Vect.pr de l'oérateur position

[invite454ca1e4]

Bonjour
Ma question est la suivante : L'espace des états ne serait-il pas un espace de distributions plutôt que de fonctions de carré sommables comme on le dit dans tous les cours de quantiques ?
Voici la justification de ma question. Ma deuxième question sera : cette justification est-elle débile ?
D'un côté, un des principes de la MQ dit que la probabilité de trouver un certain résultat de mesure lors de la mesure d'une certaine grandeur d'un système qui se trouve dans un certain état est le carré du module de la projection de cet état sur le vecteur propre de l'opérateur correspondant à cette grandeur, associé à la valeur propre égale à la valeur du résultat de la mesure (je suppose les valeurs propres non dégénérées).
D'un autre côté on dit que la densité de probabilité de trouver en x un système dans l'état f est la fonction de x : abs(f(x))².
Pour justifier cette affirmation à l'aide du principe rappelé avant, voici comment on peut faire, me semble-t-il :
D'abord il faudrait préciser dans l'énoncé du principe que lorsque l'ensemble des valeur propres est continu, il s'agit de densité de probabilité et non de probabilité.
Ensuite il faut chercher pour un x donné, la fonction propre de l'opérateur position associé à la valeur propre x. Il me semble que la fonction de dirac qui vaut 0 partout sauf en x et que je noterai d_x convient. En effet on a bien pour tout y : xd_x(y)=yd_x(y), ce qui signifie que d_x est fonction propre de l'opérateur position associée à la valeur propre x.
De plus si on prend le carré du module de la projection de f sur d_x, ce qui conduit à calculer l'intégrale du produit de d_x et du conjugué de f on obtient précisemment abs(f(x))².
La distribution d_x semble donc bien convenir comme fonction d'état.
J'aimerais bien avoir quelques avis sur la question parce que je n'ai jamais trouvé ça nulle part.
Merci
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[mariposa]

Bonjour
Ma question est la suivante : L'espace des états ne serait-il pas un espace de distributions plutôt que de fonctions de carré sommables comme on le dit dans tous les cours de quantiques ?
Voici la justification de ma question. Ma deuxième question sera : cette justification est-elle débile ?
D'un côté, un des principes de la MQ dit que la probabilité de trouver un certain résultat de mesure lors de la mesure d'une certaine grandeur d'un système qui se trouve dans un certain état est le carré du module de la projection de cet état sur le vecteur propre de l'opérateur correspondant à cette grandeur, associé à la valeur propre égale à la valeur du résultat de la mesure (je suppose les valeurs propres non dégénérées).
D'un autre côté on dit que la densité de probabilité de trouver en x un système dans l'état f est la fonction de x : abs(f(x))².
Pour justifier cette affirmation à l'aide du principe rappelé avant, voici comment on peut faire, me semble-t-il :
D'abord il faudrait préciser dans l'énoncé du principe que lorsque l'ensemble des valeur propres est continu, il s'agit de densité de probabilité et non de probabilité.
Ensuite il faut chercher pour un x donné, la fonction propre de l'opérateur position associé à la valeur propre x. Il me semble que la fonction de dirac qui vaut 0 partout sauf en x et que je noterai d_x convient. En effet on a bien pour tout y : xd_x(y)=yd_x(y), ce qui signifie que d_x est fonction propre de l'opérateur position associée à la valeur propre x.
De plus si on prend le carré du module de la projection de f sur d_x, ce qui conduit à calculer l'intégrale du produit de d_x et du conjugué de f on obtient précisemment abs(f(x))².
La distribution d_x semble donc bien convenir comme fonction d'état.
J'aimerais bien avoir quelques avis sur la question parce que je n'ai jamais trouvé ça nulle part.
Merci

Bonjour,

Sur le fond il n y a rien a redire, tout est correcte du point de vue du physicien. Par contre je ne suis pas sur que les mathématiciens seraient d'accord sur cette présentation.

Sinon dans le langage de Dirac donc de physicien il faut pour dire la même chose utiliser les kets et les bras.

Dans cette notation a l'opérateur position X correspond les élements propres de cet opérateur:

X |x> = x |x>

ou |x> est le vecteur propre ( la distribution de Dirac) et x la valeur propre associée.

Si |F> est l'etat du systéme |<x|F>|2 est la densité de probabilité.

C,est exatement ce que tu as expliqué mais avec le langage conventionnel de Dirac.

[Amanuensis]

Ma question est la suivante : L'espace des états ne serait-il pas un espace de distributions plutôt que de fonctions de carré sommables comme on le dit dans tous les cours de quantiques ?

Non, le formalisme des distributions et celui des espaces de Hilbert sont distincts.

Voici la justification de ma question. Ma deuxième question sera : cette justification est-elle débile ?

Non, elle n'est pas débile, loin de là ; c'est une réflexion justifiée sur une difficulté réelle. Le point soulevé est pertinent. Il se trouve que la résolution est plus subtile que passer à un espace de distributions.

Le papier cité là : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4776795 est pertinent au sujet, mais n'est pas élémentaire (et est en anglais... pas connaissance d'une version française, alors que l'auteur l'est). Mais je doute qu'il y ait des présentations sur le sujet plus élémentaires sans être simplistes au point d'être fausse.

