Déviation Géodésique

[ThM55]

Oui, je ne pense pas pouvoir ajouter plus à ce qui a été déjà écrit. C'est juste parce que j'avais lu une remarque sur les calculs compliqués.

Pour moi, cette équation a toujours représenté le fait que l'accélération relative entre deux géodésiques très proches est due à la courbure. Cela ne définit pas l'attraction entre les corps d'épreuve voisins, mais plutôt les déformation induites par un corps massif créant un champ de gravitation (les "forces de marée"). Il faut remarquer aussi que l'équation reste vraie pour des géodésiques de genre espace, pas seulement les lignes d'univers.

Il y a une équation différentielle similaire, qui donne avec plus de détail le destin d'un faisceau de géodésiques voisines: l' équation de Raychaudhuri. Elle joue un rôle dans la démonstration des théorèmes de singularité de Hawking et Penrose.
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[inviteafe88240]

Bonjour,

Si on ne veut pas faire trop de calculs, il y a un truc pour démontrer facilement l'équation de la déviation géodésique: choisir un repère "localement plat" au point considéré, c'est-à-dire un repère où . On écrit la seconde géodésique comme et on développe en la différence des équations. On obtient assez facilement un coefficient qui contient les termes en dérivées des gamma apparaissant dans le tenseur de Riemann. Dans ce repère localement plat, c'est le tenseur de Riemann. Comme c'est un tenseur, cela reste vrai dans tous les systèmes de coordonnée.

D'accord je vais appelées se système de coordonnée. J'ai (car un référentiel en chute libre est localement galiléen.).
Il est local et est fonction des coordonnées plus générale qui couvre la variétés. Que voulais vous que je fasse exactement je vous prie?
Le pire c'est que la connexion est alors dans ce système de coordonnées nul. Ce qui est logique.

Merci d'avance et bonne après midi.

[invite93279690]

Oui, je ne pense pas pouvoir ajouter plus à ce qui a été déjà écrit. C'est juste parce que j'avais lu une remarque sur les calculs compliqués.

Pour moi, cette équation a toujours représenté le fait que l'accélération relative entre deux géodésiques très proches est due à la courbure. Cela ne définit pas l'attraction entre les corps d'épreuve voisins, mais plutôt les déformation induites par un corps massif créant un champ de gravitation (les "forces de marée"). Il faut remarquer aussi que l'équation reste vraie pour des géodésiques de genre espace, pas seulement les lignes d'univers.

Il y a une équation différentielle similaire, qui donne avec plus de détail le destin d'un faisceau de géodésiques voisines: l' équation de Raychaudhuri. Elle joue un rôle dans la démonstration des théorèmes de singularité de Hawking et Penrose.

Merci beaucoup de toutes ces precisions. J'ai tout de meme l'impression que l'interet de ces resultats sur la divergence ou convergence des geodesiques n'apparait que si on s'interesse a un aspect statistique des lignes d'univers genre pour un avoir un resultat qui soit essentiellement independant des conditions initiales (comme ceux sur les singularites de Hawkings et Penrose). A vue de nez, cela pourrait etre aussi interessant en cosmologie mais je n'en sais rien...
Bon cela fait aussi tout simplement penser a des cycles limites ou attracteurs en mecanique usuelles a la seule difference que ces derniers apparaissent dans des systemes pour lesquels le volume dans l'espace n'est pas conserve alors qu'ici j'ai l'impression que c'est simplement que les trajectoires vont d'un endroit moins dense en trajectoires a endroit plus dense sans qu'aucune trajectoire ne se croise vraiment.

[inviteafe88240]

Bonjour,

D'accord je vais appelées se système de coordonnée. J'ai (car un référentiel en chute libre est localement galiléen.). Que dois je faire maintenant Thm55 je vous prie? Je ne vois pas où vous voulez en venir.


Merci d'avance et bonne après midi.

[azizovsky]

Salut ,dans ce cas , les solutions sont des lignes droites ordinaires:, et tu peux la mettre sous la forme donner par ThM55!(je crois).

[azizovsky]

ou bien ,tu'a les T de Poincaré et les TL , ce qui donne : (relation donner par ThM55), càd ,tu fait une petite translation du référentiel.

[inviteafe88240]

Bonjour, je part de l'équation de géodésiques : . J'arrive à : soit à .

