Bonjour à tous,
Je cherche à réécrire l'équation de Maxwell-Gauss, pour un milieu inhomogène. Je considère par ailleurs évoluer dans un milieu matériel sans charge ni courant.
Pour un milieu lhi l'équation est simple :.
Mais dans le cas qui m'intéresse, je me doute qu'il faille faire intervenir l'excitation électrique
Mais après je ne vois pas comment aller plus loin...?
Merci de votre aide.
Dernière modification par tpscience ; 04/02/2014 à 16h11.
Bonjour,Envoyé par tpscience
Bonjour à tous,
Je cherche à réécrire l'équation de Maxwell-Gauss, pour un milieu inhomogène. Je considère par ailleurs évoluer dans un milieu matériel sans charge ni courant.
Pour un milieu lhi l'équation est simple :
Mais dans le cas qui m'intéresse, je me doute qu'il faille faire intervenir l'excitation électrique
Mais après je ne vois pas comment aller plus loin...?
Merci de votre aide.
Il faudrait préciser ce que tu veux faire, car je ne comprends pas ta question.
Bonjour,
J'aimerais au final démontrer que pour un milieu inhomogène, le champ E ne pourrait être décrit sous forme scalaire, mais obligatoirement sous forme vectorielle.
Chose dont on peut s'affranchir dans le cas d'un milieu homogène (cf équation de Helmoltz).
Je voulais donc partir de l'expression de la divergence du champ et démontrer que l'on arrive à une expression dépendant de la forme vectorielle de E...
Merci encore.
Bonjour,
Ta question est intéressante, mais cela m'interroge car il faudrait préciser le domaine d'application car les réponses ne seront pas uniques. Je sais par exemple que lorsque l'on traite la propagation des ondes dans l'atmosphère qui présente des fluctuations d'indice ( c'est ce qui fait que le problème est inhomogène) on reste dans l'approximation scalaire. Je suppose dans ce cas que l'on doit faire le raisonnement suivant:
Une onde plane arrive sur une petite bosse d'indice localisée dans l'espace. On peut envisager que l'effet est de diffuser l'onde, cad changer son vecteur d'onde et en même temps changer sa polarisation. Apparemment pour l'exemple précis ci-dessus on n'envisage que la diffusion et donc on reste dans l'approximation scalaire. Il faut préciser la nature des inhomogénéités et donc définir celles-ci et de là en tirer des conclusions sur les approximations a faire.
En plus la réponse D a E est un tenseur symétrique et non local en espace et en temps , il y a là encore a préciser les échelles par rapport a la longueur d'onde a laquelle tu travailles.
En fait j'avais trouvé il y a quelques jours (je n'ai plus le lien), une expression simplifiée de la divergence du champ dans un milieu matériel inhomogène d'indice n :
Mais je ne vois pas trop comment ils arrivent à cela...
Tu as D = e.E ou e est la constante diélectrique inhomogene avec e = n^2 l'indice au carréEn fait j'avais trouvé il y a quelques jours (je n'ai plus le lien), une expression simplifiée de la divergence du champ dans un milieu matériel inhomogène d'indice n :
Mais je ne vois pas trop comment ils arrivent à cela...
Tu as Grad D = 0 car tu n'as pas de sources de charges mobiles
Donc ton calcul revient a calculer:
Grad e(r).E(r) en remplaçant e(r) par n2(r) et tu trouveras ton résultat.
Il suffit de remarquer que d'une partEn fait j'avais trouvé il y a quelques jours (je n'ai plus le lien), une expression simplifiée de la divergence du champ dans un milieu matériel inhomogène d'indice n :
Mais je ne vois pas trop comment ils arrivent à cela...
Edit : c'est bien un div D et non un grad D qui s'annule mariposa
Effectivement, c'est la fatigue, la nabla d'un vecteur c'est une divergence;Il suffit de remarquer que d'une part
Edit : c'est bien un div D et non un grad D qui s'annule mariposa
Merci à tous les deux,
J'avoue que le résultat était trivial...
Merci encore.
Bonjour,Merci à tous les deux,
J'avoue que le résultat était trivial...
Merci encore.