[invite454ca1e4]

Mais alors, quels sont les états propres de l'opérateur position. C'est un opérateur de base, on doit pouvoir caractériser simplement ses états propres !

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Mais alors, quels sont les états propres de l'opérateur position. C'est un opérateur de base, on doit pouvoir caractériser simplement ses états propres !

Bonjour,

J'ai déjà répondu et tu as répondu a la question: C'est:


X |x> = x |x>


oû le ket |x> représente un vecteur au point x

Ce ket |x> qui gène les mathématiciens, mais ce n'est pas la cas des physiciens théoriciens, même les plus mathématiciens d'entre eux (comme Itzykson).

Ce ket |x> qui est assimilable a une distribution n'appartient pas à l'espace de Hilbert et pourtant cela ne pose pas de problème et voici pourquoi:

En effet on pourrait remplacer ce ket |x> par la notation |x,dx> qui représente une fonction (une vraie fonction) centrée au voisinage du point x (que l'on peut choisir indéfiniment dérivable pour éviter des emmerdements). Dans son livre Dirac donne des exemples de telles fonctions. Il suffit que la propriété de cette fonction est pour integrale 1 et là plus aucun problème. En effet en passant a la limite ou la fonction est de plus en plus centrée autour du point x a intégrale constante elle va tendre vers une fonction généralisée que l'on appelle distribution de Dirac (dans cette limite on sort de l'espace de Hilbert).

C'est pourquoi on écrit |x> avec la propriété importante: <x'|x> = d (x-x') qui traduit que les "fonctions" sont orthogonales, ce qui est fondamentale pour un opérateur hermitique (ici réel).

Une autre manière de voir est de considérer toutes les fonctions comme approximées par morceaux et que l'on développe celles-ci sur une base de fonctions rectangles. Ce qui permet de développer une fonction sur une base de fonctions rectangles. par contre il faut s'interdire de de faire une dérivée car là il y aura des problèmes.

Enfin quand on fait une mesure de position (typiquement en mettant un trou) on a une extension spatiale et la probabilité de "passer" par ce trou est:

|<x|F>|2 .dx avec intégration sur l'intervalle. Avec la remarque précédente j'aurais pu écrire:

|<x,dx|F>|2 avec dx a l'intérieur du ket.

On remarque que l'on utilise le langage de Dirac en développant une fonction dans une base de kets |x> et en effectuant des intégrations mais surtout pas des dérivations (sources d'ennuis sans précautions).

Le langage de Dirac de la MQ est l'analogue de la techniques des indices pour les tenseurs. Cela permet une écriture efficace et légère. Ce qui n’apparaît pas dans ce ce que j'ai écrit ci-dessus ce sont le rôle des relations de fermeture qui pour la forme continue donne:

|x>.<x|. dx avec intégration sur l'intervalle. Ce genre d'expression est une efficacité redoutable. Tout ceux qui pratiquent la MQ s'en rendre rapidement compte.

[invite454ca1e4]

rien compris

[Amanuensis]

Mais alors, quels sont les états propres de l'opérateur position. C'est un opérateur de base, on doit pouvoir caractériser simplement ses états propres !

C'est à cause de la dimension infinie. En dimension finie les notions de valeur propre et vecteurs propres "vont ensemble". En dimension infinie c'est plus compliqué: les valeurs propres sont caractérisées presque "normalement", mais on peut avoir des valeurs propres sans vecteurs propres, c'est à dire sans éléments de l'espace qui soient vecteurs propres pour la valeur propre (la résolution de l'équation donne le vecteur nul, car c'est une fonction définie "à un espace de mesure nulle près"). Mais il y a quelque chose qui ressemble à une "limite de vecteurs", des "vecteurs propres généralisés", pris dans un espace plus étendu ("triplet de Gelfand", cf. page 16 du document cité). Dans le cas en question c'est lié à la notion de distribution (sans amener à l'espace des distributions). Mais ce ne sont pas des vecteurs, et pas vraiment des états.

Passer à cet espace "plus grand" permet de récupérer les vecteurs propres, mais au prix de la perte de propriétés d'un espace de Hilbert. L'approche utilisée est de garder l'espace de Hilbert et de "l'équiper" ('rigged or equipped Hilbert space' dans le texte) de deux autres espaces, expression 2.30 dans le doc, (d'où le terme de triplet), l'espace le plus grand contenant les "vecteurs propres généralisés".

Votre idée d'origine est sur la bonne piste, 1) l'introduction des distributions est nécessaire pour les vecteurs propres, mais 2) l'espace des états reste l'espace de Hilbert, 3) la salade mathématique rigoureuse n'est pas triviale.

[invite6754323456711]

Le papier cité là : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4776795 est pertinent au sujet, mais n'est pas élémentaire (et est en anglais... pas connaissance d'une version française, alors que l'auteur l'est). Mais je doute qu'il y ait des présentations sur le sujet plus élémentaires sans être simplistes au point d'être fausse.

En français : http://arxiv.org/pdf/quant-ph/9907070.pdf

Patrick

[Amanuensis]

Thanks. Page 16 -> page 17, et équation 2.30 -> équation 27.

[invite454ca1e4]

Merci pour la réponse et pour le lien. Le problème semble me dépasser quelque peu, mais je vais néanmoins me plonger dans ce texte.
Merci à tous