Physique statistique : entropie microcanonique et dénombrement.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai quelques questions de physique statistique.

--------- Entropie microcanonique -------------
La première concerne l'entropie microcanonique :

La différence entre une entropie "tout court" et l'entropie microcanonique est que cette dernière est attachée à un système thermodynamique remplissant 3 critères précis :

L'énergie, le volume et le nombre de constituants du système sont fixés à une constante.

Et dans ce cas là l'entropie vaut S*=kb*ln(Omega) (Omega : nombre d'états possible du système).

Car en toute rigueur une entropie "quelconque" (d'un système non isolé par exemple) vaut :



où l'indice m représente une configuration possible du système.

Êtes vous d'accord avec moi ?


----------- Dénombrement -----------

Dans un exo de mon TD, nous nous sommes intéressés à compter le nombre de dégénérescence d'un niveau d'énergie quantique de N oscillateurs quantiques.

En gros on a : E=hw*(n1+n2+...+nN) avec les ni tous positifs (mais certains peuvent être nuls).

il faut donc savoir combien il y a de possibilité pour écrire un entier positif (ou nul) que j'appelle "K" avec N entiers positifs :

n1+n2+n3+...+nN=K

J'ai la correction mais le résultat est "balancé" (je ne le comprends pas), et comme je suis nul en dénombrement j'aimerai bien voir comment il faut raisonner.

Merci !
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[invite8f6d0dd4]

Quelqu'un aurait il une idée ??

[invite93279690]

C'est quoi le résultat balancé au juste ?

[invite8f6d0dd4]

Ah oui pardon j'ai oublié.

Le résultat est : (K+N-1)!/(K!(N-1)!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Ah oui pardon j'ai oublié.

Le résultat est : (K+N-1)!/(K!(N-1)!)

je ne suis pas très doué non plus en dénombrement et je ne suis pas sûr que cette formule soit si facile que cela à obtenir. Le raisonnement de base est plutôt simple à faire (voir par exemple ici) mais sa généralisation pour tout N ne me semble pas couler de source. Elle peut probablement se montrer rigoureusement en utilisant un raisonnement par récurrence mais cela implique le calcul d'une somme (similaire à celle du wiki pour N=3) d'une suite récurrente (pas nécessairement à progression arithmétique) que je n'ai pas su simplifier .

En ce qui concerne l'entropie microcanonique, tu te fiches probablement du commentaire qui va suivre mais il me semble important de souligner que rien n'est gravé dans le marbre.

En particulier, un débat a commencé fin 2013 sur la formule que l'on devrait utiliser pour l'entropie dans l'ensemble microcanonique. Le débat, qui a toujours existé, a été remis à l'ordre du jour dans un article de Nature Physics (open source) et le point de vue adopté par ses auteurs a été fortement décrié par d'autres auteurs tout aussi influents en physique statistique. A ce jour, le débat n'est pas clos et les auteurs du premier article ont resoumis un article détaillé d'une trentaine de pages il y a quelques mois pour renforcer leur point de vue.

Bref, cette discussion n'est pas importante pour que tu ais des bonnes notes à la fin du semestre mais me semble cruciale pour quiconque s'interessant un peu à la physique statistique et à comprendre que les débats fondamentaux en physique ne sont pas l'apanage de la physique des hautes énergie.

[invite47ecce17]

Bonjour,

il faut donc savoir combien il y a de possibilité pour écrire un entier positif (ou nul) que j'appelle "K" avec N entiers positifs :

n1+n2+n3+...+nN=K

J'ai la correction mais le résultat est "balancé" (je ne le comprends pas), et comme je suis nul en dénombrement j'aimerai bien voir comment il faut raisonner.

Ah oui pardon j'ai oublié.

Le résultat est : (K+N-1)!/(K!(N-1)!)

J'ai l'impression que ton resultat est faux si j'ai bien compris ce que tu veux faire.
Tu veux trouver le nombre de façon d'ecrire un entier K fixé en somme de N entiers positifs ou nuls, ou ce qui revient au meme, ecrire un entier K fixé en somme de moins de N entiers stricts positifs.
Deja pour N=K=5 tu as 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 et 1+1+1+1+1 soit 7 possibilités.
Or ta formule donne 9!/4!5! soit... 126.

Est ce bien cela que tu veux faire, ou alors j'ai mal compris ?

[invite47ecce17]

A moins que tu ne considere que 0+0+0+0+5 et 5+0+0+0+0 donnent deux partitions differentes ?

[invite93279690]

A moins que tu ne considere que 0+0+0+0+5 et 5+0+0+0+0 donnent deux partitions differentes ?

en effet tous les arrangements comptent ici.

[invite47ecce17]

Dans ce cas là, alors, tu obtiens tres facilement la formule demandée de la manière suivante.
Tu possedes K battons |||||...||| et tu veux inserer N-1 etoiles pour les séparer en tas N tas, par exemple pour K=5 et N =3
tu as ||*|*|| qui représente 2+1+2 ou |**|||| qui représente 1+0+4
Mais ca revient à avoir K+N-1 battons, et a choisir parmi ces K+N-1 battons, N-1 battons que tu vas changer en etoiles. Il y a (N-1) parmi (K+N-1) facons de faire ca.
Ce qui donne la formule que tu cherches.

[invite93279690]

Dans ce cas là, alors, tu obtiens tres facilement la formule demandée de la manière suivante.
Tu possedes K battons |||||...||| et tu veux inserer N-1 etoiles pour les séparer en tas N tas, par exemple pour K=5 et N =3
tu as ||*|*|| qui représente 2+1+2 ou |**|||| qui représente 1+0+4
Mais ca revient à avoir K+N-1 battons, et a choisir parmi ces K+N-1 battons, N-1 battons que tu vas changer en etoiles. Il y a (N-1) parmi (K+N-1) facons de faire ca.
Ce qui donne la formule que tu cherches.

Super. Je ne connaissais pas cette méthode.