Équation de la chaleur sphérique, problème d'une condition aux limites.

[invited0453fcc]

Bonjour à tous ! Je rencontre un petit problème suite à une équation donnée par mon professeur de thermo-méca.
On me présente l'équation classique de la diffusion en 3D ( avec le gradient simplifié ) :


et les conditions aux limites suivantes :

et qui est la température extérieure et R le rayon de la balle.
Nous avons aussi les conditions initiales suivantes :

Après avoir effectué le changement de variable suivant On obtient comme équation de diffusion :



Seulement j'ai donc un soucis pour mes conditions initiales données.

Je devrais donc avoir => ??? absurde

Or cette fonction n'est pas définie donc pas dérivable pour r=0 et, étant donné que c'est l'inconnue de notre EDP impossible de la prolonger car on ne la connaît pas.

Je viens à vous pour savoir si j'ai fais une erreur de raisonnement ou dans l'autre cas pour être sur d'aller voir mon prof sans y avoir réfléchit à la hâte.

Je ne peux donc pas faire de relèvement de ma solution ni de méthode spectrale ( séparation des variables )
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[invited0453fcc]

Je relance la discussion histoire de voir si quelqu'un saura y répondre

[Sethy]

Pourquoi n'est-elle pas dérivable ? La dérivée par rapport à r, d'une fonction qui ne dépend pas de r est nulle, mais c'est tout à fait dérivable.

[invited0453fcc]

Pour moi elle n'est pas dérivable car = et que cette expression n'est pas définie pour r=0 à part si F(r,t) est une fonction qui permet de factoriser le dénominateur par . Mais ne connaissant pas ma fonction F je ne sais pas trop quoi dire dessus ... ce qui me dérange c'est comment utiliser cette expression pour r nul

[A voir en vidéo sur Futura]

[Omega3.0]

Bonjour,
La solution générale de l'équation de la chaleur en coordonnées sphériques est de la forme T = a + b/r
Applique les conditions initiales sur un système limité par deux sphères concentriques de rayon R1 et R2.
(R1< R2), puis faire tendre R1 vers 0. ça marche peut-être.

[LPFR]

Bonjour.
Avez-vous pensé à sortir un moment du monde mathématique et faire un tour chez nous, dans le monde physique ?

Regardez les conditions de bord que vous imposez : une source de chaleur ponctuelle pour r = 0, qui fournit de la chaleur finie autour. C’est physiquement impossible.
Pas étonnant que vous retrouviez des infinis pour r = 0.
Votre équation est valable partout sauf pour r = 0. Peut-être que cela suffit dans votre problème et que la limite suggérée par Omega3.0 est finie.
Si ce n’est pas le cas, cela veut dire que les conditions imposées sont impossibles et qu’elles ne sont valides que pour ‘r’ très petit, mais non nul.
Au revoir.

[invited0453fcc]

J'ai tenté de résoudre mon problème en utilisant la limite mais ça devient assez vite brouillon. Effectivement je n'avais pas sortie la tête du guidon, je n'avais regardé le problème que sous un œil mathématique. Je pense que la meilleure chose à faire est d'aller directement voir mon prof, merci a ceux qui m'ont aidé bonne journée à vous !

[Omega3.0]

Bonsoir,
Effectivement vas voir ton Prof, je suis curieux de connaître sa réponse.
Tu viens de prendre ta première vrai leçon de physique.
Le maths sont un outil pour les physiciens rien de plus.
Les mathématiciens excluent du domaine de définition un point qui les em….. . Ils donnent des équations
démontrées par déduction donc en principe vraies que les physiciens utilisent. (il existe des théorèmes qui ont
été démontrés, puis devenus faux, puis la démonstration a été corrigée).
Les physiciens doivent en permanence se confronter à la dure réalité de la nature par l'expérimentation.
Ils doivent donc réfléchir avant de se lancer dans un calcul mathématique. Une fois le calcul fait, il doivent se
poser la question de la cohérence du résultat. Entre autre, la validité de l’équation aux dimensions du résultat. Cela permet de détecter des erreurs de calcul.(condition nécessaire mais évidemment pas suffisante).
Pour ton problème je trouve que T tend vers Te si R1 tend 0. Mais pour 0 il n’y a pas de solution. Par contre
si R1 > 0 mais voisin de 0, la solution est cohérente, sera très proche de Te ce qui peux s’expliquer par des considérations
énergétiques.
Si tu veux tout savoir (ou presque) sur l’équation de la chaleur, vas voir sur le site http://docinsa.insa-lyon.fr/polycop/...d=160504&id2=3
J’espère que mes premières remarques ne t’on pas choqué et que tu ne me prends pour un vieux snocke..
Au revoir

[coussin]

Pour moi elle n'est pas dérivable car = et que cette expression n'est pas définie pour r=0 à part si F(r,t) est une fonction qui permet de factoriser le dénominateur par . Mais ne connaissant pas ma fonction F je ne sais pas trop quoi dire dessus ... ce qui me dérange c'est comment utiliser cette expression pour r nul

Suffit que F et sa dérivée s'annule (comme il faut) en zéro... Non ?

[coussin]

D'ailleurs, il me semble que ça marche : vu la condition initiale sur d gamma/d r, gamma doit être en r en 0 et donc F est en r^2. Je me trompe ?