J'obtiens : .

Je suis bloqué ici.

Auriez vous un moyen de simplifier pour retomber sur les équations de déviations géodésiques je vous prie?

Merci d'avance et bonne après midi.

[inviteafe88240]

Si quelqu'un passe par là.

Bonne après midi.

[inviteafe88240]

Bonjour, je corrige(même si cela ne changera rien car tous le monde semble s'en fiché et je reste poli.). je part de l'équation de géodésiques : . J'arrive à : soit à .

J'obtiens : .

Je suis bloqué ici.

Auriez tu un moyen de simplifier pour retomber sur les équations de déviations géodésiques je vous prie?

Je voudrais retomber sur : .

Merci d'avance et bonne après midi.

[inviteafe88240]

Bonjour, qu'en pensez vous alors je vous prie?

Merci d'avance et bonne après midi.

[Amanuensis]

Ai déjà répondu en MP: trop informelle comme approche, et j'ai donné un lien pour une approche plus rigoureuse et moins "inutilement calculatoire".

[inviteafe88240]

Bonjour Amanuensis et merci, mais la démonstration envoyé(de Caroll.). je ne l'ai pas comprise. Et je trouve que j’étais bien partis.

Bonne après midi.

[Amanuensis]

Bonjour Amanuensis et merci, mais la démonstration envoyé(de Caroll.). je ne l'ai pas comprise.

Selon mon opinion, si vous n'arrivez pas à comprendre celle dans le Carroll, alors vous arriverez encore moins à comprendre celle que vous avez démarrée, même si vous la terminiez.

Mais j'ai peut-être un sens particulier pour le mot "comprendre"...

[ordage]

Bonjour,

C est tout simplement cela.

D ailleurs j'aurais du prendre l exemple de l ascenseur d Einstein.

2 particules en chutes libres suivent leurs propres géodésiques. Pourtant on sait que ces particules convergent vers le centre de laTerre ce qui fait qu elles semblent s attirer par une force qui les rapprochent. La deviation géodésique c'est la distance entre les2 particules test qui evoluent avec le temps.

Il s agit ci-dessus de la description de la déviation géodésique dans le langage de Newton. Le probléme est donc de décrire la chose dans le cadre formel de la RG, mais sur le plan conceptuel il n y a aucune difference avec le cadre formel de Newton.

Salut

Effectivement pour donner un sens concret et simple à la déviation géodésique J. Baez prenait l'exemple d'astronautes en vol inertiel dans un vaisseau sans fenêtre. Disposant d'un bocal de café soluble expresso (mouture très fine), ils en font une sphère qui flotte dans leur cabine et observent son évolution. Chaque poussière de café (supposée libre de toute interaction avec les autres) suit sa propre géodésique, on réalise ainsi une famille de géodésiques. La sphère peut varier en volume , sans changer de forme , se déformer en ellipsoïde à volume constant et aussi tourner et évidemment subir n'importe quelle combinaison de tout cela. Cette observation va donner de précieux renseignements sur la nature sur champ gravitationnel ambiant. Si je me souviens bien (à vérifier), la variation de volume dépend de la dérivée seconde du tenseur de Ricci (le tenseur de Ricci n'est pas nul, il y a de la matière énergie, on n'est pas dans le vide). La variation de forme seule à volume constant est liée au tenseur de Weyl seul (on est dans le vide) et la rotation est liée à un autre tenseur (plus compliqué à décrire). Bien entendu si la boule change de volume, se déforme et tourne il faut composer tout cela.

Je pense que cela donne un sens concret à ce qu'est la déviation géodésique et au problème à résoudre.

Mathématiquement, il faut étudier une famille de géodésiques voisines pour en déduire l'équation, qu'on trouve dans tous les bons ouvrages, une démo en ligne sur:

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG3F.pdf

p.49 et suivantes.

Une approche plus générale, reprenant le concept de déviation géodésique, introduit le concept de congruence de géodésiques (tel que chaque point de la variété appartient à une géodésique de cette congruence) qui se traduit par l'élaboration d'un tenseur qu'on décompose en général en trois parties correspondantes aux trois phénoménologies décrites (expansion, déformation, rotation).

Cordialement

[Amanuensis]

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG3F.pdf

C'est la traduction du texte de Carroll.