Onde stationnaire, dérivées partielles

[Isis-mirka]

Bonjour à tous,
Je suis en train de m'entrainer sur le thème des ondes, et je bloque sur un exo.
le voici:


1ere question: je n'arrive pas a établir l'expression de B dans l'exo des ondes stationnaires, comment faut-il résoudre ce genre d'exo ? je n'en ai jamais fait, et je ne sais pas comment m'y prendre ...

pour l'exo suivant, je n'arrive pas à établir l'expression de E.
je suis parti de l'équation des ondes , que E vérifie.
le prof m'a conseillé de poser u=rE.
j'ai donc remplacé tous les E par U en multipliant par r,
mais je me trouve avec des dérivées partielles de produit par rapport à r (avec u dépendant de r), et je ne parvient à montrer que u vérifie l'équation des ondes ..
suis-je mal parti ? existerait-il des astuces pour ce genre d'exo ?

merci d'avance
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[LPFR]

Bonjour.
Dans une onde électromagnétique plane, quelles sont les directions respectives du vecteur d'onde, du champ électrique et du champ magnétique ?

Il faut que vous écriviez les deux ondes planes identiques (sauf dans le sens du déplacement).
Puis ajoutez les deux champs E et transformez la somme de cosinus (ou sinus) en produit. Vous aurez une dépendance spatiale et une dépendance temporelle. Je vous laisse continuer.

La question 2 commence par une connerie (oui, il n'y a pas d'autre mot). Le champ E d'une onde sphérique ne peut pas avoir une symétrie sphérique. Entre autres, il ne pourrait pas satisfaire que la divergence de E est nulle.
La seule chose qui est sphérique dans une onde sphérique est le front d'onde (ou la phase de l'onde).
Ce que l'on vous demande de démontrer est qu'en faisant les hypothèses absurdes que pour le champ (donné) les dérivés par rapport aux angles sont nulles (symétrie sphérique, connerie), la forme donné satisfait l'équation de D’Alembert.

Le conseil de votre prof de dire que u = rE vient du fait qu'il sait (par expérience) que le champ E diminue comme 1/r. Donc, 'u' doit être constant. Mais il ne faut pas oublier que E est un vecteur dont on ne connait pas l'orientation. En fait, la seule orientation qui permet une symétrie sphérique est la radiale. J'espère que votre prof est au courant que ce n'est pas le cas pour une onde sphérique.
Au revoir.

[Isis-mirka]

Dans une onde électromagnétique plane, quelles sont les directions respectives du vecteur d'onde, du champ électrique et du champ magnétique ?

le vecteur d'onde s'écrit k=(0,0,k) , car il est dirigé selon Oz.
les deux champs E et B sont orthogonaux entre eux, mais aussi à k je crois.
donc E=(Ex,E,0) et B=(Bx,By,0)
je crois que j'y suis arrivé pour E.
il faut faire de la meme façon pour B ? on obtient alors le meme resultat ?

pour le 2:
j'en suis à :


alors je pose u=rE.
alors je remplace tous les E par u/r,




que aire de ces drivées partielles ? parcequ'on a des dérivées de quotient, qui une fois développées donnent des expresssions pas très agréables..
merci

[LPFR]

Re.
Pour le 1: vous avez le droit de choisir l'orientation de votre système de coordonnées. Choisissez-le de sorte de 'x' soit parallèle au champ E. Ce qui vous donne E=(Ex,0,0). Dans ce cas, quelle est l'expression similaire pour B ?

Pour le 2: je vous conseille d'oublier le 'u' est remplacer le E par l'expression de l'énoncé
E(r,t) = (1/r) f...... etc.
Et faire les dérivées partielles. Sans oublier que E n'a qu'une seule composante.
Vous devez arriver à 0 = 0, ce qui démontre que la solution donnée en est effectivement une solution.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

voila ce que l'on a marqué dans la correction:
E=E₀sin(wt)cos(kz)
j'obtiens la meme expression pour B , n'y a-t-il pas un probleme ?
pour le 2, je crains que votre méthode ne soit encore plus complexe que la précédente pour moi...
comment faaire des dérivvées partielles de la fonction f(t-r/c) ?

merci

[LPFR]

Re.
Oui. Il y a un problème. Vous avez oublié que suivant la direction de propagation le E et le B n'ont aps la même direction car le vecteur d'onde est inversé.
k, E et B forment un trièdre direct.

où veut dire produit vectoriel.
Si vous multipliez vectoriellement E par B, vous obtenez la direction de k.

La conséquence est que dans l'onde stationnaire, les maximums de E correspondent aux zéros de B et vice-versa.

Pour le 2, si vous appelez ,
Alors

et la même chose pour 't'.
Au revoir.

[Isis-mirka]

ok merci , c'est bon pour le 2.
pour le 1: que dois-je donc faire concrètement pour trouver B ? un produit vectoriel car je sais que wB=k^E (produit vectoriel) ?

merci

[LPFR]

Re.
Faites un dessin en perspective (cavalière).
Tracez une droite qui porte les deux vecteurs d'onde.
Tracez chaque vecteur d'onde et le deux E (dans la même direction).
Et maintenant dessinez les deux B sans vous tromper.
Comparez votre dessin (des B) avec vous équations.
A+

[Isis-mirka]

voila ce que j'ai trouvé:
B=vecteur dirigé selon -y (avec E selon +x et k selon +z) avec B=-(k/w)*2Eosin(wt)cos(kz) apres avoir dessiné la situation.
qu'en dites-vous ?


merci

[LPFR]

Re.
De qui parlez-vous ? Vous avez deux ondes: une qui va vers les +z et l'autre vers les -z.

Si vous dites que B est orienté vers les -y, et E vers les +x, quand je fais le produit vectoriel E x B, mon k est dirigé vers les -z.
A+

[Isis-mirka]

euh non , excusez-moi j'ai fais une erreur , on aurait :
B=vecteur dirigé selon +y (avec E selon +x et k selon +z) avec B=(k/w)*2Eosin(wt)cos(kz)

est-ce mieux ?

[LPFR]

Re.
Oui. Pour les directions, c'est bon pour l'onde qui va vers les +z.
Mais pas pour B.
Maintenant faites de même pour celle qui va vers les -z.

Le B que vous écrivez est la version erronée de l'addition des deux B. Mais vous ne pouvez pas l'avoir faite avec un seul des deux.

A+

[Isis-mirka]

ah ok.
je vais continuer ça
merci beaucoup de votre aide.
bonne journée