Formes differentielles divergence gradient.

[Oss118]

Bonjour,
J'ai des questions sur des sujets que je pensis dominer, le lien entre les formes diff et les operations classiques du calcul differentiel. En fait mon prof de TD les utilise d'une maniere qui me pose probleme, et il semble tellement desinvolte a ce sujet que je me demande si ce n'est pas de moi que vient le souci.
Par exemple quand je lui ai demande pourquoi la divergence d'une p-forme w c'etait d*w ou d est la differentielle et * l'adjoint, il m'a repondu que c'etait evident et qu'il suffisait de l'ecrire.
Or ca ne me parait pas evident du tout.
Est ce que qqun pourrait me faire un ptit topos histoire d'eclaircir parce que ce que je lis ici et la ne m'eclaire pas.
Ou a defaut me donner une reference lisible.
Merci d'avance.
Ps: Desole je suis sur mon telephone, j'ai essaye de soigner mon message, mais il est possible qu'il reste des fautes diverses, veuillez m'en excuser.
Ps2: je sais qu'il existe sur ce forum des gens qui mairisent parfaitement ces notions, s'ils voulaient bien me repOndre je leur en serais tres reconaissant.
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[invite6754323456711]

le lien entre les formes diff et les operations classiques du calcul differentiel.

Je ne sais pas si c'est ce type d'information que tu recherches : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1975334

Qui pour moi m'avais aidé a "voir" que la différentielle d'une fonction peut être regardée comme un champ de formes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2705846

Patrick

[Oss118]

Malheureusement, non ca ne repond pas a ma question. Je sais ce qu'est une forme, a priori, je n'ai pas de difficultes avec le concept, mais justement je n'arrive pas a me convaincre de ce genre de formules de ma question 1 qui sont censees etre evidentes, et du lien entre les operateurs de calcul diff classique et les deriveed exterieures et autres adjoints.

[Amanuensis]

J'ai un petit souci de notation avec le message #1. Usuellement * désigne dans le contexte le dual de Hodge. Qu'est-ce que l'adjoint, ici ?

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Ce que je connais des correspondances entre opérations classiques 3D et dérivée extérieure est comme suit:

La divergence (un scalaire) d'un champ vectoriel v peut se voir comme *d*bv. bv la 1-forme obtenue en appliquant la métrique (b pour bémol), *bv la 2-forme duale de bv. d*bv est une 3-forme, une forme volume donc, dont le dual est le scalaire *d*bv.

Le gradient appliqué à un champ scalaire est #d, le rotationnel appliqué à un champ vectoriel v est #*dbv.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

bonjour

+ Pour la divergence en dim 3, l’opérateur * associe un vecteur a et une bi-forme *a, d*a doit donc être une 3 forme, proportionnelle a dx1^dx2^dx3. en faisant le calcule, tu vois que ce facteur est la divergence de a.
En dim n quelconque, c'est le même raisonnement, w = dx1^...^dxn et a un vecteur. w(a) est une n-1 forme, dw(a) est donc une n forme proportionnelle a w. le facteur de proportionnalité étant la divergence de a (en faisant le calcul a la main, on s'en convainc)
+ En général, je ne sais pas si il y a une manière intuitive de sentir ces formules (un peu comme rot rot ...) mais c'est bien de retrouver les formules habituelles avec le formalismes des formes, qui se généralise en dimension n (contrairement au rotationnel par exemple)
+ Personnellement, un petit livre qui m'a aide est "Geometrical methods of mathematical physics", malgré des notations parfois étranges

Bon courage

[Oss118]

Merci de votre reponse!
J'ai compris votre seconde partir de message. Juste pour etre sur diese est bien l'inverse de bemol ?
Pour le rotationnel ce serait pas un diese plutot qu'une etoile dans *dbv?

Pour l'adjoint, il s'agit ici de l'adjoint pour le produit scalaire donne par la metrique. Et pas le dual de Hodge donc. On a un produit scalaire sur l'espace des formes donne par la metrique. C'est de cet adjoint la dont il est question. Je ne saisis toujours pas cette relation.
Merci encore.

[Oss118]

Merci a GrisBleu pour sa reponse aussi, mon message precedent s'applique egalement. Je precise que l'etoile dans d*w s'applique au d et pas au w. C'est d* qui est l'adjoint de d.

