Induction : chute d'une petite spire dans un champ magnétique généré par une grande spire fixe

[invite1217ddd4]

Bonjour, je souhaiterais avoir un peu d'aide sur le sujet suivant :
Nous avons deux spires de courant sur un axe vertical (Oz), une grande spire fixe (z=0) alimentée par un courant I et une petite (en z=z0) qui est mobile selon cet axe.
On laisse chuter la petite spire au dessus de la grande et on s’aperçoit en bout de chute que la spire ralentit jusqu'à finir par léviter au dessus de la grande spire.
J'ai compris qu'une fem e(t) apparais en réponse à la variation du flux en fonction du temps, donc un courant induit i(t) parce que c'est un conducteur fermé, néanmoins, j'ai du mal a trouver trouver l'expression de la vitesse de chute de la spire, donc de la force de Laplace qui apparaît, et enfin celle la Fem induite.
Si quelqu'un parmi vous peut me mettre sur la bonne piste , ce serais super
merci a vous
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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
"Curieux" votre exercice.
La description est correcte, mais la petite spire ne restera pas en lévitation que si elle est supraconductrice.
Il faut être sur que l'énoncé dit bien que la spire est supraconductrice.

Il faut que vous commenciez par calculer le champ magnétique dans l'axe, produit par la spire fixe. Si la spire mobile est petite, on peut supposer que le champ est le même dans toute la petite spire.

Une fois que vous aurez calculez ça (et vérifié l'énoncé), dites nous ce que vous avez obtenu et on continuera.
Au revoir.

[invite1217ddd4]

Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide, alors il ne dit rien sur la nature supraconductrice de la petite spire mais l'exercice s'intitule "levitation magnetique", j'en ai déduis que probablement la petite spire lévite au dessus de la grande.
Je pense que c'est un problème simplifié qui vise a nous faire manipuler les formules même si en soit ca n'a pas de sens physique (je crois).

J'ai trouvé ceci comme expression du champ:

vous pensez que c'est correct ?

[invite1217ddd4]

j'ai fait une erreur physique DM(22).jpg

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
On va donc supposer que la petite spire est supraconductrice (ou que sa résistance est négligeable, ce qui n'est pas possible dans la réalité).
Vous n'avez même aps à vous occuper de la vitesse de descente ou du temps. Vous pouvez calculer (comme vous l'avez fait) le flux dans la petite bobine. La règle de Lenz nous dit qu'il va avoir un courant induit qui s'oppose à ces variations de flux. Donc, si la petite spire est supraconductrice, il va avoir un courant dans la qui va crée un flux d'exactement la même valeur et de signe opposé à celui que vous avez calculé (du à la grande spire).
C'est ici où le problème sérieux commence. On ne peut pas calculer le flux crée par un courant dans une spire. Si on prend un fil infiniment fin, le champ diverge près du fil. Il faut prendre un fil épais. Et de toute façon, si on essaie de calculer le champ à un endroit autre que le centre, on tombe sur une intégrale elliptique (non soluble analytiquement).

Si on pouvait connaître ce courant, pour calculer la force de Laplace, il faudrait calculer le champ radial crée par la grande spire près de l'axe.
On peut le faire en tenant compte que la divergence du champ est nulle et donc, comme le champ diminue quand Z augmente, cela veut dire que des lignes de champ "partent sur le côté" (radialement).
Mais sans la valeur du courant je ne vois pas ce que l'on peut faire.

Franchement je suis un peu perplexe avec ce problème. Soit la personne qui l'a pondu connait une astuce que je ne connais pas. Soit elle n'a pas vraiment compris le problème. Ce qui me fait pencher pour la deuxième hypothèse est l'histoire de la lévitation sans supraconduction.

Je suis désolé. Peut-être que quelqu'un d'autre peut nous fournir des idées. Moi je cale.
A+

[invite1217ddd4]

oui justement c'est ce que je me disais
si on part du principe que l'on néglige la variation de la composante Bz dans la direction radiale et que la spire est suffisamment petite cela revient a avoir des lignes de champs qui sont parallèles entre elles au seins de la petite spire ?
c'est gentil d'avoir pris la peine d'essayer de m'aider quand même, merci