Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles : question basique.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je ne savais pas trop si je devais le poster en maths ou physique, mais comme je vais parler de dérivée partielles et que c'est un outil fondamental en physique, je le poste ici.

Considérons une fonction f(x(t),y(t),t).

On a :



On constate donc que la dérivée "totale" de f par rapport à t est différente que la dérivée partielle de f par rapport à t.

Mais ce que je ne comprends pas, c'est la portée de la notion dérivée "partielle".

Je m'explique avec un exemple :




Par définition :


Mais ensuite c'est là que je ne comprends pas trop la portée de dérivée "partielle".

Dans mon exemple selon moi :





Supposons maintenant qu'à la même quantité ou grandeur physique "f" je modifie la fonction :






On constate donc que pour la même grandeur physique f, sa dérivée partielle en r ne donne pas la même chose du tout.

Les notions de dérivées partielles dépendent donc de ce qu'on met comme variable dans la définition de la fonction ???

Ou il y a quelque chose que je n'ai pas bien compris.

Parce que dans mes cours, parfois on donne une expression du genre G=x(r,t)+y(r) et on dit "G ne dépend pas explicitement du temps donc..." (car si G(t,y) ici, selon ce que j'ai compris on aurait la dérivée partielle/t qui serait non nulle en développant x).

Mais pour dire ceci il faut obligatoirement dire de quelles variables dépend G dans sa définition non ??

Merci !!
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[Amanuensis]

Bonsoir,

Pas pris le temps de tout suivre, mais il y a des chances que tout parte du point suivant:

Considérons une fonction f(x(t),y(t),t).

On a :



On constate donc que la dérivée "totale" de f par rapport à t est différente que la dérivée partielle de f par rapport à t.

Il y a confusion entre deux fonctions, toutes deux notées f. L'une est une fonction à trois variable f(x,y,t), l'autre une fonction à une seule variable F(t). La seconde est la composée de f avec des fonctions de t.

C'est un peu confondre x-> f(x) et t -> fog(t).

L'équation aux dérivées partielles concerne f, la notion de dérivée concerne F. La seconde équation exprime la dérivée d'une composition de fonctions.

(Une autre confusion de notation, celle-là classique, est entre la variable x et la fonction t -> x(t), ... Même si classique et à un certain sens "normale", faut quand même l'avoir en tête.)

Il me semble que toute la suite doit être reconsidérée en distinguant bien les fonctions, et en ayant à l'esprit la composition de fonctions.

[azizovsky]

Bonjour, la dérivée représente non pas la variation de la fonction au point considèrée fixe de l'espace, mais la variation de la fonction se déplaçant dans l'espace. Cette dérivée doit être exprimée en fonction des quantités relatives au points fixes de l'espace. A cet effet, notons que la variation de la fonction donnée au cours du temps est composée par deux parties : par la variation de la fonction au point donné de l'espave dans le temps et par la différence de la fonction (au même instant)en deux points séparés par parcourue par la fonction dans le temps .la premierière de ses partie vaut où, à present, la dérivée est prise à constants, c'est à dire au points considéré de l'espace . L'autre partie de la variation de la fonction vaut de sorte que

[azizovsky]

si la température d'un fluide, elle peut être non unifirme sur une section d'un tube, dans le cas contraire le premier terme de différentiation est nul, c'est d'ici qui sort la dérivation de Lie pour les champs ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Bonjour

@Amanuensis :

Je suis d'accord avec vous que d'un point de vue "maths", il ne s'agit pas des mêmes fonctions, mais en Physique, il me semble qu'on considère qu'il s'agit de la même fonction (c'est ce que mes profs m'ont dit, on la note de la même manière).

En fait, l'affirmation suivante est elle vraie :

Soit :
G=x(r,t)+y(r)

Si je considère G1: (y,t)->G, alors G1 dépend explicitement du temps.
G2: (x,t)->G, alors G2 ne dépend pas explicitement du temps.

Une même grandeur physique mais selon la définition de la fonction, ça dépend explicitement du temps dans un cas et pas dans l'autre.

Merci !

[Amanuensis]

Je suis d'accord avec vous que d'un point de vue "maths", il ne s'agit pas des mêmes fonctions, mais en Physique, il me semble qu'on considère qu'il s'agit de la même fonction (c'est ce que mes profs m'ont dit, on la note de la même manière).

