équation de la chaleur

[leon1789]

Bonjour

Imaginons une plaque idéale d'un matériaux quelconque, complètement homogène, etc. qui serait chauffée sur certains points (x_1,y_1) ,..., (x_n, y_n).
On suppose qu'il n'y a aucun échange de chaleur avec l'extérieur, etc. On suppose que la situation est en équilibre, le temps ne rentre pas en ligne de compte.

J'essaie de comprendre comment calculer la température T(x,y) de chaque point (x,y) de la plaque.

Je pense que le laplacien de T doit être nul (si j'ai bien compris, c'est l'équation de la chaleur dans les conditions que j'ai décrites), ie T est une fonction harmonique.
De plus, pour tout i, je connais les températures T(x_i, y_i) , ce sont les températures aux points spécifiés.

Le problème, c'est que cela est loin de suffire pour déterminer la fonction T.
Par exemple, si la plaque est carrée, chauffée à 0°C à ses quatre coins, alors il est clair toute la plaque est à la température 0°C : T(x,y)=0.
Mais il existe une infinité d'autres fonctions dont le laplacien est nul et telle que f(x_i, y_i)=0 pour quatre points.


Bref, comment connaître T(x,y) ?! Peut-être que mon problème est mal spécifié ?
Merci pour vos réponses.
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[ulyss]

Bonjour,

Il y a cela sur Wikipédia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Dirichlet

Peut-être cela répond-t-il au moins partiellement à votre question, d'ailleurs peut-être l'avez vous déjà lu.

[ulyss]

Après, votre question est plutôt une question de mathématiques (résolution d'une EDP de Laplace avec conditions aux limites particulières). Je vous conseille de la poser plutôt dans la partie "Mathématique du Supérieur" de ce forum... pour bénéficier des lumières d'un éventuel spécialiste en Equa Diff...

[leon1789]

En effet, j'avais déjà parcouru la page wiki sur le problème de Dirichlet.
Mais dans ce problème de Dirichlet, on connait les conditions limites sur la frontière du domaine.
En ce qui me concerne, c'est uniquement sur quelques points que je connais la température : c'est une donnée beaucoup plus mince que pour le problème de Dirichlet.

Du coté maths, la résolution de l'EDP de Laplace (laplacien de T(x,y) = zéro ) ne permet pas de connaitre LA solution : même avec mes quelques points particuliers T(x_i, y_i) (et non toute la frontière), il y a une infinité de solutions.

C'est pour cela que je viens en physique : que peut-on ajouter à l'EDP pour obtenir LA solution unique ? Car on sent bien qu'il n'y a qu'une possibilité, pas une infinité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Mais c'est peut-être mon problème qui n'est pas bien posé...

[ulyss]

Pour votre cas particulier:
Vous imposez la température en 4 points sur le contour du carré (les sommets). Mais quelle est la condition sur les côtés? Aucune en particulier? Ni une condition en terme de température, ni même une condition en terme de flux?
Car alors, il se pourrait qu'il y ait effectivement une infinité de solutions, même physiquement : à savoir toutes celles qui correspondent aux 4 température T = 0° imposées et à l'infinité de "profils" de flux de chaleur que l'on peut prendre comme conditions en chaque point sur les côtés...

Enfin ce n'est qu'une idée...

[ulyss]

Enfin pour le cas posé il faudrait quand même physiquement que le l'intégrale du "flux total entrant sur le contour" soit égal au "flux total sortant".
Un cas comme une barre de longueur L de conductivité lambda avec T(x=0) < T(x=L) avec un profil linéaire de Température admet bien des flux non nuls aux extrêmités mais est dans un état stationnaire... comme exemple simple de cas stationnaire avec flux non nuls.

[ulyss]

Oups...
Désolé, je relis et je vois que vous stipulez :"aucun échange de chaleur avec l'extérieur"
Enfin sauf aux point où l'on impose la température à priori... (enfin au moins pendant la phase où on a petit à petit l'établissement du profil stationnaire).
D'ailleurs cela est un peu contradictoire : vous dites "aucun échange de chaleur" et ensuite "qui serait chauffée sur certains points" mais bon on peut comprendre "température imposée sur certains points"

Après si vous stipulez "aucun échange de chaleur avec l'extérieur" cela signifie que l'on impose des conditions de flux nul en tout point du contour... et on se rapproche d'un problème de Dirichlet avec condition imposée sur tout le contour... mais en terme de "dérivée" ce qui nous donnerait une seule solution...même mathématiquement.
Enfin ce sont les conditions aux limites de "Von Neumann" que vous connaissez probablement

Bon je ne sais si cela est clair et rigoureux.

Autre chose: vous parlez d' "état à l'équilibre". En thermique la notion d'équilibre ne coïncide pas tout à fait avec la notion de "stationnarité" même si elle est en rapport... il y a l'équilibre global, l'equilibre thermodynamique local,...

Cordialement.

[leon1789]

Merci pour vos réponses. La dernière va me donner à réfléchir !