Bonjour,
je voudrai poser quelques questions sur l'invariance de jauge en électrodynamique quantique, car quelques concepts échappent à ma compréhension.
Pour lancer la machine, je voudrai que quelqu'un éclaire ma lanterne sur la différence covariant de jauge/covariant de Lorentz.
Est-ce que ces deux concepts sont différents où sont ils au contraire inextricablement liés d'une manière que je ne m'explique guère, ou en dernier ressort sont-ils strictement équivalents ?
Je fais peut-être erreur, mais on parle plutôt d'invariance de Lorentz, qui correspond à une invariance de jauge globale (du groupe SO(3,1)).
Alors que l'invariance de jauge de l'électromagnétisme est une invariance de jauge locale (du groupe U(1)).
EDIT croisement avec bongo avec un message tout à fait complémentaire du miens.
P.S. j'ai déjà entendu utiliser "invariance et covariance" de manière synonyme dans tous les cas. D'un point de vue vocabulaire, je ne suis pas sûr que ce soit strictement correct mais l'usage est assez flou.
Salut,
Ils sont différents. Mais il y a un lien, que je décrit ci-dessous.Envoyé par davidk_112
Bon, tout d'abord, ce problème n'est pas propre à l'électrodynamique quantique. C'est vrai aussi en électrodynamique classique. Même s'il y a quelques complications en électrodynamique quantique.
Pour l'invariance de jauge. Les grandeurs physiques sont les champs électriques et magnétiques. Ce sont les grandeurs mesurables (ou le tenseur électromagnétique). On peut exprimer ces grandeurs en fonction des potentiels (vecteur et scalaire), ce qui permet d'automatiquement satisfaire deux des équations de Maxwell (les équations sans sources). Mais on constante une redondance : certaines modifications du potentiel (dite de jauge, pour des raisons historiques) donnent les mêmes champs électriques et magnétiques. La physique doit donc être invariante sous de tels changements de jauge, ce que l'on constate bien avec les équations de Maxwell.
Habituellement, on fixe l'arbitraire de jauge en "choisissant une jauge". Par exemple, la jauge de Coulomb, la jauge axiale ou la jauge de Lorentz (et d'autres encore).
Les équations de Maxwell étant invariantes sous les transformations de Lorentz, on dit aussi que la théorie est invariante/covariante relativiste/de Lorentz. Ca revient à dire que :
- ces équations sont relativistes
- la physique est indépendante du choix arbitraire du repère et des coordonnées
Maintenant, en mécanique quantique. On peut parfaitement quantifier en jauge de Coulomb. C'est même beaucoup plus simple. Mais on est vite limité car cette jauge a le désavantage d'être non invariante de Lorentz. Elle nécessite un repère privilégié. On préfère donc souvent utiliser la jauge de Lorentz. Mais là, une grosse difficulté se pose : on ne peut imposer la jauge avant la quantification, sinon le potentiel scalaire n'a pas de variable conjuguée. Et il devient impossible d'imposer les relations de commutation. On n'a pas ce problème avec la jauge de Coulomb (on peut résoudre partiellement les équations et continuer uniquement avec les champs transverses.... ce qui en effet nécessite un référentiel privilégié). Mais avec la jauge de Lorentz tintin. Il y a plusieurs solutions. Par exemple, modifier les équations, travailler avec une métrique indéfinie et imposer les contraintes de jauge au niveau quantique (le produit scalaire n'est pas défini). On en est quitte à vérifier que les grandeurs physiques ne font pas intervenir les composantes scalaires et longitudinales et que les produits scalaires physiques sont positifs.
Bonne continuation dans ce domaine difficile mais passionnant
Dernière modification par Deedee81 ; 22/04/2014 à 15h48.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
La covariance de jauge et la covariance de Lorentz n'ont rien avoir, ce sont deux choses indépendantes.
Prenons la loi de Newton
F = m.dv/dt
C'est une équation covariante parceque dans un changement de base orthogonale le composantes de v se transforment de la même façon (cad la même matrice de transformation) que les composantes de F.
Cest pourquoi on peut écrire cette équation indépendamment d'une base.
Soit le produit scalaire de 2 vecteurs V et W:
A(V,W) = Vx.Wx + ...
Cette équation est également covariante car dans un changement de base on a une égalité entre 2 scalaires. dans ce cas on dit que l'équation est invariante.
En bref on dit qu une équation est covariante lorque les 2 membres d'une égalité se transforment de la même façon dans un changement de base.
Encore un exemple soit un tenseur T(p,q) alors une équation covariante s'écrra comme des égalités de tenseurs de la forme T(p,q)
Exemple:
Dans un milieu anisotrope on a la relation D = e.E ou e est le tenseur dielectrique qui un tenseur symétrique de type T (1,1)
Comme D est un vecteur [un tenseur T(0,1)] alors le deuxiéme menbre est également in tenseur du même type qui est la contraction entre le ten,seur E et le tenseur e.
Le champ magnétique.
Maintenant soit le champ magnétique B qui est un vecteur axial (cad untenseur antisymétrique de rang2) on a
B = rot A on deuxieme membre on a bien un produit vectoriel entre l'opérateur gradient (c'est un vecteur ) et le vecteur potentiel A. Par définition le produit vectoriel donne un vecteur axial.
Maintenant on sait que que l'on peut ajouter le gradient d'une fonction au potentiel vecteur car:
B= Rot [A + grad F ] = rot A
Autrement dit B est invariant par l'addition du gradient d'une fonction. dans ce cas on dit que B est invariant par transformation de jauge.
En conclusion
L'équation B = rot A est covariante vis a vis des changements de base orthogonaux en conservant la caractère tensoriel de B
L'équation B est également covariante (en fait invariante) vis a vis des transformations de jauge.
Une histoire de groupe.
On note dans les 2 cas que les transformations impliquent un groupe de transformations.
Dans le premier cas il s'agir de O(3)
Dans le deuxième cas il s'agit du groupe additif des nombres réels associés a chaque point r (c'est pourquoi on parlera de transformations de jauge locale)
Electrodynamique.
L'électrodynamique est une équation qui est covariante de Lorentz (on dit aussi invariante de forme) caractérisé par le groupe de Lorentz O(1,3) ET invariante de jauge locale vis a vis du groupe U(1)
