérieur sont totalement fausse en plus d'être vraiment ultra fausses concernant les lois de l'électromagnétisme. MAis de toutes façons on s'en fiche parce que 1) tes formules sont fausses TOTALEMENT FAUSSES. Tu va me dire comment tu trouves la divergence d'une densité SCALAIRE monsieur intégration? 2) C'est dommage pour toi parce que c'est utilisé tous les jours 3) c'est DIV E = rho pas div rho = E avec E = E TOTAL c'est une formule valable partout et tout le temps, le champ c'est le champ, et justement le E_r est le E_r total dans la formule de GAUSS.

Et c'est toi qui est magnanime????

c'est collector.

Ok thx bye lol.
Une telle incompetence mathématique me laisse pantoise.

[invite473b98a4]

Bon alors
1)
Je tiens à dire que tu as changé tes équations et donc que ma réponse ne fait plus de sens, mais ça je m'y attendais un peu. Tu aurais du laisser ton erreur pour qu'on comprenne le fil. Je remets ton erreur TU avais écrit div (rho) = E int, et même en changeant les choses de place tu apprendra que ça n'a pas de sens physique.

Mais JE suis magnanime, je comprends qu'on puisse taper trop vite.
2) Dans la réalité la densité est TOUJOURS volumique et je me répète c'est pour ça que j'ai mis une intégration sur un volume avec une densité volumique à laquelle on peut appliquer Div E = rho.
DANS LA PRATIQUE j'utiliserai une densité surfacique
3)Tu crois vraiment que je ne sais pas ce qui te fais dire ça puisque C'est LA BASE de MON PROBLEME
par définition, je ne sais pas où tu as vu ça mais nous dans le vrai monde on utilise ça tous les jours.

... Peu importe puisque ça n'est même pas le début du commencement du problème.

Et j'aimerais bien que s'il te plait tu me trouves la force totale appliquée à ces malheureuses charges si ça n'est pas la formule que j'ai présenté puisque tu es persuadé que ça n'est pas ça. Un petit rappel la force sur une charge est donné par le champ créé par toutes les autres sources fois la charge locale.

Bon courage.

[invite473b98a4]

Allez on va dire que je n'ai pas vu ce que tu as fait, mais je vais te dénoncer comme il se doit.

Tu as écrit des équations extrêmement fausse à dessein peut-être, puis ensuite tu les as changé.
alors je vais remettre la totalité de ton message pour qu'on puisse bien voir QUI est l'incompétent

Allez tiens je suis magnanime... je vais developper un peu.
TU as ta distribution de charge qui crée le champ exterieur, disons \eta et la distribution de charge de ta sphere disons \rho.
Tu as un champ total E=E_{sphere}+E_{ext} avec div(\eta)=E_{ext} et div(\rho)=E_{sphere}.
Tu crois vraiment que E_{sphere} intervient dans le calcul de la force exercée sur la sphère? Vraiment?

Non, la force c'est \int_S E_{ext}\rho ds.

Maintenant prend E_{ext} le champ que je t'a donné, il est de differentielle nulle (et donc dérive d'un gradient, car on est dans R^3). Le calcul se fait facilement (mais meme sans pousser le calcul explicitement on voit bien que ta formule ne peut marcher).

[invite47ecce17]

Bon alors
1)
Je tiens à dire que tu as changé tes équations et donc que ma réponse ne fait plus de sens, mais ça je m'y attendais un peu. Tu aurais du laisser ton erreur pour qu'on comprenne le fil. Je remets ton erreur TU avais écrit div (rho) = E int, et même en changeant les choses de place tu apprendra que ça n'a pas de sens physique.

Mais JE suis magnanime, je comprends qu'on puisse taper trop vite.

C'etait effectivement une faute de frappe, mais peu importe.

2) Dans la réalité la densité est TOUJOURS volumique et je me répète c'est pour ça que j'ai mis une intégration sur un volume avec une densité volumique à laquelle on peut appliquer Div E = rho.
DANS LA PRATIQUE j'utiliserai une densité surfacique

Tres bien mais alors les d^3r dans tes intégrales doivent devenir des ds (ou des rd\theta sin(\theta) d\phi ou des d^2r, bien que ce soit un peu malheureux à r fixé, mais surtout pas des d^3 qqch), sinon toutes tes intégrales sont nulles. C'est pas la meme chose d'integrer sur la boule et d'integrer sur la sphere.

3)Tu crois vraiment que je ne sais pas ce qui te fais dire ça puisque C'est LA BASE de MON PROBLEME
par définition, je ne sais pas où tu as vu ça mais nous dans le vrai monde on utilise ça tous les jours.

Oui, je crois que c'est vrai et je peux meme te le prouver.
Tu pense quoi de l'intégrale de la fonction indicatrice de la sphere, sur R^3 (ou sur la boule), , nulle ou pas d'apres toi? Ce que tu ecris c'est exatement que cette intégrale n'est pas nulle.

Et j'aimerais bien que s'il te plait tu me trouves la force totale appliquée à ces malheureuses charges si ça n'est pas la formule que j'ai présenté puisque tu es persuadé que ça n'est pas ça. Un petit rappel la force sur une charge est donné par le champ créé par toutes les autres sources fois la charge locale.

Bon courage.

Je t'ai donné la réponse, c'est où ds est la mesure de surface sur la sphere. Si tu ne vois pas pourquoi ca n'est pas la meme chose que alors chuis désolée, mais ca n'est vraiment pas la meme chose (la dernière intégrale etant toujours nulle).

[invite47ecce17]

Lol, je pense que tout le monde peut voir que mon edit de mes equations
div(E)=\rho (que j'avais effectivement tappé d'abord div(rho)=E) ont été édité a 23h38, soit 3 minutes apres mon message, alors que le tien a été posté a 23h47... Tu penses vraiment que j'ai eu besoin d'attendre ton message pour m'aprecevoir de ma faute de frappe.

Du reste, oui tu déploie sur ce fil une meconnaissance des maths de base, au point de ne pas se rendre compte qu'integrer sur un volume et une surface c'est pas pareil. Enfin bon, c'aurait été juste un detail, et je te l'ai fait remarqué des mon premier message, que ton ecriture telle qu'elle etait fausse.
Et j'ai aussi donné une solution a ton probleme des mon second message.... que n'importe qui ayant deux sous de competences mathématiques peut verifier.

Ah, j'aurai mieux fait de ne pas me ré-inscrire sur ce forum.

[invite47ecce17]

Mais enfin c'est pas possible, tu n'es pas mauvais à ce point.
Si tu intègre un dV sur une sphere tu obtiens 0! C'est clair ça!
Si tu intègres une fonction à support dans une sphere sur R^3 tu obtiens 0! Ca aussi c'est clair?

[invite473b98a4]

Et les heures que tu cites pour mon message sont l'heure de réédition car je t'avais fais remarqué ta faute avant que tu la réédites puisque j'ai eu le temps de voir mon message.

[invite47ecce17]

Deja tu te calmes sur les insultes... ou tu les mets au féminin.
Et je ne te dis pas autre chose depuis le debut.
Si tu intègre sur la sphere tu dois changer tes d^3r en des mesures de surfaces.

Du reste tu peux lancer des attaques personnelles tant que tu veux tu n'ebranleras pas le fait que je suis competente en maths (en physique des fois ca se discute), probablement bien plus que toi a en juger par ce fil. Et que ce que je dis est rigoureusement exact (c'est vrai j'ai oublié un ² dans l'element de longueur de sphérique tu as raison).