changement de base tenseur, matrice congruentes...etc

[membreComplexe12]

Bonjour tous,
je suis plutôt physicien donc je vais peut être vous poser une question bête mais que je trouve difficile
et s'il vous plait pourriez vous m'expliquer pour que je puisse enfin comprendre ça
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Plus jeune, on m'a appris que lorsque je manipule des matrices (application linéaires si mes souvenirs sont bons)
je peux faire une opération de changement de base avec quelque chose dans ce style (A est la matrice dans ancienne
base et B dans la nouvelle et P est une matrice de passage quelconque) :

Si part hasard mon changement de base est une rotation ou un autre truc qui fait que P est orthogonale alors on a :

mais ceci est un cas particulier, le cas général étant celui que j'ai écrit avec le "-1", je ne sais plus comment ça se démontre
mais je pense que je pourrais retrouver ceci sans trop de problèmes.
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Mon problème apparait maintenant lorsqu'on parle de tenseurs
Lorsqu'on parle de ces bestioles on ne pose plus le changement de base de cette façon mais comme ceci :

où si on est dans un cas particulier on a
mais cette fois le cas général est lorsqu'on a une transposée !!!

J'ai essayé de comprendre et apparemment l'explication viendrait du fait qu'un tenseur est une forme bilinéaire
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le problème est que je ne sais pas ce que c'est un forme bilinéaire, au nom je comprend que c'est quelque chose deux fois linéaire
mais en pratique ça ne me parle pas plus que ça et je n'arrive pas à faire la différence avec les matrices auxquels je suis plus habitué.

Du coup, pourriez vous m'expliquer, s'il vous plait, qu'elle est la différence entre une matrice dont j'ai l'habitude est une forme bilinéaire
et pourquoi un tenseur est une forme bilinéaire plutôt qu'une matrice ?

ce qui me perturbe dans tout ça c'est qu'en physique on représente un tenseur par une matrice donc pour moi les propriétés
que j'utilisais pour les matrices je devrais les utiliser pour les tenseurs (et donc utiliser le -1 plutôt que la transposée). Pourriez vous
m'expliquer s'il vous plait pourquoi ces différences ?

je vous remercie pour l'aide que vous pourrez m'apporter
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[Dicolevrai]

Salut !
Te répondre est vraiment difficile comme tu l'annonçais déjà. Il y a en fait énormement de confusions dans ton texte.
1-) Une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension est définie par la donnée d'une matrice ligne . Pour l'appliquer à un vecteur colonne , on calcule le produit .

2-) Une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension est définie par la donnée d'une matrice carré n lignes n colonnes . Pour l'appliquer à deux vecteurs colonne , on calcule le produit .

3-) Les matrices de passages et changement de base, c'est une autre histoire. Que tu as d'ailleurs plus ou moins bien conté.

4-) Pour les tenseurs, c'est une autre histoire. Tu peux lire cette page de wiki

[membreComplexe12]

merci Dicolevrai d'avoir pris le temps de repondre et pour ces premiers elements de réponse,
j'ai regardé sur wiki et j'ai trouvé :
Soit M une matrice représentant une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. Soient P et Q les matrices de changement de base respectivement dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. La matrice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases est M' = Q^{-1}MP. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. L'une des matrices utilisées est la matrice de changement de base, l'autre est son inverse : le tenseur est du type (1,1).

Si M est la matrice d'une forme bilinéaire définie sur V, alors, après un changement de base de matrice de passage P, la nouvelle matrice est M'=P^{t}MP. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. Les deux matrices sont relatives à P et nullement à son inverse : le tenseur est doublement covariant, du type (0,2)
le soucis est que je ne comprends pas trop pourquoi on a l'une ou l'autre des situations, ça vient surement des définitions complexes données en début de page wiki mais je ne vois pas le lien avec une transposition ou une inversion...

[membreComplexe12]

ce qui me gêne c'est que je n'arrive pas vraiment à faire la distinction entre matrice et tenseur d'ordre 2.

Par exemple, si je prends un changement de base d'un tenseur ça s'écrit :

mais si je vois ces tenseurs comme des matrices je dois faire


Je comprends que c'est la même chose dans le cas où P est orthogonale mais dans le font des choses ce n'est pas
la meme chose.... je n'arrive pas à faire le lien entre ces deux equations (

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

j'aurais plus de chance peut être en le déplacant en physique puisque les tenseurs sont bcp utilisés en physique ?

[Amanuensis]

Il y a plusieurs sortes de tenseur d'ordre 2. On distingue les cas (2,0), (1,1) et (0,2). Les trois cas peuvent se représenter par une matrice une fois des bases choisies.

Restons dans le cas des matrices carrées.

Le cas (1,1) correspond aux opérateurs linéaires de V dans V, cela correspond à l'interprétation usuelle des matrices.

Les autres cas correspondent aux opérateurs bilinéaires, par exemple de VxV dans K (le corps de base par exemple R).

On peut passer d'un cas à l'autre comme suit : si A est l'opérateur linéaire représenté par une matrice donnée, v -> Av, alors l'opérateur bilinéaire (2,0) est celui (v, w) -> v^tAw (Avec v^t la transposition).

Lorsqu'on applique un changement de base on veut (les primes ou " représentant les valeurs après changement de base) que (Av)' = A'v' dans un cas, et v^tAw = v'^tA"w' dans l'autre. En toute généralité on n'a pas A' et A" égales.

[membreComplexe12]

en fait je ne comprends pas la notion de valence pour un tenseur et il y a t il un lien entre cette transposée et l'inverse de la matrice ?

[membreComplexe12]

en physique (hors mécanique que je connais un peu) comment fait on les changements de base classiquement pour des quantités tensorielles ?
merci

[Amanuensis]

en physique (hors mécanique que je connais un peu) comment fait on les changements de base classiquement pour des quantités tensorielles ?

Je ne comprends pas la question.

Perso je raisonne sur des formules impliquant un tenseur et des vecteurs: les formules doivent rester valides après changement de base pour les vecteurs, ce qui implique la forme du changement pour le tenseur.