Bonjour,
Le produit scalaire de deux fonctions d'ondes est une intégrale du produit d'une des deux fonctions et du conjugué de l'autre sur tout l'espace. Or les fonctions d'onde sont à valeur dans C, donc sans dimension. Mais alors l'intégrale de ce produit doit avoir la dimension d'un espace; alors qu'un produit scalaire est sans dimension.
Il y a manifestement quelque chose qui m'a échappé.
Merci de votre aide.
Bonjour.Envoyé par elzeardbouffier
Je connais un tas de produits scalaires avec des dimensions. Le travail d'une force, le couple, etc.
Au revoir.
Si la fonction d'onde f est normalisée, alors on écrit=1.
Le 1 est sans dimension et il me semble que l'intégrale a la dimension d'un espace, ou je ne sais plus calculer une intégrale.
Une fonction d'onde n'est pas sans dimension...
Re.
Je pense que c'est plutôt savoir ce qu'est une fonction d'onde qui vous posse des problèmes.
Ses dimensions sont la racine carrée d'une densité volumique de probabilité.
A+
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
la dimension d'une fonction d'onde serait donc
Bonjour,
Si elle est définie sur
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
Bonjour,
Si je comprends bien, lorsqu'on résout l'équation aux valeurs propres on obtient un fonction sans dimension et c'est lorsqu'on la normalise que la dimension apparait. C'est bien ça ?
Dans l'équation H*Psi=E*Psi, Psi peut avoir n'importe qu'elle dimension pour que ce soit homogène.
Et si vous nous disiez pourquoi vous pensez que la fonction d'onde doit être sans dimension. Vu votre premier message, vous semblez penser que c'est parce que Psi est complexe? C'est ça?
Je pensais que la fonction d'onde était sans dimension parce qu'il y avait une ambiguité dans le cours sur lequel je travaille (Bas-devant et Dalibar, polytechnique). Mais c'est bon, j'ai compris grâce à Albanxiii. Et effectivement j'avais bien remarqué que la dimension de la fonction d'onde n'intervient pas dans l'équation aux valeurs propres. Mais confirmez-moi que c'est bien en normalisant que cette dimension apparaît.
J'ai une autre question: jusqu'à présent je n'ai rencontré que des fonctions d'onde définies sur R^3 . J'imagine que dans le cas général elles sont définies sur un espace des phases. Est-ce que c'est vrai?
Non, la dimension n'apparaît pas lors de la normalisation. La fonction d'onde est bien évidemment dimensionnée "depuis le début", si je puis dire...
Ce n'est pas la condition de normalisation qui fait passer d'un seul coup d'une fonction d'onde sans dimension à une fonction d'onde dimensionnée.
Dernière modification par coussin ; 01/06/2014 à 11h04.
Dans mon cours, les solutions de l'équation aux valeurs propres du hamiltonien de l'électron d'un atome d'hydrogène sont données en calculant séparément les fonctions radiales et les harmoniques sphériques et elles sont données sans dimension, c'est d'ailleurs ce qui m'a induit en erreur, d'autant plus qu'elles sont données avec devant un coefficient qu'on pourrait prendre pour un coefficient de normalisation. Lorsque j'ai compris qu'elles n'étaient pas normalisée, je l'ai fait et elles se sont retrouvées avoir la dimension ad hoc.
(Et mon histoire d'espace des phases ?)
A+
Ce coefficient de normalisation dont vous parlez est dimensionné. La fonction d'onde a donc sa dimension, via ce coefficient, dès le début. Le reste de la fonction d'onde (polynômes de Laguerre, Legendre, constantes diverses) est nécessairement sans dimension.
Bon, d'accord, merci
A+
Re,
Il me semble qu'il y a une confusion. L'espace des phases est défini comme un espace dont les coordonnées sont les coordonnées généralisées et leurs moments canoniquement conjugués.
Là, vous parlez plus vraisemblablement de fonctions d'onde non nulles sur une partie de
Me trompé-je ?
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
L'espace des phases et les distributions de probabilités qu'on y définit sont propres à la physique classique. L'état classique du système se définit alors par une distribution de probabilités dans son espace de phases. On a cependant une notion très voisine en physique quantique, celle des quasi-distributions de Wigner dans l'espace des phases du système quantique considéré (http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...e_Wigner-Ville). On peut utiliser cet outil pour modéliser l'état quantique d'un champ électromagnétique en cavité microonde supraconductrice par exemple (voir les travaux de Serge Haroche et ses doctorants sur ce sujet).
