Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements
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Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements



  1. #1
    inviteb1a00617

    Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements


    ------

    Bonjour à tous.
    Voici mon problème:
    une bille tourne le long d'un cercle de rayon R (par exemple dans un rail circulaire).
    On lui donne une vitesse angulaire initiale theta0. J'aimerais obtenir l'angle theta(t) (angle entre l'axe centre du cercle-bille et l'axe des abscisses) en fonction du temps t sachant qu'il y a des frottements.
    Le but, c'est de dessiner dans un logiciel une roulette de casino avec une bille qui tourne dedans, en tenant compte des frottements.
    Merci.

    -----

  2. #2
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour et bienveu au forum.
    Les frottements d'une bille qui roule sont des frottements de roulement (inconnus pour la version française).
    Ne pas confondre avec les frottements "ordinaires" (de glissement).
    Mais je vous souhaite bon courage pour trouver le coefficient de frottement de la bille de la roulette (en ivoire ou en plastique ?) contre le rail (bois ? acier ? plastique ?).
    Une fois calculée la force de frottement, l'énergie cinétique (de translation et de rotation) diminue du fait du travail de la force de frottement. Ce qui permet de calculer la vitesse de la bille et sa position.
    Au revoir.

  3. #3
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour et merci pour ta réponse.
    Ma modélisation n'a pas à être très proche de la réalité.
    Je pensais simplement supposer que la force de frottement est proportionnelle à la vitesse (mais ça ne marche pas dans le cas d'une bille?). Pour le coefficient, je prendrais ce qui m'arrange pour l'animation à l'écran.
    Ce qui m'intéresse, c'est le reste: les détails pour obtenir theta(t). J'aimerais avoir le raisonnement.
    Merci.

  4. #4
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Re.
    Je ne vois pas qui sont thêta0 ni thêta.
    Pouvez-vous faire un petit schéma ?
    A+

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Je me suis trompé: je voulais dire thetaprime0 (vitesse angulaire initiale) au lieu de theta0.
    Voici le schéma:


    Nom : schema.jpg
Affichages : 775
Taille : 55,9 Ko

    Merci bien de m'expliquer en détail comment obtenir theta(t).

  7. #6
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Re.
    Aux vitesses des billes de roulette, la force de freinage aérodynamique est négligeable.
    Donc, on peut considérer qu'elle est constante, ce qui donne une accélération angulaire 'alpha' constante et négative.
    Vous n'avez qu'à essayer pour trouver celle qui vous donne un effet visuel acceptable.

    Les formules sont les mêmes que pour le mouvement uniformément accéléré, en changeant les distances par des angles, les vitesses par des vitesses angulaires et les accélérations par des accélérations angulaires.



    A+
    Dernière modification par LPFR ; 10/04/2014 à 19h42.

  8. #7
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Merci pour votre réponse. Ça devrait convenir.

  9. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Oui, mais dans ton modèle je crois que ta « force » de resistance est prop à la vitesse.
    Donc le alpha n’est pas constant.
    Je raisonnerai donc plutôt en vitesse avec

    et
    avec
    soit


    À intégrer pour avoir
    Dernière modification par ansset ; 11/04/2014 à 09h58.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour Anset.
    Qu'est qui vous fait penser qu'aux vitesses des billes de roulette ce soit le frottement aérodynamique qui soit prépondérant ?
    Au revoir.

  11. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    ce n'est pas moi,
    c'est ce que j'ai compris de SON modèle tel qu'il l'a présenté dans ses messages.
    il ne parle pas d'aérodynamisme mais de force ( frein ) prop à la vitesse
    mais peut être ai je mal saisi !
    donc je n'ai pas d'interprétation personnelle, je traduit "bêtement".
    Dernière modification par ansset ; 11/04/2014 à 10h13.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Re.
    Son modèle est mauvais.
    Comme le lui ai dit. Aux vitesses de la bille, ce sont des frottements de roulement qui sont prépondérants. Et c'est la solution que je lui ai proposé.
    A+

  13. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    pas de soucis,
    lu un peu trop vite l'intro de ton mess #6, ( et forum physique ici, pas math ! )
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Rebonjour.
    Est-ce que vous pouvez valider mon raisonnement pour être sûr que c'est bien ça:
    Dans l'article
    http://en.wikipedia.org/wiki/Rolling_resistance
    ils disent que la force de frottement de roulement est F=Crr N où Crr est une constante et N est la force normale à la surface.
    Je suppose qu'on peut considérer que N est constante, donc la force de frottement est constante (en négligeant la force de frottement avec l'air).
    Et là, j'aimerais avoir des précisions pour justifier que la dérivée seconde de theta est constante (on utilise la formule m a=somme des forces? dans quel repère?)
    Merci.

  15. #14
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour.
    On travaille toujours dans le repère de la table de la roulette que l'on considère comme inertiel.

    Mais je viens de m'apercevoir que comme la force de frottement roulant dépend de N (la normale) et que cette normale est surtout donnée par la force centripète. Et que cette force centripète est proportionnelle à .
    Donc, contrairement à ce que j'ai dit, l'accélération angulaire n'est pas constante mais dépend du carré de la vitesse.
    Mea culpa.
    Le calcul de thêta est un peu plus compliqué. Un peu comme celui de Ansset au post #8.
    J'obtiens:

    Avec les 'b' et 'r' utilisés dans la page de Wikipedia.

