Equation de d'Alembert

[invitecc2e5eff]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la philosophie de mon cours sur l'equation de d'Alembert, la voici:

- Définition d'une onde progressive OP: s(r,t)=s(t-r.n/v) ou r est le vecteur position et n vecteur unitaire dans la direction de propagation
-Démonstration de l'eq de d'Alembert pour les OP. 1ere question que je me pose: l'eq de D'Alembert est-elle valable uniquement pour les OP?
-Un exemple dans le cas sinusoidale s(r,t)=A(r)exp(iwt). On injecte dans d'Alembert et on trouve Helmhotz: Laplacien A +(w²/v²)A=0 . On déduit la relation de dispersion k=w/v , on résout, on trouve que s(r,t) est la somme de 2 OP: donc c'est une OP

Ce que je ne comprends pas :
- On apelle k le terme w/v et on dit que c'est le vecteur d'onde ....Je vois pas comment on peut savoir que c'est le vecteur d'onde ... Je sais bien que c'est vrai mais je vois pas en quoi c'est l’équation de d'Alembert qui nous apporte la relation de dispersion.
- Si c'est pour conclure l'onde sinusoidale est une OP, c'est que l'on ne le savais pas au début, donc pourquoi aurait-on le droit de l'injecter dans la solution de d'Alembert.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Historiquement il y avait le nombre d’onde (avec deux définitions différentes) qui correspond à la périodicité spatiale d’une onde (figée dans le temps). Dans ce cas la fonction d’onde en une seule dimension (x) peut s’écrire s(t-kx).
Mais quand l’onde avance dans une direction quelconque on obtient la fréquence spatiale en faisant lme produit scalaire entre le vecteur ‘r’ qui donne la position du point étudié, et une vecteur dont la norme est le même ‘k’ que tout à l’heure et dont la direction est celle de l’avancement de l’onde.
Il faut faire un dessin comme celui-ci (désolé, c’est en coréen).

L’équation de d’Alembert est valable pour touts les ondes progressives, sinusoïdales on pas. Et même pour une onde stationnaire, que l’on peut voir comme la somme de deux ondes progressives avançant dans de directions opposées, on peut considérer que c’est la solution (presque) générale de l’équation de d’Alembert.
Au revoir.