Univers fini, bord, frontière, plongement, ...

[Amanuensis]

Bonjour,

On voit régulièrement, sur ce forum et ailleurs, des affirmations intéressantes à analyser sur la topologie de l'Univers. En particulier l'usage peu rigoureux par des physiciens (amateurs, mais pas toujours) des termes "bord", "variété sans bord", "fini", etc., dans des discussions sur la "forme" de l'Univers.

Il y a beaucoup à dire sur ces sujets. Ce message se contente de présenter un cas, et regarder quelques affirmations sur ce cas.

Prenons la variété lorentzienne 2D (aisément généralisable à 4D) définie par la carte suivante:

, , et forme métrique

Dans ce système de coordonnées, les tranches spatiales sont homéomorphes à ]-1, 1[ et donc à . Par la suite on appelle "espace" le segment ]-1,1[, et "point de l'espace" une ligne d'Univers définie par x = constante, et/ou l'élément x correspondant de l'espace. L'espace est muni de la métrique induite sur la ligne t=0.

Par ailleurs, on peut constater qu'une ligne solution de l'équation différentielle , avec est une ligne d'Univers (genre temps), a une durée propre infinie, et non seulement ne passe jamais deux fois par un point de l'espace, mais il n'existe pas de point spatial tel qu'elle passe indéfiniment dans un voisinage du point.

Alors, quid des affirmations suivantes, sont-elles correctes ou incorrectes:

a) Cet Univers est "fini" ;

b) L'Univers est "sans bord" ;

Et des questions plus rigoureuses :

c) L'espace est compact ;

d) La distance entre deux points de l'espace est bornée ;

e) L'espace est une variété sans bord ;

f) On peut voir l'espace comme plongé dans un espace plus grand ;

g) L'espace a une frontière non vide quand plongé dans

h) L'espace contient sa frontière quand plongé dans

Alors, quelles sont les réponses, quelles affirmations a) à h) sont correctes ou non?

[Les suggestions d'autres questions dans le même esprit sont les bienvenues.]
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[invite6c093f92]

Bonjour,
N'étant pas adepte de jeux de hasard, je ne m'essayerais pas à une seule réponse...
Cependant, j'ai une question: quelle différence entre frontière et bord? Pour moi, on ne peut parler de frontière uniquement pour un ensemble inclus dans un ensemble plus grand(bref, un sous-ensemble...), ce qui pourrait répondre à cette question:

f) On peut voir l'espace comme plongé dans un espace plus grand

par oui si on parle de frontière et non de bord(mais c'est ce que je pense, sans connaitre la différence entre bord et frontière( enfin, j'ai ma petite idée, mais celle-ci étant plus intuitive qu'autre chose.....)).
Une autre question, que représente une frontière non vide..?

Cordialement,

Ps: ha bah si j'ai fais une réponse du coup......

[0577]

Bonjour,

je cache mes propositions de réponse pour ne pas influencer.

a) Cet Univers est "fini"

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Je ne sais pas ce que veut dire "fini" ici. La première chose qui me vient à l'esprit en entendant "fini" est "ensemble fini".
Cet Univers n'est clairement pas un ensemble fini.

b) L'Univers est "sans bord"

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Par "sans bord", je comprends "variété sans bord". L'Univers considéré est une "vraie variété": tout point à un voisinage difféomorphe à un ouvert d'un espace euclidien. Ce n'est pas une variété avec bord au sens où aucun point n'a un voisinage difféomorphe à un demi-espace euclidien fermé.

c) L'espace est compact

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Un intervalle ouvert n'est pas compact: l'espace n'est pas compact.

d) La distance entre deux points de l'espace est bornée

 Cliquez pour afficher

Pour calculer la distance entre deux points de l'espace, il faut intégrer la fonction ce qui donne Argth.
Puisque c'est fonction tend vers l'infini pour x tendant vers , la distance entre deux points de l'espace n'est pas bornée.

e) L'espace est une variété sans bord

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oui, tout point de l'espace a un voisinage difféomorphe à un intervalle ouvert (par exemple, l'espace lui-même)

f) On peut voir l'espace comme plongé dans un espace plus grand ;

