Vibrations d'un système Masse-Ressort Non Linéaire

[Torseur06]

Bonjour,

J'ai une question concernant les vibrations forcées d'un système masse ressort non linéaire. (par exemple de type kx^3)
Syst_Masse_Ressort.jpg

Pour un ressort linéaire, sous une excitation plancher de type "sinus" la forme de la courbe est simple (oscillateur 1 ddl).
Donc on a 1 résonance situé à w=Racine (K/M)
Masse_Ressort_Lineaire.jpg

En revanche je me posais la question pour un ressort de type non linéaire, à quoi ressemblerait cette courbe ?
J'imagine que cette courbe (donc la résonance) varierait en fonction de l'amplitude de l'excitation plancher, donc on aurait un faisceau de courbes, mais j'ai du mal à voir à quoi pourrait ressembler ce faisceau et si on pouvait intuiter la valeur de ces résonances aussi facilement que dans le cas linéaire. (J'imagine qu'il faut poser tout ça en équations mais j'ai perdu un petit peu les notions de résolution d'équadiff non linéaire !)
Le fait d'introduire une non linéarité introduit-il de nouveaux ddl ?

Je vous remercie de votre aide à tous !
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Votre système n’est pas simple à calculer :
http://www.sciencedirect.com/science...22460X70801122
Au revoir.
EDIT: un pdf en libre accès:
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...,d.d2s&cad=rja

[Torseur06]

Merci de votre réponse LPFR et de vos liens.
Malheureusement il y a beaucoup de développements mathématiques et peu d'illustrations de courbes.
J'ai trouvé une thèse où j'ai extrait p.22 une capture d'écran qui détaille le passage m'intéressant.
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00544719/document
Extrait_These.jpg

Il semblerait donc qu'au 1er ordre dans un système masse-ressort non linéaire cubique la formule donnant la pulsation propre en fonction des caractéristiques du système est :
w = (A/2) * Racine( 3 * K/M)
(même si j'ai du mal à comprendre comment on peut négliger le terme en '3w' devant le terme en 'w' pour arriver à ce résultat.

Cette formule indique donc que la fréquence propre du système est dépendante de l'amplitude d'excitation (A) du plancher.
Mais j'ai cru comprendre qu'à une amplitude d'excitation extérieure 'A' fixée avec un balayage sinus la FRF aurait une forme différente que dans le cas linéaire mais elle se rapprocherait plus d'une courbe repliée où à proximité de la fréquence de résonance non linéaire, une fréquence d'excitation pourrait avoir 2 amplitudes d'oscillations possibles.

Resonance_NL.jpg

Voilà si vous pouviez m'éclairer je suis preneur.

Merci à vous !

[invite6dffde4c]

Bonjour.
On n’a pas besoin d’écrire aucune formule pour conclure que la fréquence d’oscillation augmente avec l’amplitude : la force de restitution moyenne augmente plus vite avec l’amplitude qu’avec un ressort linéaire.
Pour ce qui est de la « linéarisation », c’est la façon facile de trouver des solutions approchées quand la solution exacte est trop compliquée. Dans le texte on vous donne la méthode. L’oscillation ne sera pas sinusoïdale mais aura d’autant plus d’harmoniques impaires que l’amplitude est importante. Le fait de négliger l’effet du troisième harmonique permet de trouver une solution approchée.
Et il ne faut surtout pas oublier que cette solution approchée n’est pas LA solution, mais uniquement une approximation. Vous pouvez trouver que le traitement correct du problème est trop compliqué pour vous, et il l’est, car il fait l’objet des thèses et des livres. Mais vous ne pouvez pas dire « je ne veux pas de cette solution. Je veux une à ma portée. »

Pour ce qui est du repliement de la courbe de réponse au balayage de fréquence, je n’ai pas réfléchi à cet aspect. Mais on peut comprendre que la réponse à une fréquence sera plus faible si l’amplitude n’a pas encore atteint la bonne valeur. Donc, pour une même fréquence (ω2) vous avez une réponse faible et une grande possibles.
Mais je pense que cette courbe n’est valide qu’avec des pertes d’une valeur adéquate.

Pouvez-vous nous dire dans quel cadre vous faites cette étude ?
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Une autre précision : la réponse fréquentielle a une portée moindre que dans un système linéaire ou elle permet de trouver la réponse générale du ressort à une excitation quelconque par transformée de fourier.
Ici, ce n'est plus le cas.

A+

[Torseur06]

Merci de vos réponses et désolé de la réponse tardive.
J'avais bien compris et je ne prenais pas pour acquis cette solution approchée au 1er ordre LPFR.

Pour le cadre de l'étude, c'est l'étude global des amortisseurs non linéaires.
De nombreuses thèses existent déjà sur le domaine mais j'essayais de m'approprier ça un peu plus personellement.

Merci à vous en tout cas je vais essayer de m'y replonger et je reviens vers vous si j'ai d'autres incertitudes...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le comportement de deux systèmes masse-ressort-amortisseur avec le ressort non linéaire ou avec l’amortisseur non linaires sont complètement différents. La force ne dépend que de la position dans un cas et de la vitesse (et éventuellement, aussi de la position) dans l’autre.
Au revoir.

[invite42aa8e0d]

j'ai une question/
si on a une courbe de résonance non linéaire comment déterminer l'amortissement dans la zone de repliement de la courbe (partie non linéaire) ,
Mercii