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Chocs simultané de 3 boules



  1. #1
    joel_5632

    Chocs simultané de 3 boules


    ------

    bonjour

    Lors d'un choc simultané entre 3 boules, comment détermine t'on les trajectoires et les vitesses des boules après le choc ?

    On suppose le choc élastique (Energie = cte), on néglige les frottements à la surface des boules (les boules sont donc sans rotation), on suppose les boules parfaitement rigides (donc forces infinies au moment du choc et discontinuité des vitesses)

    -----
    Dernière modification par joel_5632 ; 14/12/2014 à 18h56.

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  3. #2
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par joel_5632 Voir le message
    on suppose les boules parfaitement rigides
    Les problème est déjà très compliqué du fait que le contact entre les boules est différent pour chaque couple de de boules , ce qui démoli la notion de simultanéité .
    Si en plus on enlève l' élasticité , il devient impossible à résoudre .

  4. #3
    Anta.C

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Bonjour,

    pourriez vous préciser la question ?
    On suppose donc que les conditions initiales sont compatibles avec un choc unique.

    Est ce que les boules sont ponctuelles ? Sinon, y a t il des contraintes géométriques dues à leurs diamètres ? Si 2 boules non ponctuelles n'ont qu'un point de contact possible lors du choc, ce n'est pas toujours le cas de 3.
    Est ce que les masse , position et vitesse initiale sont des variables de boule ? Est ce que les 3 vecteurs vitesses sont dans un plan ?
    Dernière modification par Anta.C ; 15/12/2014 à 04h48.

  5. #4
    joel_5632

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    bonjour

    On m'a dit sur un autre forum que la résolution était impossible avec les conditions que je fixe. Je voulais une confirmation. Il faut donc modeliser le contact entre boules, par exemple avec un ressort (deux ressorts pour le contact simultané d'une boule avec 2 autres, voire 3 ressorts ...)

    Pour répondre à Anta.
    Non les boules ne sont pas ponctuelles et on suppose que les mouvements sont dans un plan.
    Dernière modification par joel_5632 ; 15/12/2014 à 07h29.

  6. #5
    LPFR

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Bonjour.
    Déjà avec le choc entre deux boules, le résultat dépend du « paramètre de choc » (choc plus ou moins frontal).
    On déduit les trajectoires en tenant compte du point de contact entre les surfaces.
    Vous devriez calculer ce problème avant de vous attaquer à celui de trois boules.

    Pour un choc entre 3 boules il y aura deux paramètres de choc (indépendants).
    Ici il faut aussi tenir compte des points de contact. Et si l’élasticité des boules est différente, alors ça dévient vraiment compliqué, comme l’a dit Dynamix. Car les angles changent pendant le choc.

    À moins que vous ayez un cas précis que demande de faire ce calcul, je ne pense pas qu’il soit très utile. Déjà, dans le choc de deux boules, le paramètre de choc est le plus souvent inconnu et inaccessible. (Sauf au billard, évidement).
    Et le cas de trois boules est simplement impossible en pratique.
    Au revoir.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    joel_5632

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    @LPFR

    J'ai déjà traité dans un programme de simulation le cas du choc de 2 boules, y compris non frontal, et je suis coincé avec 3 boules ou plus d'où ma question sur ce forum et d'autres. Dans le cas du choc de 2 boules on s'en sort facilement en utilisant simplement la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie.

    Avec 3 boules ou plus il faut, semble t-il, cesser de considérer les boules comme parfaitement rigides.
    Dernière modification par joel_5632 ; 15/12/2014 à 11h14.

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  10. #7
    joel_5632

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Pour être plus précis, pour un choc de 2 boules, les lois de la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie suffisent pour déterminer les trajectoires et les vitesses des boules après le choc, peu importe comment se passe précisément l'interaction (on a quand même besoin de supposer l'absence de tout frottement). Avec 3 boules ou plus, ces 2 lois ne suffisent pas, il faut aussi modéliser finement l'interaction. Voilà où j'en suis. Est ce que tout le monde est d'accord avec ça ?
    Dernière modification par joel_5632 ; 15/12/2014 à 11h34.

  11. #8
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Le choc ne peut pas être simultané .
    Si les boules entrent en contact au même instant , elle ne se séparent pas en même temps .

  12. #9
    joel_5632

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    @Dynamix

    > Le choc ne peut pas être simultané
    Il suffit de régler convenablement les conditions initiales pour qu'un choc simultané entre 3 boules survienne

    > Si les boules entrent en contact au même instant , elle ne se séparent pas en même temps
    Pourquoi ?

  13. #10
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Bonjour
    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Le choc ne peut pas être simultané .
    Si les boules entrent en contact au même instant , elle ne se séparent pas en même temps .
    Je ne suis pas d'accord, c'est possible pour certains cas présentant une symétrie particulière.