 Cliquez pour afficher

il n'est pas clair si "plongé" veut dire "plongé" comme variété ou comme variété riemannienne (i.e. plongement isométrique).
Dans tous les cas, l'espace est plongé isométriquement dans le produit cartésien de l'espace par n'importe quelle variété riemannienne.
(Ca n'a pas d'intérêt ? oui mais ça répond à la question)

g) L'espace a une frontière non vide quand plongé dans

h) L'espace contient sa frontière quand plongé dans

 Cliquez pour afficher

Si on parle du plongement de variétés naturel de ]-1,1[ dans , alors
l'espace a une frontière composée des deux points 1 et -1. L'espace ne contient pas sa frontière.

[Amanuensis]

Cependant, j'ai une question: quelle différence entre frontière et bord? Pour moi, on ne peut parler de frontière uniquement pour un ensemble inclus dans un ensemble plus grand(bref, un sous-ensemble...)

C'est correct.

sans connaitre la différence entre bord et frontière( enfin, j'ai ma petite idée, mais celle-ci étant plus intuitive qu'autre chose.....)).

La frontière est l'adhérence moins l'intérieur, ou encore l'intersection de l'adhérence du sous-ensemble et de l'adhérence de son complémentaire.

La notion de bord, au sens dans "variété sans bord" n'a pas grand chose à voir, c'est l'ensemble des points d'une variété de dimension n dont un voisinage est homéomorphe à un voisinage de (0,0) dans R^{n-1}xR+

Une autre question, que représente une frontière non vide..?

Si F est un sous-espace d'un espace topologique E, la frontière est non vide s'il y a des points à la "limite" entre F et son complémentaire.

Les seuls sous-ensembles ayant une frontière vide sont ceux qui sont à la fois ouverts et fermés (comme l'espace lui-même, ou une composante connexe). (Normal, comme il est fermé, il est égal à son adhérence ; et comme il est ouvert, son complémentaire est fermé et donc égal à sa propre adhérence ; et l'intersection entre un sous-ensemble et son complémentaire est vide par définition.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

(...)

J'aurais dû préciser, effectivement. Par "plongé dans" je voulais dire juste au sens de "homéomorphe" (ou mieux difféomorphe, mais ici cela n'a pas d'importance) à une sous-variété topologique. Pas un plongement isométrique.

[Mon exemple est (entre autres) en réaction à des questions genre "dans quoi l'Univers s'expand". La réponse usuelle est que l'Univers "n'est pas plongé dans un truc plus grand", et, dans la mesure où je comprends la réponse, cela réfère à un plongement topologique, non nécessairement isométrique. Mais qui sait...]

[Amanuensis]

Je vais continuer avec un deuxième exemple, en réaction avec la question "dans quoi l'espace s'expand-il?". Non que je mette en doute la réponse disant qu'il s'agit d'une expansion métrique, i.e., qui concerne les mesures, et non une "substance" que serait l'espace (ou l'espace-temps). Juste la question mathématique du plongement, et en particulier des réactions montrant que certains voient l'expansion dans une dimension supplémentaire.

Deux questions: est-ce qu'on peut donner un sens mathématique à "s'expandre dans quelque chose", via un plongement, et ensuite distinguer le plongement dans une variété de même dimension de celle dans une variété de dimension supérieure.

Un point préliminaire: il s'agit de l'expansion de l'espace (précisément l'espace comobile dans les modèles FLRW), et donc d'un espace de dimension 3. Si on parle de dimension supplémentaire, c'est une quatrième dimension spatiale. Dans les exemples dans ce fil, l'espace est réduit à une dimension pour simplifier, mais le passage à trois se fait simplement.

L'exemple dans le message #1 permet de considérer l'espace comme topologiquement plongé dans une variété de même dimension, ]-1, 1[ plongé dans R. Une expansion se modélise alors naturellement par un intervalle ]-a(t), a(t)[ avec a() une fonction du temps.

La forme métrique est alors par exemple

La question de l'Univers "fini" et la notion, au sens incorrect, de "bord" prend une autre saveur. A-t-on là un "univers fini" s'expandant dans un "Univers infini"?

