Matrice densité - états purs et mixtes

[invite941b8256]

Bonjour à tous,

J'ai des exos à faire en MQ (dynamique) et il y a quelques questions dont je ne suis pas sûr de la réponse.

Pour la première, il s'agit de déterminer la probabilité de mesures dans la base orthonormale des kets (k1), (k2),...(kn) qui va donner (kj)
en partant de la matrice densité qui est la somme sur k des pk.ket(Psi-k).bra(Psi-k)
pour un ensemble d'états purs mixtes (a statistical mixture of pure states pour être exact).
Je comprends pas trop la question ou en tout cas je ne vois pas trop ce qui est entendu par trouver la probabilité de mesures dans la base orthonormale. Si ça se trouve c'est super simple mais je vois pas trop, vous avez des idées?

Ensuite la seconde question nous propose de trouver l'opérateur densité rho-U quand le mélange (mixture) est transformé suivant la matrice unitaire U. J'ai trouvé que c'était simplement le produit U.rho.U+ (où U+ est U conjugué), est ce bien ça ou quelque chose de plus compliqué?

J'ai ensuite un autre exercice à faire et la première question est de montrer comment montrer qu'il est possible pour un état pure à T0 de passer à un état mixte à T>T0. J'ai essayé l'approche de calculer l'expression de la matrice densité en T en utilisant l'opérateur U et j'obtiens à la fin la même expression que pour la question précédente et j'aimerais ensuite montrer que la trace de cette nouvelle matrice densité au carré peut être différente de 1 mais je vois pas trop comment faire.

Il y avait aussi la question de montrer qu'un état mixte ne pas passer à un état pur mais je pense avoir bon pour celle-ci.

La deuxième partie de cet exercice consiste à jongler avec les différentes représentations et l'équation de Liouville-von Neumann. Il faut tout d'abord définir la transformation de l'opérateur densité dans la représentation de Schrödinger passant à l'opérateur densité dans la représentation de Dirac (interaction picture) et dériver l'équation de Liouville von Neumann dans la représentation de Dirac sous la forme de quelque chose qui ressemble à ce qu'on a dans la représentation de Schrödinger (c'est à dire une dérivée par rapport au temps donnant une commutation entre opérateurs à un facteur ih-barre près). Ensuite expliquer pourquoi cette équation dans la représentation de Heisenberg n'est pas très utilisée.
Pour la première partie, j'obtiens un truc tout bête et je pense que c'est faux car j'ai :
i(h/2PI) dp/dt = Hp - pH (où p est en fait rho la matrice densité à T>0) tout ça dans la représentation de Dirac et qui est exactement la même chose que dans la représentation de Schrödinger. Mais je vois pas quoi obtenir d'autre et ce qu'il faut démontrer. Et je vois pas trop non plus ce qui est entendu par définir la transformation. Le truc c'est que je pense avoir compris les différences entre les différentes représentations mais pour moi c'est juste une différence de conditions de calcul, ou plutot ce qu'on défini comme dépendant du temps ou pas dans nos calculs. Je vois pas par contre comment passer de l'un à l'autre pour l'opérateur densité par une simple transformation.
Pour la seconde partie, je pensais que comme la représentation d'Heisenberg implique que les opérateurs ne dépendent pas du temps, la dérivée de l'opérateur densité par rapport au temps doit être nulle, est-ce cela?

Voilà, je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter. Je sais que ça fait pas mal de questions et je sais que je suis passé à côté de quelque chose, mais j'arrive pas trop à voir quoi et les ressources internet que j'ai trouvé ne m'ont pas permis de répondre à mes attentes.
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[invite69d38f86]

Pour la première question, je la comprends comme çà:
Tu as une particule dans l'état défini par la matrice rho et on demande pour un observable O la probabilité d'obtenir la valeur propre o_i
Pour cela on prends le vecteur propre normalisé v_i associé à cette valeur propre. la probabilité cherchée est <v_i | rho | v_i>

[invite69d38f86]

Pour l'histoire du passage pur -> mixte à T > T0, çà fait penser à la décohérence.
Ton systeme est mis en contact avec un environnement à la temperature T.
Tu as avec S + E un état possédnnt une matrice densité M.
La trace partielle de M obtenue en sommant sur E donne une matrice rho' qui peut ne pas correspondre à un etat pur.
cad diagonalisable avec autre chose que 1 0 0 0 ... sur la diagonale

[invite941b8256]

D'accord, merci pour tes réponses.
C'est vrai que j'avais pas vu le passage pur-> miste comme une décohérence mais ça y fait penser fortement. Après justement mon problème c'est de montrer que la trace de la matrice densité de l'état mixte au carré était différente d'un état pur (différent de 1). J'ai lu quelque part que la matrice densité d'un état mixte possédait les mêmes éléments sur la diagonale que l'état pur mais que les éléments hors diagonale changeaient, est-ce vrai?

Pour revenir à la première question, ça veut dire que c'est simplement <kj|rho|kj>?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Pour les valeurs sur la diagonale de la matrice densité, quand on part pour un etat pur d'une base quelconque
on a certaines valeurs (de somme 1) pour une autre base on a d'autres valeurs. on ne peut pas dire que l'on a la
matrice densité en ne gardant que les elements diagonaux. la décohérence choisit une base privilégiée, avec des éléments diagonaux donnés. puis les éléments non diagonaux tendent vers zero.
Pour tout etat pur il y a une base ou la matrice densité s'écrit avec uniquement avec des zeros sauf avec un 1 en haut à
gauche! apres décoherence ce n'est pas cette matrice qui sera retenue dans cette base.

Pour la réponse à la question 1, j'aimerais que ce soit confirmé par quelqu'un d'autre.

Quand tu auras le corrigé, tu pourras nous en faire part?
merci.

[invite69d38f86]

Je reviens donc sur la premiere question.
Quand on manipule les matrices densité on utilise beaucoup les traces alors un petit rappel;
avec deux vecteurs x et y d'un meme espace vectoriel tr (|x> <y|) = x1 y1* + x2 y2* + ... = <y|x>
La moyenne dans un etat pur F1 d'un opérateur O est <F1 | O | F1> = tr (O [F1><F1|) ) = tr ([F1><F1|O) )
idem pour un autre état pur F2.
Si on a un mélange rho = p1 [F1><F1| + p2 [F2><F2| on prend la moyenne pondérée des 2 traces
qui (la trace etant linéaire) est tr(rho O) = tr (O rho)
Prenons maintenant pour O un projecteur P sur un vecteur v normalisé soit P = |v > <v|
on a PP = |v > <v| |v > <v| = |v > <v| = P ses valeurs propres sont donc 0 et 1
La valeur moyenne de ce projecteur avec un etat pur F1 est <F1|v><v[F1> = tr (F1><F1|v><v|) qui si les vecteurs son normalises est la probabilité d'obtenir v à partie de F1
Si on a maintenant un mélange rho de F1 et F2 on a de meme tr (rho v><v) = <v| rho |v>
j'ai pris une matrice rho 2 sur 2 mais c'est pareil en dimension finie supérieure.