Référentiels en relativité générale

[VincentSe]

Bonjour,

Je considère un quadrillage 3D de règles rigides, aux intersections duquel sont accrochées des horloges. Le tout est en chute libre dans un champ de gravité.

J'ai l'impression d'avoir construit une carte locale de l'espace-temps avec ces règles et ces horloges, ie un référentiel. Et comme ces instruments sont physiques, je prétends qu'ils définissent également 4 vecteurs de base en chaque intersection, pour lesquels la matrice de la métrique est diagonale (Minkowski).

Mais cette matrice constante dans ce référentiel implique une courbure nulle, ce qui viole la gravité.

Quelqu'un voit-il l'erreur ?

Merci,
Vincent
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[lucas.gautheron]

Bonjour,

J'ai déjà du mal avec les "règles rigides". Précisez votre pensée.
Souvent les gens utilisent des cas inconsistants avec une théorie et s'étonnent d'arriver à des absurdités.

A+

[VincentSe]

Par exemple en titane ou tout autre matériau très dur.

Je veux une métrique constante sur les règles, de la même façon que la quadri-vitesse des horloges est de norme c^2.

[Deedee81]

Salut,

Bienvenue sur Fututa VincentSe.

Aucun matériau n'est infiniment rigide. C'est même déjà incompatible avec la relativité restreinte : penser à une barre dont on pousse une extrémité (si elle était infiniment rigide, l'autre bout bougerait "instantanément").

Si ton quadrillage est construit dans une région localement quasi plate, en se déplaçant vers une zone avec courbure, il subirait une déformation. C'est inévitable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[VincentSe]

Merci de vos réponses.

Effectivement je conçois que la gravité d'un trou noir déformerait le titane comme si c'était de la pâte à modeler

Alors ma question est plutôt la différence avec les horloges : leur quadri-vitesse est de norme constante à c^2, pour toute gravité et toute vitesse. Pourquoi est-ce que le vecteur temps propre reste de même norme alors que les vecteurs d'espace propre se déforment ?

[Deedee81]

Alors ma question est plutôt la différence avec les horloges : leur quadri-vitesse est de norme constante à c^2, pour toute gravité et toute vitesse.

'c' en fait, pas 'c²', mais ça ne change pas ta question.

Pourquoi est-ce que le vecteur temps propre reste de même norme alors que les vecteurs d'espace propre se déforment ?

Tout d'abord, les vecteurs sont définis en un point. Il faut éviter de se représenter un vecteur comme une petite flèche ayant une certaine taille. C'est trompeur, particulièrement en relativité générale. Et définir les vecteurs comme la distance entre points d'un quadrillage dans l'espace-temps courbe est une catastrophe !!!!

On n'échappe pas à un minimum de géométrie différentielle.

En chaque point, on définit un espace tangent, que tu peux voir comme une grille si tu veux. Et on va définir les vecteurs dans cet espace tangent qui est une variété de Minkowski. Notons que ça revient à dire qu'en ce point on a différentes trajectoires qui passent et qu'on définit les vecteurs comme étant les dérivées directionnelles en ce point le long de ces trajectoires. Selon les goût, on peut mieux visualiser une manière ou l'autre.

Entre deux points différents, il n'y a a priori aucune relation. Il serait totalement faux de parler d'un déplacement de cette grille. Les espaces tangents en deux points sont des espaces différents sans rapport entre eux.

Donc, quand on déplace un vecteur d'un point à un autre, il n'y a absolument aucune raison qu'il se déforme. On doit définir une manière de faire. Par exemple, on définit le transport parallèle le long d'une géodésique. Ca revient à garder le vecteur de norme constante et à garder constante son orientation par rapport à la (tangente à la) géodésique.

Grâce à cette méthode, on peut comparer des vecteurs situés en des points différents. Soit un champ V(x) de vecteurs en fonction du point x. Pour comparer V(x1) et V(x2) on va, par exemple, déplacer V(x1) parallèlement jusqu'en x2 et là, dans le même espace tangent, on peut comparer. Note que cette comparaison va être différente selon le chemin suivi lors du transport parallèle ! Cette différence est liée à la courbure.

Revenons au vecteur quadrivitesse. Ce vecteur, du fait de sa définition, est de norme = 1 dans chaque espace tangent. En passant d'un point à un autre il n'y a pas de raison d'avoir un changement, on a des vecteurs dans des espaces tangents différents. Pour info, note que si on déplace parallèlement ce vecteur le long de la trajectoire de l'objet il reste constamment tangent à cette trajectoire.

[VincentSe]

Ok je dégaine la geodiff aussi

Une horloge définit une ligne d'univers de genre temps, dont le paramètre est le temps affiché par l'horloge. Cette courbe paramétrée définit un vecteur tangent en chacun de ses points, appelé quadri-vitesse, que l'on postule de métrique c^2 pour toute gravité et toute vitesse.

