Résolution d'un problème en électricité

[Thoms08]

Bonjour

Je souhaite calculer l'intensité i(t) du circuit électrique ci-dessous. Comment m'y prendre pour construire mes équations?
Les valeurs de chaque résistances et capacités et des potentiels V1, V4 et V5 sont connus. La tension est continue

Je travaille avec EES (Engineering Equation Solver) donc pas de soucis avec les systèmes d'équations complexes.

circuit.jpg

PS : Ce schéma représente l'analogie électrique de la conduction et l'inertie thermique dans une double paroi.

Merci d'avance pour le coup de pouce!
-----

[Antoane]

Bonjour,

Une solution, certes assez brutale, est d'appliquer le théorème de Millman (en impédances complexe) à tous les points du circuit (entre R1 et R2, entre R2 et R3, entre R4 et R5 et entre R5 et R6). Tu trouves ainsi 4 équations linéaires qui te permettent de résoudre l'ensemble du circuit (4 tensions inconnues). Et hop, tu trouves i.

[LPFR]

... (en impédances complexe) ...

Bonjour Antoane.
Eh non. C’est du continu.
Au revoir.

[Antoane]

Bonjour,

J'ai effectivement bien vu cette ligne mais me suis dis que par "continu" Thoms08 entendait échelon ou assimilable. Parce que le point dc est, lui, trivial à trouver...

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Je pense qu’il est intéressé par l’évolution dans le temps et non la solution pour t = infini.
Je ne vois pas d’astuce pour simplifier le problème.
A+

[Thoms08]

Bonjour Antouane et LPFR

Re.
Je pense qu’il est intéressé par l’évolution dans le temps et non la solution pour t = infini.
Je ne vois pas d’astuce pour simplifier le problème.
A+

En effet, je cherche l'évolution de i en fonction du temps en régime continu

V5 est invariable et les autres tensions augmentent suivant l'état de charge des condensateurs.

[calculair]

Bonjour,

Truc comme ça

J'essaie de voir si il y a des astuces..... si non :

1) j'applique la loi des mailles

2) ) resolution par Kramer


ça marche tout le temps, c'est automatique....

[stefjm]

Re.
Je pense qu’il est intéressé par l’évolution dans le temps et non la solution pour t = infini.
Je ne vois pas d’astuce pour simplifier le problème.
A+

Il y a.
Passage en transformée de Laplace pour profiter des Impédance Laplace.
Retour à l'original par séparation des fractions en élément simple et table de TL-1.

Mais c'est pas enseigné, parce que trop simple et trop pratique...

[Thoms08]

Il y a.
Passage en transformée de Laplace pour profiter des Impédance Laplace.
Retour à l'original par séparation des fractions en élément simple et table de TL-1.

Mais c'est pas enseigné, parce que trop simple et trop pratique...

Salut stef, merci pour ta réponse.

Tout d'abord, j'ai calculé les tensions de chaque noeud (V_A, V_2, V_B, V_3) suivant le théorème de Millman avec les impédances Laplace. J'obtiens:

Millman.PNG

(V_2 est dans la figure ci-après)

J'ai ensuite utilisé Matlab pour avoir les transformées inverses et j'ai obtenus les équations abominables suivantes:

Laplace.PNG

Est-ce correct? Il n'y a pas de méthode plus simple?

[calculair]

Bonjour,

J'ai commencé à appliquer la loi des mailles

Voir Pj

On cherche I1 de la première maille

On a 4 equations de mailles + 2 equations correspondante à la determination de V2 et V3

Je n'ai pas fait les calculs, mais c'est sans doute lourd....

[Antoane]

Bonsoir,

Salut stef, merci pour ta réponse.

Tout d'abord, j'ai calculé les tensions de chaque noeud (V_A, V_2, V_B, V_3) suivant le théorème de Millman avec les impédances Laplace. J'obtiens:

Pièce jointe 273226

(V_2 est dans la figure ci-après)

J'ai ensuite utilisé Matlab pour avoir les transformées inverses et j'ai obtenus les équations abominables suivantes:

Pièce jointe 273227

Est-ce correct? Il n'y a pas de méthode plus simple?

La manière dont tu arrives à ces équations n'est pas claire : tu as appliqué Millman aux différents noeuds du circuit, ce qui t'a donné un système d'équations linéaire que tu as résolu. Puis transformée inverse. C'est la bonne technique. Est-ce bien ce que tu as fait ?

