Repère dans l'espace-temps de Minkowski

[Le petit belge]

Bonsoir,

Je me place dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski, càd dans le cadre de la relativité restreinte pour ma question (pas de relativité générale).

1) A chaque référentiel d'inertie muni d'une horloge synchronisée, on associé dans l'espace-temps de Minkowski un repère (dont la base associée est, en particulier, "orthonormée" pour la métrique). On peut passer d'un repère d'inertie (ou repère de Lorentz) à l'autre par changement de base dont la matrice appartient au groupe de Lorentz. Ma question: Que représentent physiquement les repères de l'espace-temps de Minkowski qui ne sont pas des repères de Lorentz, ie pour lesquels la matrice de changement de base pour passer d'une repère de Lorentz à ce nouveau repère n'est pas une matrice du groupe de Lorentz? Que représentent-ils physiquement?
Selon moi, il ne peut pas s'agir de référentiels "accélérés" car une telle loi de transformation (pour passer d'une référentiel d'inertie à un référentiel accéléré) ferait intervenir des termes non linéaires en les coordonnées, ce qui ne peut pas représenter un changement de repère).

Merci d'avance pour votre réponse
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[Deedee81]

Salut compatriote,

Je me place dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski, càd dans le cadre de la relativité restreinte pour ma question (pas de relativité générale).

1) A chaque référentiel d'inertie muni d'une horloge synchronisée, on associé dans l'espace-temps de Minkowski un repère (dont la base associée est, en particulier, "orthonormée" pour la métrique). On peut passer d'un repère d'inertie (ou repère de Lorentz) à l'autre par changement de base dont la matrice appartient au groupe de Lorentz. Ma question: Que représentent physiquement les repères de l'espace-temps de Minkowski qui ne sont pas des repères de Lorentz, ie pour lesquels la matrice de changement de base pour passer d'une repère de Lorentz à ce nouveau repère n'est pas une matrice du groupe de Lorentz? Que représentent-ils physiquement?
Selon moi, il ne peut pas s'agir de référentiels "accélérés" car une telle loi de transformation (pour passer d'une référentiel d'inertie à un référentiel accéléré) ferait intervenir des termes non linéaires en les coordonnées, ce qui ne peut pas représenter un changement de repère).

En effet, un tel repère accéléré ne peut d'ailleurs qu'être local, il y a même un horizon (voir repère de Rindler, par exemple dans Wikipedia).

Mais si tu ne parles pas des repères accélérés, je ne comprend pas très bien de quels repères tu veux parler. Tout repère inertiel (ou plutôt la base) se déduit d'un autre par une transformation de Lorentz. Pour être plus précis, une transformation de Poincaré (en ajoutant les translations).

Tu aurais un exemple précis ?

[Amanuensis]

Faudrait déjà définir ce que couvre les termes "repère" et "référentiel" dans cette discussion (1). Surtout que le message #1 semble utiliser les deux comme équivalents.

(1) Comme bien trop souvent, ils sont utilisés comme s'ils avaient un sens évident, erreur qui, àmha, est à l'origine de bien des difficultés.

Ensuite, quand on parle de "changement de base", on parle de systèmes de coordonnées, ce qui est encore autre chose. Et, toujours ensuite, la notion de "repère de Lorentz" reste à définir, et la définition donnée dans la question est insuffisante ; le concept semble couvrir celui de "référentiel inertiel" (2), auquel l'usage lie des systèmes de coordonnées particuliers (ceux tels que les composantes de la métriques sont partout diag(1,-1,-1,-1) à des constantes multiplicatives près), qu'on va nommer "systèmes de coordonnées de Lorentz" ici.

(2) Et tout référentiel non inertiel est dit "accéléré".

Si on remplace la question par :

Que représentent physiquement les systèmes de coordonnées de l'espace-temps de Minkowski qui ne sont pas des systèmes de coordonnées de Lorentz (i.e., liés à des référentiels inertiels)? Que représentent-ils physiquement?


la question commence à être plus claire, mais bute maintenant sur "représenter physiquement".

Pour un objet suivant une trajectoire non inertielle (y compris le cas d'une rotation sur lui-même), utiliser un système de coordonnées tel que ses points y soient en première approximation immobile (e.g., chaque molécule garde à peu près les mêmes coordonnées spatiales) a un sens physique local très clair, celui venant de la propriété indiquée.

Là où ce que cela représente physiquement laisse à désirer est quand on s'éloigne (spatialement ou temporellement) de l'objet: le système de coordonnée est (comme tout système de coordonnées) arbitraire, et, n'étant plus contraint par la propriété locale à l'objet, peut être n'importe quoi. Ce que cela est supposé représenter physiquement est à étudier au cas par cas, et consiste à analyser l'usage que celui qui propose le système de coordonnées a de ce système.

