Mécanique quantique

[invite4c80defd]

Bonjour à tous,

J'ai vu en cours aujourd'hui la notion de fonction d'onde, de gaussienne...
J'ai malheureusement du mal avec ce chapitre, et j'ai un exo sur lequel je bloque à plusieurs questions.
Les questions 1 et 2 ont été faites en cours mais assez rapidement..
Je dois faire la 3.

Voici l'énoncé:
méca.PNG
méca2.PNG

Désolé pour la qualité des documents. les formules sont dont la partie que j'ai écrite à la main.
méca 003.jpg
méca4.PNG

Pour la a) : j'ai identifié avec les deux formules dont je disposais, mais est-ce la bonne expression ?
Pour la b) je bloque pour le module au carré d'une exponentielle, que me conseilleriez-vous ?
Pour la c): j'ai repris les deux expressions des questions précendentes, mais comment les comparer sous leur forme actuelle ?
Enfin pour la d): je n'ai aucune idée de la technique à employer pour répondre à cette question...

Je vous remercie d'avance.

Bonne journée
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[invite4c80defd]

j'ai essayé de modifier l'expression de cette exponentielle en utilisant le spropriéés des nombres complexes, mais sans succès...
que faudrait-il faire pour arriver au bout du calcul ?

merci d'avance

[invitee3131840]

Bonsoir,

Pour la a) : j'ai identifié avec les deux formules dont je disposais, mais est-ce la bonne expression ?

A priori ça a l'air bon, il te manque juste l'intégrale. On a

Pour la b) je bloque pour le module au carré d'une exponentielle, que me conseilleriez-vous ?

Je pense que tu sais qu'un complexe peut toujours s'écrire sous forme polaire où est son module. Donc quand tu dois calculer un truc du type tu peux être sûr que ça fait puisque cette écriture sous entend que si tu n'en es pas convaincu utilise la formule d'Euler.
Ensuite pour calculer le module d'une exponentielle complexe utilise le fait que donc que qui se simplifie en puisque l'exponentielle réelle est strictement positive et que d'après la formule d'Euler .
Finalement tu dois juste réécrire l'argument de l'exponentielle complexe sous la forme cartésienne d'un nombre complexe (partie entière plus fois partie imaginaire)

[invite4c80defd]

Pour l'intégrale: j'ai rajouté l'intégrale de -infini à + infini de exp(...) , le terme avec du a et du 2pi etant constant. (je crois que c'est bon ?)
Petite question: pour l'intégrale,je dois intégrer par rapport à k ou k' (j'ai un doute, j'étais parti sur k' et vous avez intégré par rapport à k, donc je me la question).

Pour la densité de proba:
J'ai continué à partir de la feuille en PJ . Je pense que (d'apres vos indications) les deux simplifications des modules des exponentiellesque j'avais fait sont corrects.
Je vais donc continuer d'après ce que vous m'avez dit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57f37970]

Bonjour,
Pour la suite, tu devrais expliciter la fonction omega(k). Pour la largeur, elle est définie en question 2.c), sauf que maintenant la gaussienne n'est plus centrée en x=0.

[invite4c80defd]

Bonjour,
J'ai essayé d'avancer l'exo: voici les documents et les problèmes que je rencontre encore:
méca2.1.PNG
méca2.PNG
je me pose (comme on le voit dans les PJ) des questions sur:
-la justesse des calculs
-la dépendance en temps de la densité de proba (=1/t ?)
-le probleme du signe moins (cf PJ)
-l'interprétation du delta x (et son expression)
- le lien avec Heseinberg (on en a pas parlé en cours, le prof a juste donné la formule à la fin).

Pour les vitesses (phase et groupe)
on sait que w=k*c (electromagétisme),
je suppose que j'ai ici w=k'*c,
et du coup: vitesse phase= k'/k si le dénominateur est k ou =c si le dénominateur est k'
vitesse groupe= ? si le dénominateur est k ou =c si si le dénominateur est k'

qu'en pensez-vous ?

Je vous remercie de votre aide

[invite57f37970]

Il manque le signe - dans ton équation de départ.
Pour la largeur et la dépendance temporelle, ton paquet d'ondes gaussien ressemble à ça :
https://en.wikipedia.org/wiki/File:W...t_momentum.gif
Il n'y avait pas besoin vraiment de développer le carré dans la gaussienne puisque son max n'est pas en x=0 et la généralisation de la formule de 2.c) est .
Pour la relation de dispersion, on n'a pas une onde électromagnétique ici mais une onde d'amplitude de probabilité d'un électron non relativiste. Rappelle-toi ce que représentent w et k pour une fonction d'onde et comment ils sont reliés.
Quand on écrit w(k)/k ou dw(k)/dk c'est le même k en haut et en bas. Ensuite comme le paquet d'ondes est une superposition d'ondes planes de k différents, on peut utiliser le fait que le paquet d'ondes est piqué en k=k0.

[invite4c80defd]

Merci pour le signe -, je ne l'avais pas vu dans l'expression de départ...
Pour la dépendance en temps de la densité de proba; je dirais qu'elle augmente quand le temps augmente (quand on regarde l'animation), mais quand j'observe l'expression, je trouve le contraire (la densité serait reliée en 1/t pour moi...) , étrange , non ?

j'ai comme relation de dispersion: w=(h(barre)*k^2)/2m
Si c'est le meme k en haut et en bas, je vais travailler qu'avec du k' (meme dans la relation précédente), cela ne devrait pas poser de probleme ?

