Diffusion, lien entre loi de fick et mouvement brownien

[invite9cecbb6f]

Bonjour a tous,

Je réfléchis en ce moment a la correspondance entre la théorie macroscopique de la diffusion (loi de fick) et son explication microscopique (mouvement brownien).
Je convient qu'avec les deux on obtient les mêmes lois (R²=2dDt), mais j'ai du mal a trouver un argument avec les mains permettant d'expliquer le gradient de concentration de la loi de fick a partir du mouvement brownien. Comment sortir d'une marche aléatoire que les particules vont du plus concentré vers le moins concentré ?

Si quelqu'un connait un cours où l'équivalence micro-macro est démontré (même sans arguments avec les mains) je suis preneur.

Merci
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[invite6dffde4c]

... Comment sortir d'une marche aléatoire que les particules vont du plus concentré vers le moins concentré ?
...

Bonjour.
Dans une zone de concentration N il y a une fraction de particules AN qui vont vers la droite (et autant vers la gauche).
Dans la zone d'à côté (à gauche, par exemple), dont la concentration est de (N+e) le nombre de particules qui vont vers la gauche (ou vers la droite) sera A(N+e).
Donc, si 'e' est positif, à gauche il y aura plus de particules qui vont vers la droite que des particules qui vont vers la gauche dans la partie de droite.
Vous pouvez même écrire la loi de Fick directement à partir de ce raisonnement.
Au revoir.

[ThM55]

Bonjour. On peut comprendre cette relation avec le modèle des urnes d'Ehrenfest: deux urnes, l'une remplie d'un grand nombre de boules numérotées de 1 à N et l'autre vide. Une fois par seconde, on tire au hasard un numéro de 1 à N et on déplace la boule portant ce numéro. Si elle est dans la première urne, on la déplace dans la seconde; si elle est dans la seconde, on la remet dans la première. Le flux moyen de boules est proportionnel à la différence des boules entre les urnes; on a quelque chose de proche de la loi de Fick. Il y a aussi des fluctuations, qui sont aussi présentes microscopiquement dans les systèmes réel.

Dans des modèles plus réalistes, on a un effet analogue; le mouvement brownien correspond à des déplacements aléatoires des molécules. Si on considère deux régions voisines de concentrations différentes pour ces molécules, l'analogie avec le modèle des urnes est évidente: on a plus de chance de voir une molécule passer d'une région de concentration élevée vers une région de concentration plus faible.

Le mathématicien Mark Kac a déclaré que le modèle des urnes d'Ehrenfest était un concentré de toutes les idées de la physique statistique. Voici la référence vers Wikipedia pour ce sujet: http://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%..._d%27Ehrenfest .

[ThM55]

LPFR a été plus rapide que moi. Son explication est évidemment équivalente à la mienne. L'intérêt pédagogique de considérer des modèles comme ceux des urnes est de permettre des simulations informatiques très simples qui illustrent les phénomènes de fluctuations, comment le temps de récurrence de Poincaré augmente avec le nombre de boules, etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite935b1a97]

pour reprendre Iori, le mouvement brownien n'est pas une explication microscopique de la diffusion. C'est l'agitation thermique qui est à l'origine de la diffusion. Le mouvement brownien decrit le mouvement de larges particules au sein d'un fluide constitué de petites particules.

cdlt,

[invite9cecbb6f]

Merci LPFR c'était très clair.

Le sujet est donc clos pour moi

PS: l'analogie avec les boules était encore plus simple a comprendre