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Autre point

Selon moi, il ne peut pas s'agir de référentiels "accélérés" car une telle loi de transformation (pour passer d'une référentiel d'inertie à un référentiel accéléré) ferait intervenir des termes non linéaires en les coordonnées, ce qui ne peut pas représenter un changement de repère).

Je ne comprends pas le raisonnement proposé. En quoi la linéarité ou non affecterait la notion "accéléré" ou non d'un "référentiel"?

[Amanuensis]

En effet, un tel repère accéléré ne peut d'ailleurs qu'être local

Non, selon ma compréhension des termes utilisés: il y a des référentiels non inertiels qui couvrent tout l'espace-temps de Minkowski. (Évidemment, il peut y avoir d'autres sens à "repère accéléré" et à "local"...)

(J'utilise les définitions suivantes:

- référentiel: partition en lignes d'Univers ;
- référentiel inertiel: chaque ligne du référentiel est une ligne d'Univers inertielle ;
- ligne d'Univers inertielle: ligne d'Univers dont l'accélération propre est partout nulle.

Et l'accélération propre a à la fois une définition théorique et une définition expérimentale, l'accélération propre étant ce qui est mesurée par un ensemble d'accéléromètres et de gyromètres.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Non, selon ma compréhension des termes utilisés: il y a des référentiels non inertiels qui couvrent tout l'espace-temps de Minkowski. (Évidemment, il peut y avoir d'autres sens à "repère accéléré" et à "local"...)

J'utilisais plutôt la définition liée à la relativité restreinte, c'est-à-dire où les horloges du repère sont synchronisées selon la méthode d'Einstein. Dans ce cas, avec les repères accélérés, on tombe tout de suite sur des difficultés et on doit utiliser des repères locaux ou limité à un domaine.

Avec une définition beaucoup plus large, celle que tu utilises, utilisée aussi en relativité générale, là plus de problème. Mais comme on est dans Minkowski, j'ai préféré resté restreint, jeu de mot volontaire (c'est ch... ces termes dans des domaines aussi proches qui peuvent avoir des changement de signification, grrrrr).

Ceci dit, la question, reste posée pour moi. Même si ton explication couvre un assez large éventail. Si le repère est non accéléré, donc s'il est inertiel, quel repère LePetitBelge a en tête quand il parle de repères qui ne se transforment pas l'un dans l'autre (plutôt leur base) par une transformation de Lorentz ???

J'espère qu'il va repasser pour préciser. Ce n'est pas clair.

[Amanuensis]

J'utilisais plutôt la définition liée à la relativité restreinte, c'est-à-dire où les horloges du repère sont synchronisées selon la méthode d'Einstein.

La définition que j'ai indiquée s'applique en RR, et ne parle pas de la coordonnée temporelle, celle-ci "s'ajoute" à un référentiel "au sens étroit".

Une question intéressante (je n'ai pas la réponse "sous la main") est si on peut construire une coordonnée temporelle par la synchronisation d'Einstein-Poincaré entre lignes du référentiel dans le cas de certains référentiels non inertiels en RR, ou au contraire si c'est une propriété particulières aux référentiels inertiels couvrant tout l'espace-temps.

[Deedee81]

La définition que j'ai indiquée s'applique en RR, et ne parle pas de la coordonnée temporelle, celle-ci "s'ajoute" à un référentiel "au sens étroit".

Je suis d'accord.

Une question intéressante (je n'ai pas la réponse "sous la main") est si on peut construire une coordonnée temporelle par la synchronisation d'Einstein-Poincaré entre lignes du référentiel dans le cas de certains référentiels non inertiels en RR, ou au contraire si c'est une propriété particulières aux référentiels inertiels couvrant tout l'espace-temps.

Tiens, je me suis posé la même question tout à l'heure. Faudrait se pencher là dessus (je ne suis pas sûr que ce soit facile).