Je me demande si les règles marchent de la même façon. Une règle définit une ligne d'univers de genre espace, la coordonnée étant les graduations de la règle. On a donc aussi des vecteurs tangents. Sont-ils postulés de métrique -1 pour toute gravité et toute vitesse ?

Si oui la diagonale de la matrice métrique en chaque intersection du quadrillage est fixée à (-1,-1,-1,c^2). Des termes extra-diagonaux peuvent apparaître et mettre de la courbure, mais cette contrainte diagonale me semble déjà absurde.

[Deedee81]

Salut,

Ok je dégaine la geodiff aussi

Une horloge définit une ligne d'univers de genre temps, dont le paramètre est le temps affiché par l'horloge. Cette courbe paramétrée définit un vecteur tangent en chacun de ses points, appelé quadri-vitesse, que l'on postule de métrique c^2 pour toute gravité et toute vitesse.

Je me demande si les règles marchent de la même façon. Une règle définit une ligne d'univers de genre espace, la coordonnée étant les graduations de la règle. On a donc aussi des vecteurs tangents. Sont-ils postulés de métrique -1 pour toute gravité et toute vitesse ?

Je ne suis pas bien sûr de comprendre la question. Mais ma réponse serait oui. On choisit des étalons qui, par construction, sont tous identiques (par exemple basés sur une loi physique).

Si oui la diagonale de la matrice métrique en chaque intersection du quadrillage est fixée à (-1,-1,-1,c^2). Des termes extra-diagonaux peuvent apparaître et mettre de la courbure, mais cette contrainte diagonale me semble déjà absurde.

Absurde ? Pourquoi cela ???? Quelle que soit la métrique, il est toujours possible de trouver un système de coordonnées où elle est localement diagonale. C'est d'ailleurs une généralité pour les matrices. Toute matrice inversible est diagonalisable.

Si j'ai souligné "local" ce n'est pas pour Rien. Il est généralement impossible d'avoir un système de coordonnée global tel que la métrique serait diagonale en tout point. Rien n'empêche de choisir en tout point des repères inertiels avec une métrique localement diagonale, mais alors il est impossible de lui faire correspondre une métrique globale. Ce sont des "repères non coordonnées".

Inversement, soit un système de coordonnées global quelconque. On peut en chaque point lui faire correspondre un repère. Mais ce repère ne sera en général pas inertiel.

[lucas.gautheron]

Bonjour

Toute matrice inversible est diagonalisable.

euh.. non ?

[Deedee81]

euh.. non ?

J'ai dit une co....rie ? Tu aurais un contre-exemple ?

Ceci dit, pour la métrique, c'est bien le cas. Elle est toujours diagonalisable (sauf présence de singularités, mais ça, ça n'étonnera personne).

[GrisBleu]

Vincent : on peut toujours trouver un repère où la métrique est diagonale : celui en chute libre (expérience de l'ascenceur)
Cdlt

[coussin]

J'ai dit une co....rie ? Tu aurais un contre-exemple ?

L'exemple là

[Amanuensis]

J'ai dit une co....rie ? Tu aurais un contre-exemple ?

Plus simplement, une matrice de rotation de 1/4 de tour dans R², au hasard...

La matrice de la métrique est symétrique...

[Deedee81]

Vincent : on peut toujours trouver un repère où la métrique est diagonale : celui en chute libre (expérience de l'ascenceur)
Cdlt

Oui, c'est tout à fait ça.

Plus simplement, une matrice de rotation de 1/4 de tour dans R², au hasard...

La matrice de la métrique est symétrique...

A ben oui, je suis parfois vraiment tête en l'air

Merci Amanuensis,

[Amanuensis]

Je considère un quadrillage 3D de règles rigides, aux intersections duquel sont accrochées des horloges. Le tout est en chute libre dans un champ de gravité.

J'ai l'impression d'avoir construit une carte locale de l'espace-temps avec ces règles et ces horloges, ie un référentiel.

Non. Ce qui a été construit est un "champ de tétrades", cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrad..._relativity%29, et plus précisément un champ de tétrades tel qu'elles ont toutes comme matrice de produit scalaire la matrice de Minkowski. (À partir d'une tétrade on construit les 16 produits scalaires .)

On ne peut pas toujours construire un système de coordonnées "compatible" avec un champ de tétrades, c'est à dire tel que les vecteurs des tétrades soient aussi les vecteurs de base pour le système de coordonnées.

Pour citer l'article en anglais (à lire pour les détails, et se familiariser avec les tétrades...)

Coordinate basis vectors have the special property that their Lie brackets pairwise vanish. Except in locally flat regions, at least some Lie brackets of vector fields from a frame will not vanish.