    Mais je ne suis pas sur de ne m'être pas trompé dans les calculs. Il serait bien si Ansset pouvait les faire indépendamment.
    Au revoir.

  16. #15
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Si la force de frottement est constante ( comme le précise LPFR ), alors il suffit de se réferrer à son post 6 pour voir l’équation de theta.
    Polynôme du second degré, avec donc une décélération constante égale à 2*alpha.

    Si la force de frottement est constante ( comme le précise LPFR ), alors il suffit de se reprendre son post 6 pour voir l’équation de théta.
    Polynôme du second degré, avec donc une accélération (dérivée seconde ) constante égale à 2*alpha. ( alpha < 0 )

    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #16
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    correction :
    nos message se sont croisés.
    Effectivement, pour une vitesse de bille de roulette la force centripète n’est pas négligeable, et le N ( force de contact a revètement ) ne peut se résumer au poids.
    si on veut modéliser, (je l'écris en vitesse , pas en angle )

    l'accélération vaut

    et

    ( les composantes sont perp ) soit

    on abouti à une équation diff non triviale !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #17
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    en début de mouvement, on peut certainement négliger g, mais au fur et à mesure du ralentissement, la composante verticale prend de l’importance jusqu’à devenir principale à la fin !!
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #18
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour Ansset.
    Vous êtes bien plus courageux que moi. Car je n'ai pas tenu compte du poids dans la force sur le guide.
    J'essaie de comparer à mon calcul avec g = 0, et je suis gêné par le t² de la formule de l'accélération. Je ne vois pas d’où il sort. Serait-il une erreur de copier-coller ?
    Cordialement,

  20. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    oui, oui, une erreur ce CC, et réécrivant en Latex ( le t² est oublier )
    désolé
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #20
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    en début de mouvement, on peut certainement négliger g, mais au fur et à mesure du ralentissement, la composante verticale prend de l’importance jusqu’à devenir principale à la fin !!
    Re.
    Quand la vitesse est trop petite, la bille tombe du rail sur la partie tournante de la roulette (le cylindre, je crois).
    A+

  22. #21
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Annset, le N(t)/m=sqrt(g^2+v^4/R^2), tu l'as trouvé où , car je ne l'ai pas vu dans la page wikipedia?
    Sinon, à part les forces de frottement, il y a d'autres forces qui s'appliquent, non, puisque la bille roule sur un rail circulaire? Il faut les prendre en compte?

  23. #22
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Citation Envoyé par cal34 Voir le message
    Annset, le N(t)/m=sqrt(g^2+v^4/R^2), tu l'as trouvé où , car je ne l'ai pas vu dans la page wikipedia?
    Sinon, à part les forces de frottement, il y a d'autres forces qui s'appliquent, non, puisque la bille roule sur un rail circulaire? Il faut les prendre en compte?
    Re.
    Ansset a fait un dessin (d'ou moins dans sa tête) avec la force centrifuge et le poids et a utilisé le théorème de Pythagore pour trouver la normale.

    Et non les seules forces qui accélèrent la bille sont des forces dirigées dans le sens d'avancement de la bille.
    A+

  24. #23
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Re.
    Quand on regarde l'intégrale de la formule avec 'g':
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+dx%2Fsqrt%281+%2B+a*x^4 %29
    on est vite convaincu qu'on peut (doit) négliger 'g'
    A+

  25. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Re.
    Quand la vitesse est trop petite, la bille tombe du rail sur la partie tournante de la roulette (le cylindre, je crois).
    A+
    Oui, enfin tout dépend du rail !
    Mais on peut effectivement négliger g pour toute une grande partie de mouvement.
    Ex : R=1 ( grande roulette )
    V=2T/s ou 3T/s au début par exemple
    V²/R env 40 ou 100 et g 10.
    De toute façon on peut le faire avec g=0….pour voir.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #25
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Donc finalement, je prends

    et je remplace par et par ?
    S'il n'y a pas de solution simple pour cette équa diff, je peux essayer une résolution numérique (Euler, Runge-Kutta..) puisque c'est fait sur ordinateur.
    Par contre, vous pourriez me faire une figure pour expliquer le
    ? (je sais, là j'abuse)

  27. #26
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    j'obtient simplement dans ce cas.
    V(t)=1/(1/V0+(k/R)t)
    ca v'=-(k/R)v²
    Dernière modification par ansset ; 12/04/2014 à 10h03.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #27
    LPFR

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Citation Envoyé par cal34 Voir le message
    ... (je sais, là j'abuse)
    Re.
    Oui. Vous abusez.
    A+

  29. #28
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Heu, un dessin non,
    Même pas de logiciel pour ça !
    Pythagore t’a bien expliqué LPFR
    g vertical et V²/R ou Rw² comme tu veux à l’horizontal ( centripète )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #29
    inviteb1a00617

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Je reviens avec mes questions:
    dans l'article wikipedia, ils disent:
    où "N is the normal force (equal to W, not R, as shown in figure 1)."
    et avant il est écrit:
    "W is the load on the wheel in lbs."
    Donc pourquoi avoir compté la force centripète dans N?

  31. #30
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Bille en mouvement dans un rail circulaire avec frottements

    Bonjour,
    Dans quel article de wiki ?
    S’agit-il d’un objet en mouvement rotatif ou d’objet sur une trajectoire rectiligne ?
    Je suppose sinon que le r est le rayon de la bille ou boule .
    Dernière modification par ansset ; 12/04/2014 à 16h40.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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