Diverses questions très basiques de Mécanique Quantique

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai diverses question sur mon cours de M.Q.

La première :

On sait que les valeurs propres de l'opérateur impulsion sont pour l'opérateur px, la valeur propre px.

Déjà on sait que

Donc pour la valeur propre on prend bien le "scalaire" px et pas la dérivée (une valeur propre appartient forcément au corps, donc ça peut pas être un opérateur différentiel c'est ça que j'ai du mal à comprendre...).

En fait j'arrive pas à bien comprendre rigoureusement quelle est l'application linéaire, quelle est la valeur propre etc.

L'application linéaire c'est et la valeur propre, le scalaire px ????

Ensuite :

Une observable est un opérateur Hermitien, ce qui fait que ses valeurs propres sont réelles.

Donc, la mesure d'un système décrit par sera réelle.

Je ne comprend pas pourquoi.

En effet :



Mais ici, rien ne nous dit que la base de vecteur propre de A est une base réelle (ce n'est pas parce que les valeurs propres de A sont réelles que sa base de vecteurs propre l'est).

Donc même si on décompose |psi|^2 dans cette base, on aura un truc du style



Les ai sont bien réels mais pas forcément les psi_i (base de vecteurs propres de A).

Merci.
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[invite8f6d0dd4]

Une précision pour ma première question (désolé mais je ne peux pas éditer mon message).


Ce que je ne comprends pas c'est que a toujours un sens (cette application linéaire existe toujours).

MAIS n'en a que pour les ondes planes.

Donc comment peut on dire que multiplier par px (qui est un scalaire appartenant bien au corps de l'espace vectoriel) est équivalent à faire l'opération

Ainsi, comment la valeur propre peut elle avoir un sens pour des ondes non planes (donc des paquets d'ondes).

[albanxiii]

Bonjour,

Si ça peut vous aider, je pose , et je dit que c'est un opérateur qui agit sur des éléments d'un espace vectoriel de fonctions avec les bonnes propriétés (admirez la façon de dissimuler sous le tapis ce qui est gênant... ).

On cherche ses valeurs et vecteurs propres, donc on doit résoudre .

Traduction : résoudre , ou encore .

A partir de là, je pense que vous savez continuer. On trouve que les fonctions propres sont de la forme .
Les valeurs propres possibles prennent donc toutes les valeurs réelles. Comme l'opérateur de départ est l'opérateur impulsion, on appelle ses valeurs propres "impulsions" également (on peut montrer que c'est la variable canoniquement conjuguée de la position et on retrouve ce qu'on sait en mécanique classique).

Ensuite, vous pouvez appliquer l'opérateur impulsion à toute fonction d'onde (qui a les bonnes propriétés), mais seules les ondes planes sont ses fonctions propres. Donc, en général, on n'a pas !

@+

[invite8f6d0dd4]

Merci de votre réponse !

Il y a autre chose que je ne comprends pas :

Les Phi que vous citez sont donc les vecteurs propres de l'impulsion pour l'infinité de valeurs propres px.

Mais ces vecteurs ne sont pas de carré sommables (l'intégrale sur R de exp(i*x) n'existe pas).

Or, on dit que les vecteurs propres de l'impulsion forment une base (sous entendue une base de l'espace de Hilbert non ?).

Comment peuvent ils former une base d'un espace auquel ils n'appartiennent pas ?

De plus, si je prend deux valeurs de lambda différente, je n'ai pas <Psi 1 | Psi 2 > = 0 avec ces valeurs.

J'ai encore une fois l'intégrale d'une exp(i*x) qui n'existe pas sur R.

Pourriez vous m'aider pour ces points ?


Merci !!!!!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour,

Mais ces vecteurs ne sont pas de carré sommables (l'intégrale sur R de exp(i*x) n'existe pas).

Tu as raison. C'est des questions tout à fait légitime.

En effet, il faut normaliser les vecteurs. Il existe quelques techniques. Deux très répandues sont :
- la normalisation dans une boite. On considère que le système est enfermé dans un cube de largeur L avec des conditions aux limites périodiques psi(x) = psi(x+L). Puis on fait tendre L vers l'infini à la fin des calculs.
- la normalisation par distribution delta de Dirac.