    A+
    Étonnant, non ?

  14. #11
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    pour des boules qui ne tournent pas sur elles-mêmes on peut reformuler la question comme un problème à trois corps dans lequel le potentiel de chaque corps ne dépend que de la distance à son centre

    le potentiel d'une boule de rayon R doit simplement vérifier :
    et

    une telle modélisation est conservative, si on veut tenir compte des pertes énergétiques il faudrait introduire des forces dissipatives lorsque .

    A+
    Étonnant, non ?

  15. #12
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par lucas.gautheron Voir le message
    Je ne suis pas d'accord, c'est possible pour certains cas présentant une symétrie particulière.
    Pour te faire plaisir , je rectifie mon propos .
    Dans le cas géneral , si les boules entrent en contact au même instant , elle ne se séparent pas en même temps .
    Je pensais que le sous entendu "cas général" était évident .
    Dernière modification par Dynamix ; 15/12/2014 à 16h35.

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  17. #13
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Pour te faire plaisir , je rectifie mon propos .

    Je pensais que le sous entendu "cas général" était évident .
    il ne s'agit pas de me faire plaisir mais de corriger une affirmation fausse.
    il peut être intéressant d'étudier ces cas particuliers solubles à la main afin de comparer le résultat à celui d'une étude plus générale.

    A+
    Étonnant, non ?

  18. #14
    Anta.C

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par lucas.gautheron Voir le message
    Bonjour


    Je ne suis pas d'accord, c'est possible pour certains cas présentant une symétrie particulière.

    A+
    L'énoncé supposant des boules rigides, tous ceux pour lesquels l'une des 3 droites de départ est la bissectrice des 2 autres.

  19. #15
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par Anta.C Voir le message
    L'énoncé supposant des boules rigides, tous ceux pour lesquels l'une des 3 droites de départ est la bissectrice des 2 autres.
    Quelle droite ?
    Une quantité de mouvement se représente par un vecteur .
    Il faut prendre en compte son orientation et son intensité .

  20. #16
    Anta.C

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Une quantité de mouvement se représente par un vecteur .
    Je comprends mais là il s'agit d'obtenir les conditions géométriques du choc simultané de l'énoncé. Ce sont les droites des points de départ et des vecteurs vitesses initiaux.

  21. #17
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Ta condition n' est pas suffisante .
    L' intensité joue un rôle .

  22. #18
    Anta.C

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    même avec des boules rigides ?

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  24. #19
    Dynamix

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Les boules rigides rendent , à mon avis , le problème insoluble .
    C' est le transfert d' une partie de l' énergie cinétique en énergie de déformation , suivit de l' opération inverse qui permet d' expliquer la répartissions des énergies cinétique finales .

  25. #20
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Re,

    J'ai fait une petite simulation numérique du problème.
    Il s'agit d'utiliser l'hypothèse précédente (construction d'un potentiel V associé à une boule)
    la force d'une boule sur un autre est alors le gradient de V dans la direction de la droite formée par les centres des deux boules. Comme ce gradient n'est pas le même en tout point d'une boule, il faut calculer l'intégrale où d est al distance entre les centres des boules.

    Voici le code.
    Il permet d'étudier n'importe quelle configuration mais pour l'instant je ne l'ai testé que pour un disposition des boules équidistantes avec une vitesse dirigée vers le centre (choc simultané donc).

    Je trouve bien sur que les boules repartent d'où elles viennent (comme on s'y attend par symétrie) et la courbe d'évolution de la vitesse (en norme) d'un d'entre elles (cest la même pour chacune) est donnée dans l'image en fichier joint :

    output.jpg

    Le code est ici :

    Code:
    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <vector>
    #include "math.h"
    
    #define PI 3.14159265359
    
    using namespace std;
    
    struct vec
    {
        double x, y;
    
        vec() { x = y = 0; }
    
        double norme() { return sqrt(x*x + y*y); }
        vec unitaire() { vec u; u.x = x; u.y = y; double n = norme(); u.x /= n; u.y /= n; return u; }
    };
    
    struct Boule
    {
        double rayon;       // rayon de la boule
        vec pos, v;         // position et vitesse
        double k;           // paramètre du potentiel
        double densite;     // densite
        double masse;
    };
    
    std::vector<Boule *> boules;
    
    double potentiel(Boule *b, double r)
    {
        return r > b->rayon ? 0 : b->k * (b->rayon-r) * (b->rayon - r);
    }
    
