chute d'une bille dans un fluide : j'ai cassé les maths >_<

[almaro35]

Bonjour à tous !

je suis sur un problème de chute libre d'une bille dans un fluide et je cherche à déterminer sa vitesse limite.

après avoir fait le bilan des forces, appliqué le PFD, fait une projection sur l'axe (Oz), et dit qu'à la vitesse limite l'accélération est nulle, je me retrouve avec cette formule :

v_lim = 2/9*(rho_b*(r_b)²*g/nu_f)*(1-rho_f/rho_b)

avec
rho_b : masse volumique de la bille
rho_f : masse volumique du fluide
r_b : rayon de la bille
nu_f : viscosité du fluide
g : accélération de la pesanteur

j'ai fait une simulation avec une goutte d'eau dans l'air, et les sites que j'ai consultés indiquent qu'on est sensé trouver une vitesse limite de 10m/s pour une goutte considérée sphérique de rayon 1mm, ce qui semble raisonnable. ils utilisent la même formule que celle que j'ai trouvée.

mais quand je fais les calculs, je trouve 127m/s...

voici les données numériques que j'ai utilisées :

rho_b : 1000 kg/m3 (eau)
rho_f : 1,2 kg/m3 (air)
r_b : 1.10^-3m
nu_f : 1,71.10^-5 Pa.s
g : 9,81 m/s²

soit je suis un gros nul en maths, soit il y a qqch que je fais de travers...

quelqu'un peut m'aider ?
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[gatsu]

Je trouve la meme chose que toi et il me semble que les valeurs numeriques sont bonnes.

Maintenant, le fait qu'on trouve une si grande vitesse veut peut etre dire qu'on est pas en regime de friction fluide lineaire mais turbulent...

Ceci semble etre confirme ici ou il est suggere que la formule que tu utilises n'est valable que pour des gouttes de taille inferieure a 0.05 mm !

[stefller]

Petite erreur de lecture dsl

[NicoC14]

Bonjour,

De tête, l'application numérique me semble correcte.
Cependant, vous utilisez la loi de Stokes, qui n'est pas valide dans votre cas, comme vous l'a dit gatsu.

Je n'ai pas étudié son lien, mais j'ajoute que s'il est spécifique aux gouttes d'eau, il y sera tenu compte d'une part du coefficient de traînée, et d'autre part de la déformation de la goutte. Ce deuxième point n'intervient pas bien sûr dans le cas d'une bille en verre par exemple, donc à ne pas transposer tel quel selon votre problème
Je précise car j'ai cru comprendre que l'application de votre formule à la goutte d'eau était un test rapide et vérifiable (parfois, en voulant faire un test simple, on s'aperçoit qu'on fait intervenir des paramètres supplémentaires nous compliquant la vie.. ça m'arrive tous les jours ).

D'ailleurs, peut être que pour votre application initiale, la loi de Stokes convient.
A vous d'étudier le domaine de validité, et vos conditions expérimentales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[almaro35]

en fait cet exemple, je le cite car il est donné dans un exercice que j'ai trouvé sur internet.

dans mon cas, je cherche à déterminer la vitesse de chute d'une bille dans un fluide visqueux et je ne vois pas comment utiliser une autre méthode que le PFD. la bille est indéformable, le fluide est newtonien.

hors pour une bille en aluminium de 5mm de diamètre et un fluide de densité proche de celle de l'eau et de viscosité proche de celle du miel, je trouve une vitesse limite de... 68m/s...

[triall]

Vous pouvez peut être essayer cette formule en régime turbulent :
F = Cx . S. 1/2 . ro . v² , S surface frontale , ro :masse volumique de l'eau 1000kg/m3 Cx c'est un nombre sans dimension , pour une goutte d'eau CX=0.04 , selon la littérature , l'équation est bonne au point de vue dimension ...
En appliquant F-mg= dv/dt = 0 pour la vitesse limite l'accélération dv/dt est nulle, on a
Vitesse limite=rac(2mg/Cx.s.ro ) .sauf erreur !
Que cela donne -t-il avec cette équation ?

[almaro35]

ça ne peut pas être un régime turbulent, j'ai déjà effectué cette étude au préalable. intuitivement, on se rend bien compte qu'une bille de 5mm de diamètre dans du miel ne peut descendre que lentement

[triall]

@almaro
Peut-être, mais que donne l'application numérique de l'équation que je vous propose, c'est à vous "de vous y coller" , c'est pas grand chose, Cx=0.04; S=pi.r²... combien on trouve, s'il vous plait pour la vitesse limite de la goutte d'eau avec cette équation?

[almaro35]

je trouve 0,64m/s. c'est déjà plus vraisemblable. par contre dans mon cas on ne peut pas négliger la poussée d'archimède devant le poids

[iori]

La formule est juste à bas Reynolds donc dans des fluides visqueux.
Je pense qu'il y a des problèmes pour l'application numérique, pour une bille d'acier (densité 8) de diametre 5mm dans du miel (densité 1.4 et viscosité 10 Pa.s) je trouve 9*10^-4 m/s ce qui me semble normal

[almaro35]

aaaaaaaaaaah.... j'ai utilisé la masse volumique et pas la densité donc j'ai un facteur 1000 qui traine... ça passe au niveau des unités si tu prends la densité ??

[almaro35]

non ça passe pas, tu as besoin de qqch en kg/m3 pour sortir des m/s...

[LPFR]

aaaaaaaaaaah.... j'ai utilisé la masse volumique et pas la densité donc j'ai un facteur 1000 qui traine... ça passe au niveau des unités si tu prends la densité ??

Bonjour
Dans les formules physiques est extrêmement rare que l'on utilise ce qu'en France on appelle "densité" (est qui est la "densité relative" dans le reste du monde).
Ce qui figure dans les formules est la masse volumique ("densité" dans le reste du monde).
Donc si vous trouvez une formule avec "density", il s'agit de la "masse volumique" et non de la "densité".
Au revoir.

[almaro35]

oui c'est bien ce qu'il me semblait. merci mais du coup ça n'aide pas mon cas... comment une bille peut tomber à 68m/s dans un milieu visqueux??

[LPFR]

Bonjour.
Vous pouvez lire ce document sur la vitesse de chute de goutes de pluie:
http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/...A%3E2.0.CO%3B2

Vous pourrez constater qu'il ne s'agit pas d'appliquer une seule formule.
Au revoir.

[obi76]

Bonjour,

en regardant vite fait (souvenirs...) le papier que vous a donné LPFR, sur la figure 1 on voit que pour de grands Reynolds particulaires les particules solides ont un coefficient de trainée qui reste décroissant en fonction du Reynolds, alors que pour des gouttes (liquides et donc déformables), il ré-augmente à partir d'un Re de 1000/2000.

C'est donc bien la déformation des gouttes qui fait que leur vitesse limite est plus faible que celle qu'on obtiendrait avec des particules solides.

A ce propos, un problème intéressant : les grêlons étant indéformables, et ayant une taille similaire à celle des gouttes de pluie (petits grêlons et grosses gouttes), il pourrait être marrant de comparer leur vitesse de chute (ou mesurer) à diamètre égal.

[NicoC14]

Bonjour,

oui c'est bien ce qu'il me semblait. merci mais du coup ça n'aide pas mon cas... comment une bille peut tomber à 68m/s dans un milieu visqueux??

Explicitez vos valeurs, et refaites votre calcul
Comme iori, en calculant de tête un ordre de grandeur, j'obtiens quelque chose de tout à fait différent de vous.