Avec une telle vision, on a, non pas une notion de bord, mais une notion de frontière. (Au passage, il est intéressant de noter que l'anglais utilise le même mot, boundary, ce qui est peut-être une des sources de la confusion.)

La frontière est {-a(t), a(t)}, et "s'éloigne" en coordonnées.

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Ouh là, peuvent dire certains, voilà qui est hérétique. L'explication usuelle et consensuelle est que l'expansion se fait "dans rien". En fait il n'y a pas contradiction, ce ne sont que des modèles, et modéliser quelque chose "hors de l'Univers" est gratuit, se fait sans conséquence testable. Comme il y a un modèle qui marche très bien sans plonger l'espace dans un "espace plus grand", on n'a aucune raison de se casser la tête avec un modèle supposant des "choses" en plus. C'est, pour moi, une réponse plus satisfaisante que l'usuel "dans rien".

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Il y a divers développements intéressants à sur le sujet, l'un est le plongement dans une variété de dimension supérieure. Un autre, lié, est qu'on ne peut pas plonger le cercle S1 dans R, et plus généralement Sn ou Tn dans R^n: les variétés compactes (sphères, tores, ...) apparaissent plus rétives au jeu proposé...

[ordage]

Un point préliminaire: il s'agit de l'expansion de l'espace (précisément l'espace comobile dans les modèles FLRW), et donc d'un espace de dimension 3. ...

Salut

L'univers est représenté par un continuum 4D , avec 3 dimensions d'espace et une de temps (une chrono-géométrie): Cet univers quadridimensionnel ne s'étend pas, cette chrono-géométrie, résultant de l'équation 4D d'Einstein, le décrit dans toute son extension spatiale et temporelle.

Le modèle FLRW qui montre des sections spatiales qui croissent avec le temps est une représentation possible du phénomène, mais qui n'est pas covariante. Il y en a d'autres, également non covariantes, où les sections spatiales sont invariantes par exemple.

Mais toutes ces représentations décrivent le même phénomène physique.

Ce qui est physique et covariant c'est que, par exemple, les géodésiques parcourues par des observateurs "chute libre" (comobiles en FLRW ) "divergent" lorsque le temps propre des observateurs sur leurs lignes d'univers géodésiques s'accroît, ce qui peut se vérifier mathématiquement (par l'étude des congruences de géodésiques) et expérimentalement (par échange de signaux lumineux entre observateurs).

Moyennant cette précision on peut confirmer que, pour cette solution, l'univers s'étend, mais on voit que le problème de dilatation de l'espace ne se pose pas. Il ne se dilate pas mais ces observateurs se déplacent vers des régions de plus en "dilatées" spatialement lorsque leur temps propre s'accroit!

Cordialement

[Amanuensis]

Moyennant cette précision on peut confirmer que, pour cette solution, l'univers s'étend, mais on voit que le problème de dilatation de l'espace ne se pose pas. Il ne se dilate pas mais ces observateurs se déplacent vers des régions de plus en "dilatées" spatialement lorsque leur temps propre s'accroit!

(Je ne cherche pas à faire de la nouvelle physique. Juste à analyser quelques variantes "mathématiques", et leur interaction avec le "vocabulaire". Les notions de "s'étendre", etc., sont in fine des jeux sur les mots ; ce qui est "physique" ne se décrit pas vraiment avec de telles expressions, et c'est une difficulté pour la vulgarisation, àmha.)

[ordage]

(Je ne cherche pas à faire de la nouvelle physique. Juste à analyser quelques variantes "mathématiques", et leur interaction avec le "vocabulaire". Les notions de "s'étendre", etc., sont in fine des jeux sur les mots ; ce qui est "physique" ne se décrit pas vraiment avec de telles expressions, et c'est une difficulté pour la vulgarisation, àmha.)

Salut

Ce n'est pas une nouvelle physique, c'est la description objective du modèle cosmologique standard.

Cordialement

[Amanuensis]

ce n'est pas une nouvelle physique, c'est la description objective du modèle cosmologique standard.

....a........

[ordage]

....a........