Pour les vitesses de (d'apres la relation dessus)
-phase: =(h(barre)*k)/2m
-groupe =(h(barre)*k)/m
et donc vitesse de phase = moitié de vitesse de groupe ?

Merci pour votre aide

[invite4c80defd]

De plus, je ne comprend pas voter dernière phrase:Ensuite comme le paquet d'ondes est une superposition d'ondes planes de k différents, on peut utiliser le fait que le paquet d'ondes est piqué en k=k0.: que voulez dire par "piqué" ?

je vous remercie d'avance

[invite57f37970]

Pour la dépendance en temps de la densité de proba; je dirais qu'elle augmente quand le temps augmente (quand on regarde l'animation)

Pourquoi ?

Pour piqué, ça veut dire que dans la somme d'ondes planes de k différents qui constitue le paquet d'ondes, on a surtout des k autour de k0.

[invite4c80defd]

et bien, je me trompe surement, mais j'avais l'impression que l'aire de la gaussienne augmentait quand elle "s'affaissait" .
Or, si je regarde la formule de la densité de probabilité, je dirais que celle varie en fonction de l'inverse d'un temps (1/t), car si je considère que dans l'exponentielle, on a du t^2 en haut et en bas, ce terme serait (je dis bien serait) adimensionnel du point de vue du temps. il ne resterait alors que la racine de 1/t^2, et donc, 1/t...
je n'arrive pas à saisir pourquoi je me contredis. Peut-etre que j’interprète mal l'animation... Quoi qu'il en soit, je ne parviens pas à discuter le dépendance en temps de cette densité de probabilité...

[invite57f37970]

Que représente physiquement l'aire sous la gaussienne |psi(x,t)|² fonction de x à t fixé ?

[invite4c80defd]

je m'étais mis en tête que c'était une probabilité de trouver le corpuscule à un endroit précis, mais bon, ce n'était qu'une idée....

[invite57f37970]

Oui mais l'aire totale sous la courbe ?

[invite57f37970]

Que doit valoir quel que soit t, ce qui est l'aire totale sous la courbe ?

[invite4c80defd]

peut etre la de probabilité de trouver un corps dans un point donné x en un temps donné t.
par ailleurs j'ai trouvé dans un cours que cela représentait la répartition en masse et en charge de l'électron (si on étudie un electron)

merci

[invite57f37970]

L'aire totale ne dépend pas de x, comment pourrait-elle représenter la probabilité de trouver l'électron près de x ? La probabilité dP de trouver l'électron entre x et x+dx est mais son intégrale sur tout l'espace est la probabilité totale de trouver l'électron donc forcément 1, quel que soit t, c'est pour ça que la fonction d'onde est normalisée à 1 et le reste au cours du temps, donc l'aire totale ne varie pas. Par contre la probabilité de présence s'étale au cours du temps, ce qui fait que l'électron est de moins en moins localisé, et que la probabilité de trouver l'électron dans une région dx de taille fixée autour du maximum de la gaussienne diminue au cours du temps.

[invite4c80defd]

je ne vous suis plus: j'ai bien un x dans le module au carré de Psi(x,t), d'ailleurs, Psi prend bien pour argument x et t non ? .
Si j'ai bien compris votre explication: l'aire de la courbe de l'animation ne varie pas car on intègre de -inf à +infini ? donc, le proba de trouver l'electron sera toujours 1 car on est sur de le trouver sur R tout entier ? .
Par contre, suivant où on se place sous la gaussienne la proba diminue si on s'éloigne du point sur lequel elle est centré ?

Merci

[invite57f37970]

je ne vous suis plus: j'ai bien un x dans le module au carré de Psi(x,t), d'ailleurs, Psi prend bien pour argument x et t non ? .

La probabilité de trouver l'électron près du point x (entre x et x+dx) dépend de x et vaut |Psi(x,t)|² dx, c'est en gros la définition de la fonction d'onde. La probabilité TOTALE de trouver l'électron sur R tout entier est l'intégrale sur R de |Psi(x,t)^2|dx et cette intégrale sur R ne dépend pas de x, ne PEUT même pas dépendre de x, et elle vaut 1. De manière générale mathématiquement une intégrale ne peut évidemment pas dépendre de la variable d'intégration x, qui est une variable muette, mais seulement de t. Dans le cas de la fonction d'onde f(x,t)=|Psi(x,t)|² il se trouve que l'intégrale I(t) ne dépend même pas de t à cause de la conservation de la probabilité totale qui doit rester égale à 1 quel que soit t.

Si j'ai bien compris votre explication: l'aire de la courbe de l'animation ne varie pas car on intègre de -inf à +infini ? donc, le proba de trouver l'electron sera toujours 1 car on est sur de le trouver sur R tout entier ? .
Par contre, suivant où on se place sous la gaussienne la proba diminue si on s'éloigne du point sur lequel elle est centré ?

Merci

Oui, à t fixé la proba de trouver l'électron près de x diminue quand x s'éloigne du maximum de la gaussienne.
Par ailleurs, la probabilité de trouver l'électron dans un intervalle dx de longueur fixée autour du maximum de la gaussienne vaut et diminue avec le temps puisque la hauteur de la gaussienne diminue avec le temps.

[invite4c80defd]

ok merci , c'est bien plus clair à présent !
Pour les vitesses de phase et de groupe, je pense que le résultat trouvé est correct (?).
DErnière question: que nous apprend la relation d'Heseinberg , car la largeur du paquet d'ondes augmente, donc le terme delta(x)*delta(Px) aussi je suppose. Mais je ne vois pas où la question veut nous emmener...

Merci pour votre aide