Mécanique quantiques -opérateurs d'échelle

[nash06]

Bonjour à tous,

dans beaucoup d'endroits (pdf de cours de mécanique quantique trouvés sur internet notamment) je trouve que pour un oscillateur harmonique (en 2D pour faire simple), on définit les opérateurs d'échelle :




(Je vous fais grâce des constantes en facteur).

Parfois, il est précisé juste après que ces deux opérateurs sont conjugués hermitiques l'un de l'autre, mais je ne trouve jusqu'à présent aucune démonstration. Voilà donc ma question : comment peut-on montrer cela ?

Je dois dire que dans le cadre d'un exercice que je dois faire, ça m'arrangerait bien de pouvoir utiliser ce fait mais ce n'est pas marqué dans les hypothèses. En revanche, je suis peut-être très très rouillé niveau mathématiques, mais je n'ai pas la moindre idée de comment je pourrais le démontrer.

Merci aux âmes charitables qui voudront bien m'aider
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[azizovsky]

Salut, voir :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscilla...ique_quantique

Ceci suggère l'introduction des opérateurs non-hermitiques, appelés "opérateurs d'échelle", adjoints l'un de l'autre:

[nash06]

Re,


Oui, j'ai déjà vu cette page-là... sauf qu'encore une fois, je n'ai pas l'impression qu'il y ait de démonstration du fait qu'ils soient adjoints l'un de l'autre.

Si je ne m'abuse, la définition d'un adjoint a* de a c'est le fait que pour tous x et y de l'espace considéré,

(ax|y)=(x|a*y) où (|) dénote le produit scalaire.


Le problème c'est que je ne vois pas comment prouver dans le cas présent que a et a+ soient adjoints l'un de l'autre... j'ai l'impression que ça semble évident au rédacteur de l'article de wikipedia puisqu'il ne donne pas de démonstration, mais en tout cas ça ne l'est pas pour moi...

Des idées ?

[nash06]

Re,

J'ai peut-être trouvé quelque chose :
Je vire les constantes pour que ce soit plus clair :




Dans ce cas, pour deux vecteurs u,v :

(au|v)=((ip+x)u|v)=(ipu|v)+(xu |v)=?=(u|-ipv)+(u|xv)=(u|a'v)
Au niveau du point d'interrogation ?, j'ai utilisé le fait que p et x sont autoadjoints. J'ai un gros doute là-dessus. Est-ce que c'est vrai ? Est-ce que toute observable est nécessairement hermitique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Re,

J'ai peut-être trouvé quelque chose :
Je vire les constantes pour que ce soit plus clair :




Dans ce cas, pour deux vecteurs u,v :

(au|v)=((ip+x)u|v)=(ipu|v)+(xu |v)=?=(u|-ipv)+(u|xv)=(u|a'v)
Au niveau du point d'interrogation ?, j'ai utilisé le fait que p et x sont autoadjoints. J'ai un gros doute là-dessus. Est-ce que c'est vrai ? Est-ce que toute observable est nécessairement hermitique ?

je suis d'accord; vous pouvez également vérifier que cest bon pour p et x en revenant à la définition en utilisant le produit scalaire
Il vaut mieux que ça marche en effet puisque ce sont des observables.

A+

[nash06]

Ah oui, merci de votre réponse.

[invitec998f71d]

X et P sont autoadjoints et l'adjoint de i p est - i p (transconjugaison)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_adjointe