Bonjour

En ce matin clément, je te suggère de méditer "Ceux qui ne savent pas grand chose en savent tout autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" (P.Dac)

Très cordialement

[Amanuensis]

Je ne comprends pas. Dois-je le prendre pour une insulte?

[noir_ecaille]

Wah. Les mathématiques de ce style remontent à loin pour moi...

Je vais essayer de m'accrocher pour suivre...

[ordage]

Je ne comprends pas. Dois-je le prendre pour une insulte?

Salut

Je ne vois pas où une insulte pourrait se nicher dans cette "pensée" philosophico-humoristique de P.Dac qui, malicieusement, nous incite seulement à une certaine modestie dans l'énoncé de nos savoirs...

Cordialement

[Amanuensis]

Je ne vois pas où une insulte pourrait se nicher dans cette "pensée" philosophico-humoristique de P.Dac qui, malicieusement, nous incite seulement à une certaine modestie dans l'énoncé de nos savoirs...

Moi non plus. Mais de la citer dans un certain contexte, je vois.

(En d'autres termes: belle non réponse... Et une non réponse s'analyse relativement à l'ensemble des "vraies" réponses, qui contient en particulier "oui" et "non".)

[Amanuensis]

PS: De mon point de vue, le fil aurait une meilleure apparence après suppression des messages 11, 12, 14, 15 et 16...

[Amanuensis]

Wah. Les mathématiques de ce style remontent à loin pour moi...

Je vais essayer de m'accrocher pour suivre...

Derrière ma réflexion il y a le constat de ce fossé, entre d'un côté l'utilisation des maths pour chercher des définitions rigoureuse à des termes comme "fini", "sans bord", "borné", etc. et même plus largement comme "Univers", "Univers observable" (en référence à une autre discussion) ou "espace", etc., et de l'autre l'utilisation de ces termes dans la vulgarisation et/ou des discussions qu'on trouve sur ce forum.

Les risques sont d'un côté réserver l'usage de ces termes à une toute petite communauté (1), et de l'autre tomber dans le verbiage sans grand sens.

(1) Non fermée: c'est juste la communauté de ceux et celles qui ont accepté de prendre le temps nécessaire pour étudier les concepts mathématiques en question.

Je n'arrive pas à voir comment construire un compromis satisfaisant.

(Dans ce fil je cherche à voir si certains attributs (comme "fini") sont perçus comme différents selon la présentation d'une même chose sous deux apparences différentes. Comme l'a noté Ordage, les "espace-temps" décrits n'ont rien d'original, c'est juste une manière "non orthodoxe" de les présenter.)

[noir_ecaille]

Bonjour

En ce matin clément, je te suggère de méditer "Ceux qui ne savent pas grand chose en savent tout autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" (P.Dac)

Très cordialement

Puis "suggérer de méditer" (familièrement : "apprends à réfléchir mec !"), c'est relativement fort quant à sous-entendre un aspect négatif chez le locuteur à qui on suggère justement.

Sans compter un pédantisme certain quant à la clémencité matinale ("je te parle juste parce que ch'uis de bon poil, mec ! Sinon tu vaux rien.").

[chaverondier]

Prenons la variété lorentzienne 2D (aisément généralisable à 4D) définie par la carte suivante:

, , et forme métrique

quid des affirmations suivantes, sont-elles correctes ou incorrectes:

a) Cet Univers est "fini" ;
Non puisque c'est l'espace-temps de Minkowski 2D.

b) L'Univers est "sans bord" ;
Oui.

Et des questions plus rigoureuses :

c) L'espace est compact ;
Non. lR² est paracompact (réunion dénombrable de compact)

d) La distance entre deux points de l'espace est bornée ;
Non puisque c'est un espace-temps de Minkowski 2D

e) L'espace est une variété sans bord ;
Oui

f) On peut voir l'espace comme plongé dans un espace plus grand... ;
...simplement connexe et de même dimension (sinon c'est vrai pour n'importe quelle variété)

g) L'espace a une frontière non vide quand plongé dans
Ca dépend comment on le plonge...

h) L'espace contient sa frontière quand plongé dans
...et si on le plonge de la façon suggérée par le système de coordonnées choisi, la frontière de ce plongement ne lui appartient pas (elle est rejetée à une distance infinie)

Remarque :
toutes les réponses ci-dessus découlent du fait que l'espace-temps considéré est l'espace-temps plat, statique et simplement connexe muni de la métrique de Minkowski 2D, comme le montre le changement de carte : y = argthx (pour lequel on a bien ds² = dt² - dy²)

[Amanuensis]

non puisque c'est l'espace-temps de minkowski 2d.