[Amanuensis]

J'ai compris votre seconde partir de message. Juste pour etre sur diese est bien l'inverse de bemol ?

Oui, le # transforme une 1-forme en vecteur (fait "monter l'indice"), et le bémol un vecteur en une 1-forme (fait "descendre l'indice").

Pour le rotationnel ce serait pas un diese plutot qu'une etoile dans *dbv?

v étant un vecteur, bv est une 1-forme, dbv une 2-forme, *dbv une 1-forme, #*dbv un vecteur, le rotationnel de v.

[Oss118]

Ok on est d'accord sur ca !
Reste cette histoire d'adjoint.

[Amanuensis]

Je n'ai pas compris ce qu'est l'adjoint. Un produit scalaire est une opération binaire (à deux arguments), alors que d* apparaît comme une opération unaire.

(Il m'aurait sembler logique d'appeler "divergence d'une p-forme" l'opérateur *d*, avec * le dual de Hodge...)

[Oss118]

Alors si f est une application entre deux espaces muni de produits scalaires alors l'adjoint de f est defini par <f(u),v>=<u,f*(v)> ici on a un produit scalaire "induit" par la metrique et un adjoint pour d. Deja, quel est ce produit induit ? Je croyais le savoir mais en fait non. Parce que la metrique ne renvoit pas un scalaire quand on l'applique a deux champs de vecteurs mais une fonction.

[Oss118]

Amanuensis vous n'etes plus la?
Je suis d'accors que la definition que vous donnez de la divergence est bonne. Mais ca n'est pas celle qu'utilisemon prof.
Et je ne comprend toujours pas comment la metrique induit ce produit scalaire global.

[Amanuensis]

Et je ne comprend toujours pas comment la metrique induit ce produit scalaire global.

Au sens où un "champ de (forme) métrique" donne un champ scalaire à partir de deux champs de vecteurs, non? (Dans le contexte l'espace est euclidien et la métrique est uniforme.)

(Vous parlez de fonctions, mais dans le contexte il n'est question que de "fonctions" au sens de champ, que ce soit des fonctions scalaires, des vecteurs ou des p-formes.)

[Oss118]

Oui, je disais fonction pour ce que vous appelez champ scalaire. Mais justement ici pour parler d'adjoint faudrait renvoyer un scalaire tout cour quand on prend en argument deux champs de p-formes. Or je ne vois que comment associer un champ scalaire a deux telles formes via la metrique.

[Amanuensis]

Suffit d'appliquer la métrique à chaque indice.

1-formes:

2-formes:

etc.

[Oss118]

A moins que je me trompe justement non.
Si on fait ca on obtient un champ scalaire, pas un scalaire.
Par exemple sur R muni de la metrique naturelle que donnerait le produir scalaire de xdx avec dx disons.

[Oss118]

Or moi ce que je veux, enfin ce qui est dit dans mon td, ce qu'on a un produit scalaire sur l'espace des p-formes, qui a deux p-formes w et w' on associe <w,w'> qui est un reel, unique, qui ne depend pas du point x considere. J'ai besoin de ca pour l'adjoint, pourle definir. A moins que jene soisa cote de laplaque.
Merci encore de votre aide.

[Amanuensis]

Suffit de faire une intégration...

Mais en cherchant "adjoint" en relation avec l'algèbre extérieure, le "produit scalaire" n'est pas obtenu avec un tenseur métrique, mais en utilisant le dual de Hodge.

Dans mon écriture, si w et v sont deux p-formes, alors est une forme volume, et donc est un scalaire. Le produit est symétrique car .

La notion d'adjoint doit donc avoir une relation étroite avec la dualité de Hodge, à voir.

[Amanuensis]

J'ai trouver ce cours, http://geometrie-differentielle-par-...m/document.php, où le 'produit scalaire' est défini Ch. 5 et l'adjoint de d Ch.6

Et la différence entre champ scalaire et scalaire est bien 'juste' une intégration

[Oss118]

Je vais y jeter uN oeuil merci.
L'integration est effectivement ce qui me manquait, j'imagine qu'on integre pour le volume riemanien.