[Le petit belge]

Un grand merci pour vos réponses, il semblerait que votre niveau de RR dépasse de loin celui que j'ai en ce moment. Ma question manquait sans doute de rigueur, mais je n'ai eu qu'un cours très basique de RR jusqu'à présent (+ quelques lectures sur le coté). Je vais essayer de préciser (ca permettra aussi de déceler d'éventuelles erreurs lors de la construction):

Espace-temps de Minkowski: espace affine euclidien de dimension 4, dont les points sont les évènements.
Repère dans l'espace-temps de M: Donnée d'un point O (origine du repère) et d'une base (e0, e1, e2, e3) de l'espace vectoriel des quadrivecteurs qui sous-tend la structure de l'espace affine.
On sait qu'il existe une classe particulière de référentiels où le principe d'inertie est valable, appelés référentiels d'inertie (ici toujours sans considérer la gravité). En choisissant un repère orthonormé dans un de ces référentiels, et en synchronisant les horloges, on définit un observateur d'inertie. Chaque évènement peut être repéré par 4 nombres: l'instant auquel se produit l'évènement, et les coordonnées (x y z) du point auquel il a lieu (dans l'espace ordinaire donc). A chaque observateur d'inertie est associé naturellement, dans l'espace-temps de Minkowski, une repère (O, (e0, e1, e2, e3) ). On peut ensuite définir une métrique sur l'espace vectoriel qui sous-tend l'espace-temps de M dont les composantes, dans tout repère associé à un observateur d'inertie, prennent la forme diag(-1,1,1,1). On se rend alors compte que les changements de repères associés aux observateurs d'inertie dans l'espace-temps sont exactement les transformations de Poincaré.

Or, on sait qu'il existe des repères dans l'espace-temps pour lesquels les composantes de la métrique ne prennent pas cette forme. Or, ces repères peuvent a priori repérer chaque évènement pas 4 coordonnées. Cela signifie qu'il doit exister des référentiels physiques (mais non inertiels, donc accélérés par rapport aux référentiels d'inertie) associés à ces repères de l'espace-temps. Or, un référentiel accéléré ne peut selon moi pas convenir car du t^2 va intervenir dans le changement de coordonnée entre un repère d'inertie et un repère accéléré (x'= x plus a*t^2/2 grosso modo: ca ne peut pas représenter un changement entre repères de l'espace affine car pas linéaire). Ma question: que sont alors ces référentiels particuliers?

(Un exemple d'un tel repère est tel que les vecteurs e0, e1, e2, e3 ne sont pas orthonormés pour la métrique)

Je ne sais pas si ca apporte un peu de clarté à ce que je voulais exprimer. Je vous remercie pour vos réponses

[Amanuensis]

Or, on sait qu'il existe des repères dans l'espace-temps pour lesquels les composantes de la métrique ne prennent pas cette forme. Or, ces repères peuvent a priori repérer chaque évènement pas 4 coordonnées. Cela signifie qu'il doit exister des référentiels physiques (mais non inertiels, donc accélérés par rapport aux référentiels d'inertie) associés à ces repères de l'espace-temps. Or, un référentiel accéléré ne peut selon moi pas convenir car du t^2 va intervenir dans le changement de coordonnée entre un repère d'inertie et un repère accéléré (x'= x plus a*t^2/2 grosso modo: ca ne peut pas représenter un changement entre repères de l'espace affine car pas linéaire).

Quelque chose m'échappe dans la logique proposée. Simplifions en restreignant à deux dimensions, prenons (t, x) un système de coordonnées d'un espace-temps réduit à deux dimensions. Tout ce qu'on demande à un changement de coordonnées couvrant tout l'espace-temps est d'atteindre tous les points ; mettre un t^2 n'est pas un défaut. par exemple le changement de coordonnées (t, x) -> ((t-1)^3, x) = (t^3-t²+t-1, x) est parfaitement admissible.

Il n'y a pas de contrainte de linéarité non plus.

Avec de telles coordonnées, on n'a plus une base unique pour tous les espaces vectoriels tangents, mais cela n'est pas une contrainte. La même chose apparaît quand on utilise des coordonnées polaires en géométrie euclidienne (par exemple): la base vectorielle en chaque point dépend du point. On a bien en chaque point une transformation linéaire pour la base du tangent (même si le changement de coordonnées affines n'est pas linéaire), simplement ce n'est pas la même en chaque point.

Il n'y a rien de très particulier dans la géométrie de l'espace-temps de Minkowski: la plupart de ce qu'on trouve en euclidien va se retrouver, soit à l'identique, soit avec quelques changements de signe (dont les changements sin et sinh). De nombreuses questions trouvent une réponse juste en les transposant en euclidien ; pas toutes, certes, mais suffisamment pour penser à cette méthode.