Pas vraiment la question si d'accord ou non, ou si l'abus de notation est acceptable ou non en physique. Le point est de bien comprendre les écritures en ayant cela en tête.

[azizovsky]

Bonjour

@Amanuensis :

Je suis d'accord avec vous que d'un point de vue "maths", il ne s'agit pas des mêmes fonctions...

Salut,cette affirmation implique qu'on doit corriger les manuels de maths et de physique .(voir cours de mathématiques supérieures tomme II (V.Smirnov)ou mécanique des fluides tomme VI (L.Landau,E.Lifchitz) ou corriger Feynman...

[azizovsky]

4 varibles .(sans complication...)

[invite8f6d0dd4]

Juste pour vérifier, si j'ai compris, êtes vous ok avec ceci ?



je touche pas au V pour le calcul de la dérivée /r, car V étant considéré comme variable de ma fonction, je dérive en considérant V constant, même si V dépend de r !


Thanks !

[b@z66]

Juste pour vérifier, si j'ai compris, êtes vous ok avec ceci ?



je touche pas au V pour le calcul de la dérivée /r, car V étant considéré comme variable de ma fonction, je dérive en considérant V constant, même si V dépend de r !


Thanks !

Tu ne peux pas considérer V constant en faisant varier r pour le calcul de la dérivée partielle par r puisque V dépend de r ou alors tu présumes de facto qu'il y a une relation de dépendance entre r et t(ce qui n'apparaissait pas dans ton premier calcul de dérivée partielle).

[b@z66]

Considérer V constant dans ton deuxième calcul de dérivée partielle revient à considérer:

d(V)=0=d(r.t²)=2rt.dt+t².dr

=> dr/dt=-2r/t

r varie donc avec t , ce qui n'était pas la cas dans ton premier calcul.

[Amanuensis]

Juste pour vérifier, si j'ai compris, êtes vous ok avec ceci ?



je touche pas au V pour le calcul de la dérivée /r, car V étant considéré comme variable de ma fonction, je dérive en considérant V constant, même si V dépend de r !

C'est correct. Mais l'ambiguïté de notation nuit...

En distinguant les notations, on a d'une part




(On peut noter aussi bien et alors )

et de l'autre

[b@z66]

Considérer V constant dans ton deuxième calcul de dérivée partielle revient à considérer:

d(V)=0=d(r.t²)=2rt.dt+t².dr

=> dr/dt=-2r/t

r varie donc avec t , ce qui n'était pas la cas dans ton premier calcul.

En fait, le résultat n'aurait été le même entre les deux calculs, de manière triviale, que si tu aurais donné une relation bijective entre t et v sans impliquer r: même si l'allure de ta fonction avec t et r aurait globalement été différente de celle avec v et r, tu aurais quand même retrouver les mêmes variations de ta fonction suivant r pour t ou v constant.

[bachir1994]

Bonjour à tous,
Pour moi la dérivée partielle s’interprète comme la tendance de la variabilité par rapport à une variable, et en fixant les autres, d'une fonction à plusieurs variables.
exemple : un objet voyage dans l'espace en trois dimension les trois dérivées partielles de son déplacement par rapport au temps exprime ses vitesses respectives par rapport à chacun des axes (x,y,z) et bien entendu en fonction du temps.
c'est pour cela qu'on à par exemple la notion du Gradient qui indique la direction en fonction de x,y et z du vecteur vitesse ou on a une grande variation en se déplaçant dans l'espace.
dans le cas de plusieurs variables :
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dans le cas d'une seule variable :
c93dcced6ca0bedf1692022b52d8bfa5.png
le gradient d'une fonction :
Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de f en un point donné a est appelé gradient de f au point a :
on le note aussi \overrightarrow{\nabla} f(\mathbf{a}) (lire "nabla").
\overrightarrow{\operatorname{ grad}}f(\mathbf{a}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)

A+

[bachir1994]

Rebonjour,
je continu avec le gradient, car je n'arrive pas à le voir sur le message précédent.

le gradient d'une fonction :
Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de f en un point donné a est appelé gradient de f au point a :

A+