La différence importante par rapport au cas classique, c'est que ces "probabilités" peuvent être négatives. C'est même la marque du caractère quantique de ces états (présence d'interférences quantiques). Il s'agit, par exemple, des états à un seul photon ou encore des superpositions quantiques de deux états quantiques cohérents de phases classiques distinctes (étude, par Serge Haroche et ses doctorants, de la décohérence de chats de Schrödinger du champ électromagnétique en cavité microonde supraconductrice : cf. par exemple Oscillation de Rabi à la frontière classique-quantique et génération de chats de Schrödinger Alexia Auffeves Garnier http://tel.archives-ouvertes.fr/docu.../index_fr.html ).
Par contre, dans le cas d'états dits quasi-classiques comme, par exemple, les états cohérents du champ électromagnétique en cavité microonde supraconductrice, la quasi-distribution de Wigner se retrouve être une distribution de probabilités "normales" (positives) et on se retrouve avec un modèle et des résultats correspondant à ceux de la physique classique.
Je n'ai pas bien compris ce qu'est une fonction d'onde. Elle n'est effectivement pas définie sur l'espace des phases puisque dans ce cas, pour une particule pounctuelle, elle serait définie sur R6.
Mais une fonction d'onde permet de définir une densité de probabilité de présence et ceci pour un particule ponctuelle dont la position est définie par un point de R3. Mais pour un système plus complexe, sur quoi la fonction d'onde est-elle définie et quelle densité de probabilité permet-elle de définir ?
Merci
C'est une fonction (complexe) de carré sommable (et de somme quadratique égale à 1 puisqu'il s'agit d'une densité de probabilité) sur le spectre joint d'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (un ECOC donc).Il s'agit d'un ensemble d'observables tel que le comportement du système soit complètement déterminé dès que l'on dispose de toutes les valeurs des grandeurs observables en question.
L'espace des fonctions de carré sommable sur le spectre joint de l'ECOC est l'espace de Hilbert modélisant l'espace des états du système.
Par exemple, dans le cas d'un spin 1/2, l'observable spin selon z (observable opérateur de Pauli Sigma_z souvent appelée, par abus de langage, matrice de Pauli sigma_z) n'a que deux états propresL'observable Sigma_z est, à elle seule, un ECOC du spin-1/2.
- le spin z up
- le spin z down
On peut donc dire (bien que ce ne soit pas la terminologie usuelle, mais c'est juste pour illustrer la notion de "fonction d'onde" dans un cas particulier très simple, celui d'un système quantique dont l'espace de Hilbert associé est seulement de dimension 2) que la "fonction d'onde" d'un spin 1/2, dans sa représentation selon le spin z, est définie par la donnée de deux nombres complexes alpha et béta tels que lalphal² + lbétal² = 1 (condition de normalisation permettant d'avoir une somme des probabilités égale à 1 des différents états possibles quand on mesure le spin selon z du spin-1/2 considéré).
Dans ce cas particulier la "fonction d'onde" lpsi> est définie sur un ensemble discret de deux "points" : l+z> et l-z>. et on a : lpsi> = alpha l+z> + béta l-z>.
En général, on réserve la terminologie de fonction d'onde au cas où le spectre joint des valeurs propres de l'ECOC est continu (sur un espace à une, deux ou plus de dimensions, autant de dimensions que d'observables à spectre continu de l'ECOC).
Dernière modification par chaverondier ; 02/06/2014 à 20h55.
Je comprends que la fonction d'onde est une fonction définie sur le spectre de l'ECOC. Si il est fini, se donner une telle fonction c'est se donner un vecteur d'un espace de dimension finie, si il est continu, la fonction d'onde est une fonction au sens habituel.
C'est ça?
Merci
Si le spectre est continu (le spectre joint si l'on a besoin de plusieurs observables pour définir l'état du système considéré), se donner une fonction d'onde (1), c'est aussi se donner un vecteur dans un espace vectoriel complexe muni d'un produit scalaire (un Espace de Hilbert). Par contre, dans ce cas, l'espace de Hilbert modélisant l'espace des états du système est de dimension infinie.
(1) une fonction d'onde, c'est une fonction complexe de carré sommable sur le spectre joint d'un ensemble Complet d'Observables qui Commutent, l'intégrale de ce carré (sous-entendu de la norme de la fonction d'onde) valant 1. L'intégrale du carré de la fonction d'onde sur une partie du spectre d'un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent représente la probabilité que ces observables aient des valeurs contenues dans cette partie du spectre.
Dans le cas d'un spectre continu, l'état d'un système est décrit par une fonction d'onde et cette fonction d'onde peut être vue comme un vecteur d'un espace de Hilbert, on est bien d'accord. Mais, lorsque le spectre est fini, on à toujours la description de l'état du système par un vecteur, mais il semble qu'on ait perdu la représentation sous forme de fonction d'onde. Mon explication est que la donnée d'un vecteur d'un espace de dimension finie est une fonction définie sur un ensemble fini.Dans cas l'ensemble fini est l'ensemble fini des états propres.