[Le petit belge]

D'accord, je comprends l'idée: on peut associer à tout référentiel (d'inertie ou non) un système de coordonnées dans l'espace-temps (ce qui est plus fort qu'un repère au sens où je l'entendais dans mon message précédent, où la base était unique pour chaque espace vectoriel tangent).
En fait, je pense que c'est le sens inverse qui me pose problème:
Soit cette fois un système de coordonnées pour lequel la base associée dans chaque espace vectoriel tangent est la même (ce qui est le cas, par exemple, pour les systèmes associés aux référentiels d'inertie, mais pas seulement... et c'est là qu'est mon soucis). A quel type de référentiel peut corresponde un tel système de coordonnées, mais dont la base associée n'est pas orthonormée pour la métrique? Il est clair que la transformation pour obtenir un tel système de coordonnées depuis un système de coordonnées associé à un référentiel d'inertie est linéaire (correspond à un changement de repère dans un espace affine), donc ne peut pas correspondre à un référentiel accéléré où la transformation fait intervenir des puissances de coordonnées.

Encore merci pour votre aide, cela me permet d'éclaircir pas ma de points

[Amanuensis]

Soit cette fois un système de coordonnées pour lequel la base associée dans chaque espace vectoriel tangent est la même

Dans ce cas les coordonnées sont "affines" (en particulier fixer toutes les coordonnées sauf une donne une droite) ; le changement de coordonnées à partir d'un autre système affine (comme des coordonnées inertielles) est constitués de fonctions affines.

A quel type de référentiel peut corresponde un tel système de coordonnées, mais dont la base associée n'est pas orthonormée pour la métrique?

Ben c'est soit un référentiel inertiel, soit pas de référentiel du tout, selon le genre des vecteurs obtenus.

Gardons le cas de deux dimensions, posons c=1 et (t,x) des coordonnées inertielles usuelles, et examinons le changement de coordonnées affine u = t+x, v = t-x . Les deux vecteurs de base sont colinéaires à (1,1) et (1,-1), donc de genre nul. Cela ne peut pas correspondre à un référentiel.

Maintenant, si les genres de vecteurs de base sont bien l'un temps l'autre espace, alors c'est lié à un référentiel, celui défini (1) par le vecteur unitaire et orienté vers le futur colinéaire au vecteur de base de genre temps.

(1) Dans l'espace-temps de Minkowski il y a bijection entre les référentiels et les vecteur unitaires et orientés vers le futur/

Que la matrice de la métrique ne soit pas la matrice de Minkowski n'a pas d'importance. Les termes diagonaux non nuls indiquent juste que t constant x variable définit un espace qui n'est pas celui obtenu par la synchronisation d'Einstein-Poincaré, et des coefficients diagonaux non égaux à +/-1 indiquent seulement des unités de durée et de longueur particulières (la métrique n'est définie qu'à des termes multiplicatifs constants correspondant aux unités(2)).

(2) Même chose d'ailleurs en euclidien: en aviation la coordonnée verticale est en pieds, les horizontales en milles marins: cela ne donne pas une matrice normée...-- et pour en rajouter la composante de vitesse verticale est en pieds/minute, les horizontales sont des coordonnées polaires avec la composante radiale en noeuds, c'est à dire des milles par heure...)

[ordage]

Bonsoir,

Je me place dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski, càd dans le cadre de la relativité restreinte pour ma question (pas de relativité générale).

1) A chaque référentiel d'inertie muni d'une horloge synchronisée, on associé dans l'espace-temps de Minkowski un repère (dont la base associée est, en particulier, "orthonormée" pour la métrique). On peut passer d'un repère d'inertie (ou repère de Lorentz) à l'autre par changement de base dont la matrice appartient au groupe de Lorentz. Ma question: Que représentent physiquement les repères de l'espace-temps de Minkowski qui ne sont pas des repères de Lorentz, ie pour lesquels la matrice de changement de base pour passer d'une repère de Lorentz à ce nouveau repère n'est pas une matrice du groupe de Lorentz? Que représentent-ils physiquement?
Selon moi, il ne peut pas s'agir de référentiels "accélérés" car une telle loi de transformation (pour passer d'une référentiel d'inertie à un référentiel accéléré) ferait intervenir des termes non linéaires en les coordonnées, ce qui ne peut pas représenter un changement de repère).

Merci d'avance pour votre réponse

Salut

Des référentiels ou des mouvements non inertiels, ne font pas partie de l'espace-temps de Minkowski (on ne peut pas les traiter dans ce cadre) , car son groupe de symétrie (Poincaré) contraint la physique qui s'y déroule. Il faut utiliser un espace affine pour traiter ces problèmes.
Voir par exemple:
luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/present_rec/imcce_syrte10.pdf

Pour une présentation de la manière de traiter ces problèmes, traités aussi dans son livre sur la "relativité restreinte" (et qu'on trouve aussi, entre autres, dans "Gravitation" de Wheeler, Thorne et Misner). En général, ce n'est pas très simple.

