Valeur propre J²

[Micki2a]

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi en mécanique quantique la valeur propre de J² est j(j+1)hbar²

Dans le Cohen, il évoque l'argument de J est homogène à hbar. Et il dit qu'une valeur propre de J² est forcément sous la forme lambda*hbar², pourquoi? A cause de l'homogénéité?
Et ensuite pourquoi choisir lambda = j(j+1) ?

Merci d'avance.
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[coussin]

Oui, par homogénéité la valeur propre est proportionnelle à hbar^2. Et on démontre (on ne choisit pas au hasard...) qu'elle est ce qu'elle est via les opérateurs J+ et J-. La démonstration est longue, j'en conviens...

[lucas.gautheron]

Bonjour,
Pour le , c'est sans doute une histoire de dimensions, oui.
Pour le reste, je ne saispas comment cela est expliqué dans le cohen.
Une cheminement possible est celui ci:
Déjà, d'après les relations de commutation () on a, puisque
:


(car )

Donc J^2 et J_i commutent et sont donc simultanément diagonalisables.

Les vecteurs propres communs de J^2 et Jz (par exemple) sont alors caractérisés par deux valeurs a priori indépendantes j et m (que l'on peut adimensionner donc), et on les notes , telles que les valeurs propres associées sont j(j+1) pour J^2 et m pour J_z. (j(j+1) est possible car J^ 2 doit être a valeurs propres positives. Ce choix se révèle astucieux par la suite, mais sans même connaitre le résultat, on sait qu'il est en tout cas possible, car il permet de décrire au moins toutes les valeurs propres a priori possible, car les valeurs dans .)

Pour simplifier les choses on considère alors les opérateurs .
On remarque alors que

Donc

Donc

Et de plus : doit être positif également donc a j donné les valeurs m doivent vérifier :

Avec ces éléments on peut alors montrer les relations qui lient m et j.

Une démonstration est donnée sur wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_...e_quantique%29

A+