:s:

remarque :
Toutes les réponses ci-dessus découlent du fait que l'espace-temps considéré est l'espace-temps plat, statique et simplement connexe muni de la métrique de minkowski 2d, comme le montre le changement de carte : Y = argthx (pour lequel on a bien ds² = dt² - dy²)

:s:

(PS: Pourquoi l'éditeur de message met-il tout en minuscule dans ce genre de cas????)

[noir_ecaille]

@ Amanuensis

À titre personnel, je n'ai pas continuer de développer mes compétences en mathématiques évoluées, en particulier mon post-scolaire/professionnel ne s'y est pas prêté -- celles qui dépassent le cadre des opérations arithmétiques "basiques" (éventuellement imbriquées).

Toute la difficulté de la vulgarisation est de surmonter ce fossé entre la notion et la perception de cette notion, ou comment "donner une petite idée", tout en évitant la confusion entre cette "petite idée" avec la notion "source".

[Amanuensis]

Toute la difficulté de la vulgarisation est de surmonter ce fossé entre la notion et la perception de cette notion, ou comment "donner une petite idée", tout en évitant la confusion entre cette "petite idée" avec la notion "source".

Bien sûr. C'est l'idée générale.

Je m'intéresse à un cas particulier ici, cas qui, de mon point de vue, montre un échec de la vulgarisation. Échec au sens où il me semble voir une divergence significative entre les notions rigoureuses et ce que je vois de la vulgarisation.

[invite6c093f92]

Re,

Toute la difficulté de la vulgarisation est de surmonter ce fossé entre la notion et la perception de cette notion.

La vulgarisation a ses limites, forcément, sans la possibilité de surmonter quoique ce soit( au moins dans le cadre du sujet ici).
Exemple: Notion de "bord". Mot simple et pourtant, quel sens lui donner? comment est-ce traiter(mathématiquement)?
Questions subsidiaires(dans le désordre): Qu'est-ce qu'une variété? métrique ?une connexion? boule? ouvert? homéo(et difféo-) formisme, co-variance? ect, ect...
Voilà une petite série non-exhaustive en relation avec le concept de "bord", et ça ce n'est pas le vocabulaire qui précisera tout ça, au mieux il peut cerner de très loin, mais cerner c'est bien souvent si peu rigoureux, l'idée est de s'approcher au plus près, mais il y a une limite(non-fixe), et pour ces sujets la confusion arrive d'autant plus vite qu'aucun travail perso n'est fait.
Ce n'est que mon avis, et je peux être à coté.
Cordialement,

Ps: croisement avec Amanuensis.

[noir_ecaille]

Toute la difficulté de la vulgarisation est de surmonter ce fossé entre la notion et la perception de cette notion, ou comment "donner une petite idée", tout en évitant la confusion entre cette "petite idée" avec la notion "source".

Bien sûr. C'est l'idée générale.

Je m'intéresse à un cas particulier ici, cas qui, de mon point de vue, montre un échec de la vulgarisation. Échec au sens où il me semble voir une divergence significative entre les notions rigoureuses et ce que je vois de la vulgarisation.

Peut-être ou probablement parce que la vulgarisation recèle un facteur humain, ce dernier étant sujet à l'inconstance et l'imprévisibilité.

[noir_ecaille]

@ didier941751

Je en pense pas qu'il y aurait une limite à la vulgarisation. Question de ciblage, de moyens, de temps aussi et de compétences humaines de part et dautres.

Mais ça introduit implicitement un facteur chance non négligeable...