Le paradoxe des fusées de Bell illustre assez bien la problématique des mouvements accélérés en "relativité restreinte".

Cordialement

[Amanuensis]

(...) des mouvements non inertiels, ne font pas partie de l'espace-temps de Minkowski (on ne peut pas les traiter dans ce cadre)

Cela rendrait cette théorie sans intérêt! Si seuls les mouvements inertiels peuvent être "traités", la dynamique devient triviale et sans intérêt, et parler de force, énergie, quantité de mouvement, accélération, etc., inutile.

Ce serait comme dire qu'on ne peut pas traiter du cercle, des coniques et autres courbes en géométrie affine euclidienne...

D'ailleurs, historiquement c'est bien la dynamique qui a été à l'origine et la cible de la RR, témoin le titre de l'article le plus célébré sur le sujet, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", ou d'un autre contemporain, "Sur la dynamique de l'électron".

Je ne vois pas l'intérêt de perpétuer le mythe d'une incompatibilité entre les mouvements accélérés et l'espace-temps de Minkowski. Si limitations il y a, c'est dans les outils qu'on se permet. Mais qui aurait l'idée de s'interdire les outils permettant de traiter des coniques en géométrie euclidienne sous prétexte que le groupe de symétrie euclidien contraint cette géométrie?

[De même, les groupes de symétrie en mécanique classique ne sont pas moins contraignants. Et on y a développé une dynamique des mouvements accélérés sans avoir attendu les outils de la RG, y compris l'usage de référentiels non inertiels. Heureusement.

Il y a bien une difficulté avec la RR: c'est la gravitation. Une théorie de la gravitation a pu être développée dans le cadre de l'espace-temps de la mécanique classique, mais cela est difficile dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski. Mais les mouvements accélérés ne se limitent pas à la gravitation.

On notera aussi que la MQ actuelle se place soit dans le cadre de l'espace-temps classique, soit dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski. Et la MQ ne se limite pas aux mouvements inertiels.]

[Deedee81]

Salut,

Je vais en rajouter une couche car j'ai vu très souvent cette confusion (je pense qu'il s'agit plus de cela qu'autre chose, au vu de ce que j'ai souvent lu). Un petit rappel ne peut pas faire de mal.

Il ne faut pas confondre :
- référentiel non inertiel/galiléen
- objet non inertiel

La construction des transformations de Lorentz utilise l'hypothèse des référentiels inertiels (on peut s'en passer mais c'est tout de suite plus compliqué).
Mais on peut très bien avoir un référentiel inertiel dans lequel on décrit des objets accélérés.

[ordage]

1-Cela rendrait cette théorie sans intérêt! Si seuls les mouvements inertiels peuvent être "traités", la dynamique devient triviale et sans intérêt, et parler de force, énergie, quantité de mouvement, accélération, etc., inutile.



2-D'ailleurs, historiquement c'est bien la dynamique qui a été à l'origine et la cible de la RR, témoin le titre de l'article le plus célébré sur le sujet, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", ou d'un autre contemporain, "Sur la dynamique de l'électron".

Salut

Je n'ai pas dit qu'on ne pouvait pas décrire les trajectoires des corps accélérés, l'article que je donnais en référence présentait d'ailleurs ce genre de calcul.
La question est: existe-t-il des référentiels "accélérés" (synchronisables) et comment les définit-on si cela existe et vis à vis de ces référentiels putatifs les symétries de l'espace-temps de Minkowski s'appliquent-elles?
D'autre part l'espace-temps (plat) dans lequel on décrit ces mouvements accélérés est-il simplement celui de Minkowski ou quelque chose d'un peu plus complexe (une variété dont la base serait un espace-temps de Minkowski, avec des fibres qui seraient aussi des espaces de Minkowski mais avec boost et rotation? C'est une réflexion avec laquelle on peut bien sûr ne pas être d'accord.
A titre d'exemple les coordonnées Rindler en général associés aux observateurs uniformément accélérés ne définissent qu'une partie de l'espace-temps de Minkowski.
2- Le titre (traduit) de l'article d'Einstein est " Sur l'électrodynamique des corps en mouvement" dont le § 10 s'intitule "dynamique de l'électron (lentement accéléré) . ......(cf CNRS Albert EInstein oeuvres choisies tome 2)
Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Désolé ordage, on t'avait manifestement mal compris tous les deux. Ceci dit, ces précisions ne font pas de mal pour les autres lecteurs

[Amanuensis]

Ce n'est pas une question de comprendre ou non l'intention ; ce que je peux comprendre entre les lignes n'entre pas en ligne de compte. Je réponds à ce qui est écrit. Si cela se comprend de manière contraire à la physique courante, eh bien, des lecteurs non avertis le comprendront de travers, et rectifier est utile car c'est un forum public.