    // force exercée par a sur b
    vec force(Boule *a, Boule*b)
    {
        vec dir;
        double distance = 0;
        dir.x = b->pos.x - a->pos.x;
        dir.y = b->pos.y - a->pos.y;
        distance = dir.norme();
        dir = dir.unitaire();
    
        vec force;
        if(distance >= a->rayon + b->rayon) return force;
    
        const int pas_sphere = 100;
        double dx = 2*b->rayon/double(pas_sphere);
        double f = 0;
        for(int i = 0; i < pas_sphere; ++i)
        {
            double x = -b->rayon + dx * double(i);
            double fdx = potentiel(b, x+dx+distance)-potentiel(b, x+distance);
            f += fdx;
        }
        force.x = - f * dir.x;
        force.y = - f * dir.y;
        return force;
    }
    
    int main()
    {
        double dt = 0.00001;
        for(int i = 0; i < 3; ++i)
        {
            Boule *b = new Boule();
            b->rayon = 0.1;
            b->k = 1000;
            b->densite = 1000;
            b->pos.x = 1*cos(2*PI*double(i)/3.0);
            b->pos.y = 1*sin(2*PI*double(i)/3.0);
            b->masse = 4.0 * PI * b->rayon * b->rayon * b->rayon / 3.0;
            b->v.x = -b->pos.x;
            b->v.y = -b->pos.y;
            boules.push_back(b);
        }
    
        FILE *fp = fopen("file.res", "w+");
        for(int i = 0; i < (2.0/double(dt)); ++i)
        {
            for(int j = 0; j < boules.size(); ++j)
            {
                for(int k = 0; k < boules.size(); ++k)
                {
                    if(j != k)
                    {
                        vec f = force(boules[k], boules[j]);
                        f.x /= boules[j]->masse;
                        f.y /= boules[j]->masse;
                        boules[j]->v.x += dt * f.x;
                        boules[j]->v.y += dt * f.y;
    
                        boules[j]->pos.x += dt * boules[j]->v.x;
                        boules[j]->pos.y += dt * boules[j]->v.y;
                    }
                }
            }
            fprintf(fp, "%e %e %e %e %e %e %e %e %e %e %e\n", double(i) * dt, boules[0]->pos.x, boules[0]->pos.y, boules[1]->pos.x, boules[1]->pos.y, boules[2]->pos.x, boules[2]->pos.y, boules[0]->v.x, boules[0]->v.y, boules[1]->v.x, boules[1]->v.y);
        }
        fclose(fp);
    
        return 0;
    }
    Étonnant, non ?

  26. #21
    Anta.C

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    c'est une expérience macroscopique idéalisée avec des conditions contraignantes ...
    Le calcul reste difficile avec 3 boules différentes ( rayon, masse , vitesse ) mais il semble y avoir là assez d'équations. On peut centrer le repère plan sur le centre du cercle inscrit dans le triangle des 3 points de contact et choisir l'axe de la bissectrice et son orthogonale

  27. #22
    joel_5632

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    @dynamix
    >Les boules rigides rendent , à mon avis , le problème insoluble .
    >C' est le transfert d' une partie de l' énergie cinétique en énergie de déformation ,
    >suivit de l' opération inverse qui permet d' expliquer la répartissions des
    >énergies cinétique finales.

    Oui pour 3 boules ou plus.

    Avec 2 boules seulement, grâce aux lois de conservation de E et on trouve les trajectoires et les vitesses après le choc sans décrire précisément l'interaction. On peut supposer les boules parfaitement rigides, la durée du choc nulle, une force et une accélération infinies au moment du choc, des vitesses discontinues.

    Avec 3 boules, ce n'est plus possible, il faut mettre les mains dans le cambouis (l'interaction au moment du choc)
    Dernière modification par joel_5632 ; 15/12/2014 à 17h52.

  28. #23
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Notez que dans mon modèle, j'ai choisi un potentiel répulsif élastique de type .
    Celà donne une force proportionnelle à R-r, cela peut d'ailleurs paraitre assez naturel, c'est sans doute correct pour des chocs "lents" mais cela autorise des boules à se traverser mutuellement pour des vitesses très élevées.
    Donc, il faut choisir la constante de proportionnalité suffisamment grande pour éviter cette possibilité avec les vitesses en jeu, ou bien changer le potentiel pour qu'il tende bien vers l'infini en 0. Ex : pour r < R :


    Alors (la force à un signe - près)

    donc au voisinage de R ce qui reste bien linéaire et en 0 ce qui est très répulsif.

    ( On peut imaginer plein d'autres modélisations basées sur des raisonnements plus physiques ).

    A+
    Étonnant, non ?

  29. #24
    lucas.gautheron

    Re : Chocs simultané de 3 boules

    Bonjour, j'ai corrigé quelques erreurs dans la simulation, je posterai la version retravaillée plus tard. Je réfléchis aussi à un meilleur modèle de force qui respecte la troisième loi de newton dans le cas de boules de propriétés différentes. C'est beaucoup plus compliqué !

    A+
    Étonnant, non ?

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