Transformée de Fourier en physique

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

Je souhaiterais avoir quelques explications sur la transformée de Fourier (je n'ai étudié que brièvement la théorie).

En gros la transformée de Fourier c'est une généralisation des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques ?

On reprend les formules des séries de Fourier et en gros on transforme les sommes en intégrales et on fait tendre T vers l'infini (je dis ça de manière bourrine mais c'est pour savoir si c'est bien le sens qu'il y a derrière).

le Cn des séries correspond à la transformée de Fourier.

Et comme on somme les Cn*exp(inwt) pour les séries; pour les transformées on intègre les TF(f)*exp(iwt)

En résumé :
TF(f) <-> Cn(f)
Sigma <-> Intégrale
T <-> +oo

Les questions que je pose maintenant sont plus liées à la physique.

En physique ondulatoire (en électromagnétisme par exemple), on est souvent amené à utiliser des ondes planes sous la forme d'exponentielles complexes.

Et ce que je ne comprends pas c'est que souvent, dans le cadre d'une équation différentielle par exemple, on va prendre comme fonction f(t)=exp(jwt), faire des calculs, trouver des relation entre f et les jw.

Et à la fin on dit "jw=d/dt" et on en déduit ainsi une équation différentielle pour un f quelconque.

Mais on est partit comme point de départ d'une fonction harmonique, les résultats qu'on en déduit ne devraient donc être valable que pour des fonctions de ce type !

En éléctricité je conçoit que le fait de remplacer les composants par les impédances harmoniques soit entièrement équivalent (car ça revient à remplacer d/dt par jw, on peut voir ça comme un changement de notation). Mais dans de nombreux cas, on manipule les quantités d'une manière que ce n'est possible qu'avec des fonctions harmoniques.

Donc en gros : pourquoi on a le droit d'étudier des équations différentielles en supposant f=exp(jwt), déduire des relations et faire un retour aux espaces classiques à la fin en remplaçant les jw par des dérivées.
Je sais qu'il y a un lien avec les TF mais je n'arrive pas à le voir de manière rigoureuse car
jw*exp(jwt) <=> (d/dt)*exp(jwt)
MAIS
jw*exp(jwt) NON EQUIVALENT A (d/dt)*f(t) avec f quelconque.

Merci !
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[b@z66]

On peut expliquer l'utilisation de la résolution des équations différentielles à l'aide des exponentielles complexes pour la simple raison que le passage des fonctions harmoniques réelles aux fonctions harmoniques complexes(et vice-versa) est simple (remplacement des cos et sinus par e(j) et e(J+pi/2), remplacement de f par w/2pi) et que ce passage maintient toutes les propriétés de linéarité(additivité, intégration, dérivation,...). Cela veut dire que l'on peut utiliser cette technique de remplacement des fonctions harmoniques réelles par des fonctions harmoniques complexes à condition que les équations différentielles restent linéaires. Pour être plus précis, à la fin de la résolution d'une équa.dif linéaire mise "sous forme complexe", on récupère généralement la partie réelle de la solution pour repasser la solution "sous forme réelle" or cette opération de récupération de la partie réelle est linéaire(la partie réelle de la somme de deux nombres complexes est la somme de la partie réelle de chacun de ces deux nombres) comme le sont aussi les opérations d'intégration ou de dérivation rencontrées dans une équa dif qui peuvent être aussi ramenées à des sommes ou différences.

[acx01b]

Et l'idée de base c'est que les exp(i w t) sont orthogonales entre elles et forment une base des fonctions continues et L2, ou encore de l'espace des distributions. Donc toutes tes solutions sont des "sommes" ou plutôt "des combinaisons linéaires" ou plutôt "des éléments de l'espace vectoriel (ou plutôt l'espace de Hilbert) engendré par " les exponentielle complexes.

C'est le théorème fondamentale de l'analyse spectrale :
dans 99.99999% des cas, en physique, ta solution f(t) on peut l'écrire comme une transformée de Fourier c'est à dire qu'on on peut supposer qu'il existe une fonction (ou une distribution) g(w) telle que


Note que ça marche pareil pour les fonctions de plusieurs variables.
Ton raisonnement de faire tendre T vers l'infini pour les séries de Fourier est très bien,
même si c'est difficile de le rendre rigoureux et qu'on prouve la transformée de Fourier autrement en général.
Tu peux aussi partir de la transformée de Fourier discrète (matricielle) qui est la plus facile à manipuler bien sûr (il suffit juste de montrer que la matrice est orthonormale donc que son inverse c'est sa transposée complexe).

PS : oublie les distributions, imagine plutôt que

où g(w) et f(t) sont des fonctions

[acx01b]

Tu as une équa diff linéaire

avec
pour on a

on suppose que sur :
on a clairement que sur

et donc puisque qu'on sait que les fonctions L2 et continues par morceau sont des transformées de Fourier (*),


(*) c'est clairement le point difficile à montrer. Pour ça on montre que si f est L2 et continue par morceau alors elle est égale à la transformée inverse de sa transformée de Fourier : c'est à dire que pour ce genre de fonctions la T.F. est inversible.

Ensuite on utilise le fait que les exponentielles complexes sont orthogonales et sont des vecteurs propres des systèmes linéaires invariants dans le temps (le membre de gauche de l'équa diff en est un de système linéaire invariant dans le temps) donc qu'on peut résoudre l'équa diff pour chaque séparément, ce qui amène à une équation polynomiale en en prenant la transformée de Fourier de g(t).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d411dcd]

Bonjour !

L'espèce de tour de magie qui transforme ton jw en d/dt et vice versa n'est en fait du qu'à la magie de la TF et de la TF inverse.

Soit f une fonction "gentille", id est de classe C1, intégrable sur .
Nous allons définir sa TF de la manière suivante :

et la TF inverse :


Je te laisse calculer la dérivée de f en utilisant la formule de la TF inverse ? (Tu peux supposer que tu as le droit de rentrer la dérivée sous l'intégrale car ta fonction f est "gentille" et qu'on fait de la physique. Si on avait fait des maths... )

Bonne journée !

[invite7d411dcd]

Les hypothèses que j'ai données pour la TF et le critère de Leibniz (qui nous permet de dériver sous le signe intégrale) sont un peu légères, mais bon, en physique, tout est !

[acx01b]

Oui dans un second temps on peut commencer à faire la transformée de Fourier de l'équa diff directement. Comme tous les systèmes linéaires invariant dans le temps ce sont des convolutions qui deviennent des produits avec la T.F.

Par contre, si on a g(t) définie pour ça pose problème : g(t) n'est plus forcément L2 et même si elle l'est on ne sait pas tout de suite que f(t) est L2. Donc soit on étudie la transformée de Fourier des distributions, soit on utilise la transformée de Laplace si on arrive à dire que est L2 pour un K suffisamment grand.
En fait la plupart des gens font comme si le problème ne se posait, alors qu'il se pose pour certains g(t) et qu'on peut même obtenir des résultats délirant/faux.