Pas désolé du tout, je n'avais pas "mal compris", et un même texte donnera la même réaction.

À chacun de s'exprimer de manière que ce soit compris correctement par les lecteurs quelconques.

PS pour Deedee: merci de ne pas parler pour moi, surtout pour affirmer sans base que j'aurais mal compris. Vous pouvez parler pour vous, cela ne permet aucune conclusion pour moi.

[Deedee81]

Je réponds à ce qui est écrit.

Bien entendu

Pas désolé du tout

Non ? Ca alors ! Ca arrivera, le 25 décembre, si si

surtout pour affirmer sans base que j'aurais mal compris

Et alors ? Quelle qu'en soit la raison, ici parce que ce n'était pas "écrit". Clairement, pour toi "mal comprendre" implique forcément la responsabilité du lecteur. Tu devrais éviter de te sentir visé comme ça tout le temps.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

Je voudrais que vous me disiez où je fait erreur SVP?

Je part de


Je dérive par rapport au temps t et j'ai la vitesse coordonnée :



Je dérive encore par rapport à t pour avoir l'accélération coordonnée par rapport à l'accélération propre. J'obtiens la relation :


C'est là où je dois faire une betise en disant qu'en intégrant la relation à gauche par et à droite par Je devrais avoir la relation liant la durée coordonnée de l'observateur inertiel et la durée propre de l'observateur uniformément accéléré

Je fais une intégration par partie :




Je trouve que :



Donc :

D'où mon désaroi.

Cordialement,
Zefram

[chaverondier]

Il ne faut pas confondre :
- référentiel non inertiel/galiléen
- objet non inertiel

Si, si il faut les confondre, du moins du point de vue de la propriété état de mouvement.

Un référentiel (inertiel ou pas) dans un espace-temps de Minkowski ou pas, c'est un feuilletage 1D. Quand le référentiel en question est un référentiel inertiel dans l'espace temps de Minkowski, ce feuilletage 1D est un ensemble de droites parallèles, de type temps, partitionnant l'espace-temps de Minkowski. Le référentiel accéléré de Rindler de l'espace-temps de Minkowski n'échappe pas plus que tout autre référentiel à cette règle : c'est un feuilletage 1D de l'espace-temps de Minkowski (et il se trouve qu'il est de type temps).

Par contre, les référentiels ne sont pas toujours des feuilletages 1D de type temps. Dans l'espace-temps de Schwarzschild par exemple, le référentiel de Lemaître est un feuilletage 1D de type temps, même en dessous de la sphère de Schwarzchild (que ces feuillets 1D traversent allègrement). Par contre, dans ce même espace-temps, le référentiel de Schwarzschild est un feuilletage 1D de type temps seulement au dessus de la sphère de Schwarzschild. Il est de type temps en dessous de cette sphère et il est de type lumière sur cette sphère.

[Amanuensis]

Le référentiel accéléré de Rindler de l'espace-temps de Minkowski n'échappe pas plus que tout autre référentiel à cette règle : c'est un feuilletage 1D de l'espace-temps de Minkowski

Seulement d'une partie (d'un ouvert) de l'espace-temps de Minkowski.

Par contre, les référentiels ne sont pas toujours des feuilletages 1D de type temps.

C'est un choix de définition. Opinion personnelle, je ne vois pas l'intérêt d'étendre la notion de référentiel au-delà des partitions en lignes de genre temps. Et j'imagine très bien la confusion que peut amener le faire.

Par contre, dans ce même espace-temps, le référentiel de Schwarzschild est un feuilletage 1D de type temps seulement au dessus de la sphère de Schwarzschild. Il est de type temps en dessous de cette sphère et il est de type lumière sur cette sphère.

Pour moi c'est une confusion entre référentiel et système de coordonnées. On peut parler du système de coordonnées de Schwarzschild pour tout r, mais il est moins confusant de limiter le référentiel de Schwarzschild à l'ouvert r>r_s (et précisément aux lignes r, theta, phi constants).

Je ne vois pas quels besoins sont remplis par la notion étendue de référentiel que le système de coordonnées ne remplisse pas.

(Et en pratique c'est très rare que le référentiel de Schwarzschild soit utilisé: ce qui est présenté est le système de coordonnées, en particulier parce que les coordonnées spatiales ne sont pas quelconques (alors qu'un référentiel laisse ouvert les choix de coordonnées).