En d'autres termes, la construction proposée ne peut donner un système de coordonnées que dans le cas d'une région plate de l'espace-temps... L'obstruction est la non-nullité des crochets de Lie.

[VincentSe]

Merci Amanuensis.

Oui je me doutais que l'obstruction venait des crochets de Lie. Pourtant j'avais l'impression d'avoir construit plus que 4 champs de vecteurs, puisque les règles et les horloges sont graduées : je peux associer des coordonnées à un évènement de l'espace-temps, quitte à interpoler.

Plus généralement c'est la question de l'observateur. Est-ce qu'un observateur définit une carte locale de l'espace-temps, ou seulement 4 vecteurs de base dans l'espace tangent, en chaque point de sa ligne d'univers ?

[Deedee81]

Si c'est utile, j'avais trouvé une bonne explication sur les tétrades :

http://casa.colorado.edu/~ajsh/phys5770_08/grtetrad.pdf

(à condition de connaitre la RG sous sa formulation habituelle)

[Amanuensis]

Oui je me doutais que l'obstruction venait des crochets de Lie. Pourtant j'avais l'impression d'avoir construit plus que 4 champs de vecteurs, puisque les règles et les horloges sont graduées : je peux associer des coordonnées à un évènement de l'espace-temps, quitte à interpoler.

Oui, mais on n'aura pas chaque vecteur comme le gradient de la coordonnée correspondante (ce qui est la définition des vecteurs de base associés au système de coordonnées).

(Une bonne manip est d'étudier le cas des observateurs statiques dans l'espace-temps de Schwarzshild.)

Plus généralement c'est la question de l'observateur. Est-ce qu'un observateur définit une carte locale de l'espace-temps, ou seulement 4 vecteurs de base dans l'espace tangent, en chaque point de sa ligne d'univers ?

La ligne d'Univers d'un observateur ne définit directement qu'un vecteur temporel (le tangent), et la coordonnée temporelle correspondante (temps propre). Ensuite, si on associe à l'observateur un systèmes d'axes, on va "définir" trois vecteurs spatiaux et ainsi une tétrade. Cela donne bien une base locale pour l'espace tangent en chaque point de la ligne, et donc un champ de tétrades le long de la ligne.

Mais pour passer à une "carte locale", c'est à un dire à système de coordonnées couvrant un ouvert de l'espace-temps contenant la ligne d'Univers (ou une portion connexe de ladite), faut rajouter des tas de choses ; cela ne se déduit pas du champ de tétrades défini seulement sur la ligne d'Univers.

Il n'y a pas de manière "canonique" de prolonger les axes, comme notre intuition "euclidienne" nous le fait croire. Et pas de manière à le faire de manière cohérente pour tous les observateurs.

[VincentSe]

Sans aller jusqu'à l'espace-temps de Schwarzshild, des crochets de Lie se trouvent dans le plan R2 muni des 2 champs de vecteurs


Sur cet exemple on voit que le quadrillage se déchire : les champs de vecteurs ne commutent pas, ce n'est pas pareil de suivre l'un puis l'autre ou l'inverse.

Plus haut je disais que je pouvais interpoler mon quadrillage de règles mais c'est peut-être précisément le problème. Si les coordonnées ne commutent pas, l'interpolation au milieu d'un cube demande un ordre dans l'application des champs de vecteurs, ce qui n'a pas de sens physiquement.

[Deedee81]

Salut,

Je ne comprend pas trop bien ton objectif. Pourquoi ne pas choisir un système de coordonnées purement arbitraire et quelconque ? Ou, si tu cherches à le rattacher à des objets physiques, pourquoi ne pas le rattacher aux événements (plutôt qu'à des règles) avec des signaux (lumineux par exemple) entre événements (ça cadre bien avec le philosophie RG, comme le dit Kip Thorne : "l'espace-temps est définit par ce qu'il s'y passe") ?

Dans les deux cas, tu as ton "quadrillage".

[VincentSe]

Exactement, je cherche à rattacher la géodiff de l'espace-temps à des objets physiques concrets et mesurables, comme des règles et des horloges.

Le point de départ de ma réflexion était la métrique de Schwarzschild et les coordonnées Kruskal-Szekeres à l'intérieur de l'horizon des évènements. Ma première question était "c'est quoi ?". Quel est le sens physique des coordonnées r et t hors de l'horizon ? Une est de genre temps, correspond-elle à une horloge ? L'autre à une règle ?

A l'intérieur du trou noir ça devient encore plus nébuleux. La singularité centrale est étalée sur toute une hyperbole par les coordonnées de Kruskal-Szekeres, et tous les vecteurs de genre temps s'y dirigent. Sans parler du trou blanc associé.

Ok pour utiliser des rayons lumineux, mais ils n'expliquent que les lignes d'univers de genre lumière : ni celles d'espace, ni celles de temps.