Par abus de langage la plupart des auteurs ne le précisent pas lorsqu'ils parlent de solutions de type périodiques (comme les exponentielles ci-dessus). C'est sous-entendu. Et est sous-entendu aussi est "résultat à vérifier avec normalisation". Mais bien entendu dans (presque) tous les cours il y a une partie traitant de la normalisation.

Pour les normalisation, j'ai ça dans mes bouquins, mais je n'arrive pas à trouver un document sur le net qui présenterait ça clairement et proprement et pas comme un paragraphe d'un pdf énorme, j'en ai trouvé !). Donc, si quelqu'un a des liens pour freemp, ce serait sympa. Merci,

[albanxiii]

Re,

Mais ces vecteurs ne sont pas de carré sommables (l'intégrale sur R de exp(i*x) n'existe pas).

Or, on dit que les vecteurs propres de l'impulsion forment une base (sous entendue une base de l'espace de Hilbert non ?).

C'était mon allusion au tapis
Dans le Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe c'est expliqué de façon plus rigoureuse. C'est la normalisation par distribution de Dirac dont parle Deedee81.

@+

[Deedee81]

Elle est aussi bien expliquée dans le livre Quantum Mechanics de Léonard L. Schiff.

Dans le Feynman c'est pas mal expliqué aussi, bien que j'ai trouvé ça un peu trop léger.

[Amanuensis]

bien que j'ai trouvé ça un peu trop léger.

Proposez-nous un alourdissement!

[Deedee81]

Proposez-nous un alourdissement!

Ben... la ligne juste au-dessus (Tanoudji c'est bien aussi).

Dans le Feynman c'est assez logique. Son cours est hyper pédagogique mais ça fait automatiquement quelque chose de plus long et dans un seul tome il n'est pas possible d'être aussi exhaustif ou d'approfondir autant que dans d'autre cours. J'ai toujours pensé que pour bien potasser la MQ il fallait deux cours : celui de Feynman et un autre (ce n'est pas ce qui manque).

[invite8f6d0dd4]

Merci de vos réponses.

J'aurai une autre question :

Quand on écrit l'équation de schrodinger et qu'on sépare en une fonction f(t)*g(x) (car stationnaire).

L'équation aux valeurs propres de l'Hamiltonien impose E>0 ?

Car dans les exos où on étudie une particule dans une boite, on suppose que E>0 pour avoir les solutions en cos, sin.

Merci.

[albanxiii]

Re,

Dans le cas d'une particule dans une boîte, la seule énergie à prendre en compte pour la particule est l'énergie cinétique, donc positive.
Mais dans le cas plus général d'une particule dans un potentiel, selon la valeur du potentiel, vous pouvez avoir des valeurs d'énergie positives ou négatives (exemple le plus connu : l'atome d'hydrogène, la particule est l'électron dans le potentiel coulombien créé par le proton / noyau, mais on peut imaginer des situations plus simples à 1D).

@+

[invite8f6d0dd4]

Ok.

Le terme associé au laplacien du Hamiltonien correspond donc à l'énergie cinétique ??

Ce que vous dites est exact seulement si le potentiel dans mon puit est nul non ?

Avec un potentiel négatif dans le puit valant -V0 le E peut donc être négatif ?

Mais en pratique on prendre V=0 dans le puit pour simplifier les calculs car ce qui compte dans un potentiel ce n'est pas sa "valeur" en tant que tel mais plutôt ses variations ?

[albanxiii]

Re,

, avec l'opérateur impulsion que vous connaissez bien. Vous voyez maintenant d'où sort le laplacien.

Pour le reste, oui, je suis d'accord avec vous si

Ce que vous dites est exact seulement si le potentiel dans mon puit est nul non ?

correspond au cas d'une énergie positive (énergie cinétique seulement, car énergie potentielle nulle dans ce cas là).

@+

[invite8f6d0dd4]

Merci !

J'ai aussi une question sur les ECOC :

Dans mon cours il est écrit qu'une condition nécessaire pour avoir un ECOC et que toutes les observables le composant soient hermitiques.

Mais pourquoi est-ce une condition nécessaire ?

Je peux bien trouver un ensemble d'observables qui commutent deux à deux tel qu'on ai une unique BON de vecteurs propres pour le produit A.B.C (si on a 3 observables dans l'ECOC par exemple).

Condition suffisante je veux bien (comme ça on s'assure la diagonalisation), mais une matrice diagonalisable sur le corps des complexes n'est pas forcément hermitique ??

Merci !!!