Effectivement le résultat est trivial, sauf que ta question était trop genérale et la réponse triviale est en fait absolument pas generale car relié D et E par une constante dielectrique e suppose une grosse approximation même dans le domaine linéaire car cela suppose que la réponse soit instantanée ( pas d'effet de retard) et locale ( cad que les variations de E au point r produisent seulement des variations de D au point r).
En pratique lorsque l'on traite la propagation dans un milieu inhomogéne on néglige les changements de polarisation car ce qui domine c'est la diffusion de l'onde ( ce qui n'apparait pas dans une équation locale) et en plus faut-il tenir compte du temps de coherence (la fonction de correlation a 2 temps) car en absence de corrélations on néglige le phénomenes d'interférences et donc on peut traiter le problême comme un probleme de transport de l'energie.
Bonjour,
En fait, ce que je trouvais intéressant, était le passage d'un problème faisant intervenir le champ sous forme vectorielle à une forme scalaire.
Et une des justifications que je m'étais faite était justement les conditions d'un milieu lhi.
Donc je voulais voir sous quelles conditions cette simplification sous forme scalaire n'était plus possible...
Bonjour,
Oui j'ai fini par comprendre ce que tu cherchais. Ton problème était de nature plus mathématique que physique. Personnellement a travers ta question j'ai vu les problèmes physiques avant tout. D’où la complexité de ma réponse. Néanmoins ta question va me rendre un bon service car il va falloir que je trouve une bonne justification du pourquoi on rester dans l'approximation scalaire en présence d'inhomogénéités. C'est une question que ne ne m 'étais jamais posée.
Cela étant, le forme obtenue :
montre ici que le problème ne peut être résolu sous une forme scalaire du champ...
Ce n'est pas un raisonnement physique.Cela étant, le forme obtenue :
montre ici que le problème ne peut être résolu sous une forme scalaire du champ...
Le problème est de montrer que dans un certain contexte on peut toujours négliger quelque chose. Il faut prendre donc un problème particulier pour voir ce qu il faut simplifier (ou négliger). En plus je te rappelle encore une fois que cette formule n'est pas du tout exacte.
Pour prendre ton exemple il faut comprendre la signification physique de ton expression.
Dire que la Divergence de E n'est pas nul signifie qu il y a des courants de polarisation locaux. Ces courants de polarisation sont mathématiquement décrit dans le gradient d'indice. S il y a localement un gradient d'indice, cad un gradient de constante diélectrique alors localement le milieu est anisotrope, cad qu il y a localement 3 directions propres pour D. Donc Si l'onde électromagnétique arrive sur l'inhomogénéité locale dans une direction de propagation quelconque alors la polarisation de l'onde va tourner et donc il est impossible d'appliquer l'approximation scalaire.
Maintenant on va être un plus précis.
Je peux décomposer la constante diélectrique locale en une une composante sphérique e et une composante tensorielle de la même façon que je peux considérer que un balon de rubby c'est un ballon de football déformé en ellipse (bien entendu je fais allusion a l’ellipsoïde des indices).
Donc j'écrit:
e = e° + eij
ou e° est un tenseur de rang zéro et eij est un tenseur symétrique de rang 2
Si e° >> eij alors on peut négliger l'anisotropie locale et traiter la diffusion dans l'approximation scalaire.
Dans ce cas la polarisation de l'onde suivra adiabatiquement la diffusion scalaire de l'onde, ce qui veut dire que l'on ne pourra pas prévoir la polarisation de l'onde a la sortie du système.
Donc on peut traiter les inhomogénéités dans l'approximation scalaire sous certaines conditions définies ci-dessus.
En plus je n'ai pas discuté la comparaison a faire entre le spectre des fluctuations d'indice en comparaison avec la longueur d'onde électromagnétique, ce qui est une complication supplémentaire. Bref il faut discuter tout le problème en termes de fonctions de corrélations et écrire une équation de propagation en régime stochastique. Vaste problème en effet
Il me reste donc a te remercier de ton insistance, car cela a parmi de résoudre le problème qui s'était opposé a moi. ce qui est triste est qu il y a 20 ans j'aurais fait ce raisonnement instantanément. Mon système neuronal décline. Heureusement que Futura est là pour limiter les dégâts.