D'ailleurs, quel "référentiel de Scwarzschild"?? Si on admet toute partition en lignes, pourquoi ne pas prendre la partition en ligne de t, theta, phi constant? Si ce n'est pas un "référentiel de Schwarzschild", pourquoi? Quelle est la règle de discrimination?)

---

Bref, autant je comprends l'idée formelle d'un référentiel "étendu" (n'importe quelle partition en lignes, sans la contrainte du genre temps), autant j'y vois une source de confusion et une absence d'intérêt.

[Amanuensis]

(...) Tu devrais éviter de te sentir visé comme ça tout le temps.

Ce texte est franchement grossier et interprétable comme de mauvaise foi. Le "tous les deux" m'inclut de manière évidente. Je répète: la politesse minimum ne permet pas de parler pour quelqu'un d'autre, même si vous estimez (par quelque illusion) que votre non-compréhension entraînerait nécessairement celle de tout autre personne.

Merci d'éviter ce genre d'amalgame dans le futur.

(Au passage les attaques ad hominem ne sont pas acceptables selon la charte, et j'imagine que cela s'applique à tous, sans privilège ou passe-droit.)

[chaverondier]

Seulement d'une partie (d'un ouvert) de l'espace-temps de Minkowski.

Oui, tu as tout à fait raison (le fameux "coin" de Rindler). Le lecteur attentif aura corrigé de lui-même .

C'est un choix de définition. Opinion personnelle, je ne vois pas l'intérêt d'étendre la notion de référentiel au-delà des partitions en lignes de genre temps. Et j'imagine très bien la confusion que peut amener le faire.

Ca conduit à arrêter le référentiel de Schwarzschild au dessus de la sphère de Schwarzschild, parce qu'en dessous, les observateurs au repos dans ce référentiel ne peuvent pas exister physiquement (ils remonteraient le "courant d'éther", le référentiel chute libre de Lemaître, à vitesse supraluminique). Bon... Le Landau et Lifchitz (théorie des champs) par exemple ne s'interdit pas d'avoir des feuillets 1D de type espace dans un référentiel donné. Ils parlent alors "d'observateurs non physiques" .

Pour moi c'est une confusion entre référentiel et système de coordonnées.

Pas pour moi. Les deux notions sont bien distinctes.

• Un référentiel c'est un feuilletage 1D. Il repère un état de mouvement (fictif pour les parties du référentiel formées d'observateurs de type espace, donc se déplaçant à vitesse supraluminique)
• un système de coordonnées 4D c'est une cartographie de l'espace-temps donc un repérage des évènements.

On peut parler du système de coordonnées de Schwarzschild pour tout r, mais il est moins confusant de limiter le référentiel de Schwarzschild à l'ouvert r > r_s (et précisément aux lignes r, theta, phi constants).

Ma foi, on s'autorise à cartographier le dessous de la sphère de Schwarzschild, il n'y a pas de raison de s'interdire de le feuilleter en feuillets 1D de type espace, avec des feuillets de type espace induits par des coordonnées spatiales du système de coordonnées de Schwarzschild constantes. Il faut juste savoir que, dans le référentiel dit de Schwarzschild, il ne peut pas y avoir d'objet physique au repos sous la sphère de Schwarzschild car cela signifierait que ces objets remonteraient le "courant d'éther" (le référentiel de Lemaître) à vitesse supraluminique.

Je ne vois pas quels besoins sont remplis par la notion étendue de référentiel que le système de coordonnées ne remplisse pas.

Un référentiel définit un état de mouvement comme celui, par exemple, d'un objet accéléré, indépendamment d'un choix de système de coordonnées arbitraire. A un objet ou un milieu en mouvement (accéléré ou pas, dans un espace-temps plat ou pas) est associé un unique référentiel où cet objet (ou un milieu continu si on préfère ce terme) est au repos.

Si on admet toute partition en lignes, pourquoi ne pas prendre la partition en lignes de t, thêta, phi constants?

C'est un référentiel de l'espace-temps de Schwarzschild, mais ce n'est pas le référentiel dit de Schwarzschild de cet espace-temps (il n'y en a qu'un).

Bref, autant je comprends l'idée formelle d'un référentiel "étendu" (n'importe quelle partition en lignes, sans la contrainte du genre temps), autant j'y vois une source de confusion et une absence d'intérêt.

Ca permet de définir le mouvement de n'importe quel objet ou milieu dans une variété riemanienne quelconque.

Par exemple, le référentiel de Lemaître (le référentiel formé des observateurs en chute libre radiale dans l'espace-temps de Schwarzschild partis de "très haut" à vitesse nulle) est, dans l'espace-temps de Schwarzschild, ce qu'il y a de plus proche des référentiels inertiels de l'espace-temps de Minkowski.