Ca me paraissait trop de questions pour un seul post, alors j'ai essayé de restreindre un peu. Et puis je commence à être convaincu par les champs de tétrades.

[Amanuensis]

Si on cherche quelque chose de "physique", les champs de tétrade sont une bonne piste. En "classique" tout se confond ; en RG on a plusieurs concepts qu'il est intéressant de distinguer et aussi d'utiliser, selon "l'image" qu'on cherche à avoir.

Dans l'exemple donné au début, on a à la fois un système de coordonnées (donné par les objets et les horloges) et un champ de tétrades (donné par les règles et le "mouvement" des objets ou des horloges), mais ils ne vont pas "mathématiquement" ensemble, alors qu'ils sont définis par "les mêmes objets". C'est en soi-même intéressant, cela peut aider à mieux comprendre les différents concepts.

À l'opposé, un système de coordonnées quelconque n'est qu'un outil, dont le sens physique est facultatif.

[Amanuensis]

A l'intérieur du trou noir ça devient encore plus nébuleux. La singularité centrale est étalée sur toute une hyperbole par les coordonnées de Kruskal-Szekeres, et tous les vecteurs de genre temps s'y dirigent. Sans parler du trou blanc associé.

Les diagrammes de Penrose me semblent être un très bon outil pour aider à clarifier ces aspects. Divers liens avaient été donnés dans des messages anciens sur le sujet.

Il s'agit là d'un choix très particulier de systèmes de coordonnées, qui sont "conformes", c'est à dire tels que la matrice de la métrique soit Minkowski fois un facteur scalaire variable en fonction de l'événement. Une autre manière de garder trace de certaines propriétés physiques.

[Deedee81]

Salut,

Les diagrammes de Penrose me semblent être un très bon outil pour aider à clarifier ces aspects.

Aurais-tu un bon lien sur le sujet ?

J'ai une très bonne présentation dans le livre de Fulling sur la théorie quantique des champs en espace-temps courbe. Mais je ne vais pas conseiller l'achat d'un livre juste pour une petite partie.

[Amanuensis]

Bon, je ne sais pas, mais j'avais trouvé ce texte de Motl http://motls.blogspot.ca/2008/11/why...nto-black.html particulièrement élucidant (j'avais donné ce lien l'année dernière).

(Le texte est sur les trous noirs, mais il y a une explication concise des diagrammes de Penrose (ou de Penrose-Carter) à partie de "What are Penrose diagrams".)

[Amanuensis]

Un petit retour en arrière...

Le terme "crochet de Lie" est sûrement trop technique pour beaucoup. Dans le contexte, c'est juste une manière compliquée de parler d'une propriété plus usuellement connue: la commutativité des dérivées partielles. Rien de mystérieux donc.

En effet, si on prend un système de coordonnées, les vecteurs de base de l'espace tangent obtenus à partir des coordonnées peuvent être vus comme les dérivées partielles par rapport aux composantes. Dire que le crochets de Lie sont nuls est la même chose que dire que les dérivées partielles commutent.

Bref, pour qu'un champ de bases (ou un champ de tétrades) correspondent à des coordonnées, faut que les dérivées partielles commutent, donc que les crochets de Lie soient nuls.

Référence (par exemple): http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node28.html (excellent cours, par ailleurs--cité dans la biblio virtuelle de Rincevent)

[Deedee81]

j'avais trouvé ce texte de Motl particulièrement élucidant

Merci beaucoup. J'avais déjà cherché sans trouver quelque chose de satisfaisant (et j'avais raté ton lien). J'aime beaucoup Motl.

C'est en anglais, mais le livre de Fulling aussi. Faudra que je me fende un de ces quatre d'une petite explication en français des diagrammes de Penrose avec les transformations conformes et tout et tout que je mettrai sur scribd.

Si j'ai le temps (difficile de tout faire).

[Amanuensis]

tout que je mettrai sur scribd.

Pourquoi pas sur FS, et ouvert aux critiques (constructives)?

Par ailleurs, juste traduire le texte de Motl, et l'attribuer à Motl serait déjà quelque chose pour ceux auxquels l'anglais est un obstacle.

[Deedee81]

Pourquoi pas sur FS, et ouvert aux critiques (constructives)?

Ca dépend de la taille (et faut déjà que je le fasse. Pas maintenant, je suis en plein dans les fibrés).
EDIT le fibrés c'est le soir. Là maintenant c'est (après miam miam) plutôt "bug dans les annulations de dettes"

Par ailleurs, juste traduire le texte de Motl, et l'attribuer à Motl serait déjà quelque chose pour ceux auxquels l'anglais est un obstacle.

Ah tiens, pourquoi n'y ai-je pas pensé ? surtout qu'il n'est pas si long.

Si une bonne âme à un peu de temps....