N corps, gradient, potentiel et force conservative

[Sanoj]

Bonjour,

je suis en train de travailler mon cours sur les pbs à N corps, et j'ai qq problèmes de compréhension.

On s'intéresse au corps i. Le champ gravitationnel des autres corps est , où est le vecteur unitaire dirigé de i vers j, et est la distance entre i et j.
Soit le potentiel .

1e question : pourquoi peut-on écrire ? J'ai toujours eu du mal avec le gradient : ça marche dans n'importe quel repère ? Par exemple dans ce cas là on dérive successivement par rapport aux r_ij, et ça nous donne une somme suivant les vecteurs r_ij, comment ça se fait ? On dirait que c'est comme si on avait un repère de dimension N-1 (pour les différents e_ij avec j différent de i) où les coordonnées sont respectivement les r_ij. Mais on peut écrire ça pour n'importe quel type de repère, orthogonal ou pas ? Je sais pas trop si vous voyez ce que je pige pas.

2e question : pourquoi ne peut-on pas dire que c'est un champ de force conservatif, alors qu'on a écrit qu'il dérivait d'un potentiel (et donc que le travail ne dépend pas du chemin suivi) ?

Voilà, ça me travaille un peu tout ça, merci d'avoir pour vos réponses !
-----

[LPFR]

Bonjour.
Il faut revenir à la physique. La force sur un des objets est la somme des forces exercées par chacun des autres objets.
La force gravitationnelle est une force conservative et on peut la dériver d’un potentiel. Comme tout est ici linéaire, la somme de forces sera le gradient de la somme des potentiels.
Mais ne vous mélangez pas avec les repères. On est dans l’espace de tous les jours et il n’a que 3 dimensions. Et on a un seul repère.

Et quand on dit que les forces sont conservatives et que le travail ne dépend pas du chemin, l’intégrale du travail est faite avec les autres objets immobiles. Le travail fait dans une trajectoire par un objet dans un problème à N corps, n’est pas, en général, zéro. Des corps peuvent communiquer ou recevoir de l’énergie d’autres corps. Comme dans le cas de l’effet de fronde, par exemple.
Au revoir.

[Sanoj]

J'ai toujours un problème avec le gradient.

Quand on prend le problème simple d'un corps très massif par rapport à un second corps, de telle sorte à ce qu'on puisse considérer le premier comme immobile et centre d'un réf galiléen, pas de pb : l'accélération du 2nd corps est -Gm_1/r^2*e_r = d(Gm_1/r)/dr*e_r = grad(U) en coordonnées sphériques.

Mais quand on a un problème à N corps, la force gravitationnelle entre 2 corps dépend de la position de ces 2 corps (contrairement au cas ci dessus), les forces sont en r_ij, et non en r_j : on peut écrire -Gm_j/r_ij^2*e_rij = d(Gm_1/r_ij)/dr*e_rij, mais pourquoi peut-on dire que c'est égal à grad(Gm_1/r_ij) ?
Les seuls expressions explicites du gradient que je connaisse sont en coordonnées sphériques, cylindriques et cartésiennes, et ce dernier problème ne correspond à aucun des cas. Vous voyez où est mon problème ?

Pour le travail, je comprends (je crois) physiquement pourquoi ce n'est pas conservatif, mais pas mathématiquement. Si on écrit , où suppose-t-on que les autres corps sont immobiles ?