Dans l'espace-temps de Schwarzschild :

• le mètre des observateurs au repos dans le référentiel de Schwarzschild est contracté en direction radiale en (1-v²/c²)^(1/2) en raison de leur vitesse v (où v = (2GM/r)^(1/2) désigne la vitesse radiale centripète des observateurs de Schwarzschild vis à vis du "bon référentiel" : le référentiel de Lemaître),
  .
• les horloges au repos dans le référentiel de Schwarzschild tournent au ralenti en raison de la dilatation temporelle de Lorentz induite par leur vitesse v (toujours avec v²/2 = GM/r, c'est à dire que v est la vitesse des observateurs de Schwarzschild vis à vis du "bon référentiel")
  .
• Vis à vis des observateurs de Schwarzschild (mais en utilisant la simultanéité, les mètres et les horloges du "bon référentiel" de l'espace-temps de Schwarzschild : celui de Lemaître) la lumière tombe à la vitesse relative c+v et remonte à la vitesse relative c-v.
  
  Comme dans le référentiel tournant, mais en inversant direction radiale et direction circonférentielle, il y a anisotropie de la vitesse relative de la lumière par rapport aux observateurs de Schwarzschild quand on utilise le "bon référentiel" pour mesurer cette vitesse relative. Les photons :
  • tombent à toute allure emportés par "un courant d'éther", le milieu en chute libre que représente le référentiel privilégié de Lemaître,
  • ils peinent à remonter ce courant d'éther et n'y parviennent pas sous la sphère de Schwarzschild où le "courant d'éther" s'écoule à une vitesse supérieure à celle de la lumière.
  
  Cela explique pourquoi l'information ne parvient pas à remonter le "courant d'éther" quand elle part de sous la sphère de Schwarzschild et pourquoi elle met un temps tendant vers +00 quand sa source se rapproche de cette sphère en restant au dessus.

On a aussi de bons exemples de référentiels que sont le référentiel comobile de l'espace-temps de Friedman et le référentiel inertiel immobile de l'espace-temps statique hypertorique.

[azizovsky]

Bonjour, tous plan passant par l'origine qui coupe le cône isotrope suivant ses deux génératrices est un espace de Minkowski à deux dimensions. le cône isotrope de la métrique de Minkowski sur un tel plan et l'intérieur de ce cône sont engendrés par l'intersection du plan avec un cône isotrope tridimentionnel. quand le plan sécant au cône isotrope tridimentionnel devient tangent à celui-ci, les droites génératrices du cône isotrope sur le plan viennent se confondre, si bien que le cône se trouve dépourvu de région intérieure. il s'agit donc d'un cône dégénéré. par consequent chaque plan tengent au cône isotrope de l'espace de minkowski à trois dimensions est plan isotrope de cet espace.
les propriétés de l'espace de minkowski à quatre dimensions sont calquées sur celles du modèle tridimensionnel .
chaque fois qu'à la suite d'une transformation affine* dans l'espace de minkowski la distance de deux points quelconques est égale à celle des images respectives, on parle d'un mouvement dans cet espace.
(*)
on comprend sans difficulté que la transformation (*)ne conserve pas en général la distance des points(espace de mikowski), à moins que des conditions** particulières soient imposées à ses coefficients .
(**) avec
les quantités ne jouent pas de rôle essentiel dans la transformation (*) et au cas où elles sont nulles, c'est la transforamrtion de Lorentz, dans le cas contraire c'est celle de Poincaré.

ps: normalement c'st la RG qu'est réstreinte à la gravitation , la RR est plus générale .

[azizovsky]

Salut, j'ai oublié un truc important, d'aprés F.Klein l'appellation géométrique est réservée à chaque propriété des figures d'un espace M et à chaque grandeur liée à une figure si elles sont invariantes par toutes transformations faisant partie d'un groupe donné G, càd si elle sont les mêmes pour toutes figures équivalentes. le système de propositions relatives aux propriétés des fiqures et des grandeurs invariantes par toutes les transformations du groupe G s'appelle la géométrie du groupe G.
d'aprés ta question :

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''Ma question: Que représentent physiquement les repères de l'espace-temps de Minkowski qui ne sont pas des repères de Lorentz, ie pour lesquels la matrice de changement de base pour passer d'une repère de Lorentz à ce nouveau repère n'est pas une matrice du groupe de Lorentz? Que représentent-ils physiquement?''

d'aprés ta question, il n'y a d'invariant pour définir une géométrie du groupe de transformation (*).