[invite6c093f92]

Pour ma part, je dirais que c'est le point, ce facteur humain, pour cela que j'ai écris "limite(non-fixe)", cette limite est (àmha) la motivation de l'interlocuteur.
Le mieux( ce qui se fait sur Fs en général), s'adapter à l'interlocuteur, mais être capable de dire: bon, ben là si t'étudies pas, tu ne pourras pas comprendre, car les mots que je vais utiliser sont hors sens commun, et le sens "physico-mathématique" ne peut s'acquérir qu'après avoir étudié". C'est dur à entendre(j'en sais qq chose) mais c'est comme ça. Le bon vulgarisateur (il y en a plusieurs sur Fs, heureusement), saura amener le nèophyte sur le chemin, encore faut-il que ce dernier soit motivé.
Bon, tout ça c'est HS, désolé.
Cordialement,

Ps: Croisement, c'est en réponse au message#24, suis lent ....

[chaverondier]

La vulgarisation a ses limites, forcément, sans la possibilité de surmonter quoique ce soit (au moins dans le cadre du sujet ici).

Elles sont plus éloignées que ce que l'on pourrait croire si l'auteur soigne les détails de ce qu'il écrit et si le lecteur fait attention à ce qu'il lit.

Exemple: Notion de "bord". Mot simple et pourtant, quel sens lui donner? comment est-ce traité (mathématiquement)?

Par homéomorphisme (bijection bi-continue) local avec un bord le plus simple possible dans R^n (obtenu en coupant R^n en deux dans une direction)

Questions subsidiaires(dans le désordre): Qu'est-ce qu'une variété?

Un ensemble équipotent à R^n,

• muni d'une topologie (voir plus bas)
• doté d'une famille d'ouverts le recouvrant
• ouverts que l'on peut cartographier dans R^n par homéomorphismes
• tels que l'image réciproque, dans R^n, du passage d'une carte à une autre (dans l'intersection de ces deux cartes) soit un homéomorphisme

une métrique ?

Un champ de formes bilinéaires sur l'espace tangent (une forme bilinéaire sur chaque fibre de l'espace tangent)

un fibré?

Un champ de fibres sur une variété (les fibres étant souvent des groupes isomorphes)

une connexion?

Une application permettant de passer d'une fibre à une autre quand on suit un chemin dans la variété "où poussent ces fibres".

une boule [ouverte] ?

Ensemble de points d'un espace métrique situés à une distance d'un point (appelé centre de la boule) inférieure à un nombre positif qu'on appelle son rayon.

une topologie sur un ensemble E ?

Ensemble de parties de E

• contenant l'ensemble vide et E
• fermé pour la réunion (la réunion de 2 ouverts est un ouvert)
• fermé pour l'intersection dénombrable.

ouvert [de E] ?

Partie de E appartenant à une topologie définie sur E.

application continue

Application d'un espace topologique vers un autre tel que l'image réciproque d'un ouvert soit un ouvert.

homéomorphisme ?

Application bijective et bi continue (elle est continue et son inverse aussi).

difféomorphisme [de classe Ck] ?

Application d'une variété différentiable de classe Ck (c'est à dire dont les cartes sont différentiables de classes Ck) dans une autre qui soit à la fois bijective et bi différentiable de classe Ck.

co-variance ?

Invariance d'une loi de la physique quand observateur et systèmes observés subissent l'action d'un groupe.

pour ces sujets [et plein d'autres] la confusion arrive d'autant plus vite qu'aucun travail perso n'est fait.

Espaces fibrés et Connexions, Robert COQUEREAUX, 1 mai 2002
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/bo...ceforhtml.html
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/Es...Coquereaux.pdf

[invite6c093f92]

...

Merci pour ces précisions aux questions (même à celles n'ont posées), et pour les liens.
Quand à l'attention du lecteur, c'est (aussi) en relation avec ses connaissances, mais bon, je pense que la digréssion doit s'arreter, et mes excuses à Amanuensis pour celle-ci.
Cordialement,

[Amanuensis]

et mes excuses à Amanuensis pour celle-ci.

Pas nécessaires Le fil est fini, je ne m'attendais d'ailleurs pas que cela soit si long avant que quelqu'un mette les pieds dans le plat...