Oui, c'est sale, mais peu importe : c'est l'ordinateur qui gère.
L'autre solution est de passer par une simulation transitoire. Simple et rapide mais tu n'as pas l'expression analytique.
C'est faisable, mais travailler en temporel va, à mon avis, t'envoyer dans le mur rapidement -- c'est pour ça que dieu a inventé Laplace.

[Thoms08]

V_A correspond à la tension au noeud entre R_1 et R_2
et V_B à la tension au noeud entre R_3 et R_4

oui j'ai appliqué Millman, ce qui m'a donné les équations ci-dessus. J'ai ensuite fait la transformée inverse de chacune après les avoir établies.

[LPFR]

Est-ce correct? Il n'y a pas de méthode plus simple?

Bonjour.
Je pense qu’au lieu de trouver le résultat complexe, vous devriez danser de joie.

La seule chose qui manque est de vérifier que la solution satisfait les conditions initiales (pour t = 0) et finales (pour t = infini).
Au revoir.

[Thoms08]

Mmmh, j'ai repéré des fautes dans mes équations, mauvaise application de Millman.

J'obtiens donc après correction les équations suivantes:

Millman.PNG

Aussi, j'ai pas précisé mais dans mon cas, R_1 = R_2 et R_3 = R_4

Transformées Laplace inverse:

Laplace.PNG

ça fait qu'avec t plus grand que 0, V_A et V_B sont nuls (sinon infini), ça craint un peu ça...
Pour ne pas avoir V_A = 0 il faudrait que R_1 et R_2 soient différents, mais ce n'est pas possible, ou que le potentiel (V_1 + V_2)/2 ne soit pas égal à la moyenne des tensions. Idem pour V_B.

J'ai donc modifié le circuit (cfr image ci-après) en espérant trouver une solution. Ca ajoute 2 inconnues (Vt1 et Vt2) donc 2 équations en plus dans le système. En plus de mes 4 équations de Noeud par Millman, est-ce possible d'en avoir 2 autres sans passer par les mailles et le calcul de toutes les intensités?

Analogie électrique.PNG

Bonne soirée

Thoms

[Thoms08]

NB: qq infos concernant mon travail: le circuit est une analogie électrique des déperditions thermiques d'une paroi double couche (bois et polystyrène)
avec
- les résistances R1 et R3 qui sont les résistances thermiques de conduction
- C1 et C2 la capacité thermique de chaque couche
- R6 résistance de rayonnement infrarouge de la paroi
- R5 résistance de convection de la paroi
- C3 capacité thermique du volume d'air intérieur
- V1 et V3 sont les températures de surface des parois
- Vt1 et Vt2 "potentiel" de chaque couche
- V4 température ambiante intérieure
- V2 température entre les deux couches

Le schéma que j'ai posté est une partie de mon circuit global. C'est la seule qui coince encore

[Antoane]

Bonsoir,

En PJ une simulation sous logiciel électronique de ton montage avec des valeurs de composants qqcq.
Je serais curieux de voir le détail de ton raisonnement, ce que tu donnes à ton logiciel de calculs.
phy2_fs.png
Avec R1=R2 et R3=R4 :
phy1_fs.png
Avec R1=R2 et R3=R4, C1 et C2 ont toujours 0V à leurs bornes, il ne servent donc à rien et peuvent être retirés des équations.

[LPFR]

Bonjour Antoane.
Je ne vois pas à quoi correspondent les sauts de tension à 1, 20 et 30 ms.
On ne peut pas avoir des sauts de tension sur un condensateur, ni de température sur un corps.
Au revoir.

[Antoane]

Bonjour,

Ce sont les réponses à des échelons d'entrée, juste pour donner une idée de l'allure des réponses à obtenir et vérifier rapidement sir les équations obtenues semblent bonnes.
V1 passe de -1V à 2V à t=30ms
V2 passe de 1V à 2V à t=20ms
V1 passe de 0V à 1V à t=1ms
Valeurs prises tout à fait arbitrairement.

On ne peut pas avoir des sauts de tension sur un condensateur, ni de température sur un corps.

Effectivement, je n'y avais pas pensé. Si cette phrase veut dire quelque chose : je suis plus électronicien que physicien
Bonne journée.

[Thoms08]

Avec R1=R2 et R3=R4, C1 et C2 ont toujours 0V à leurs bornes, il ne servent donc à rien et peuvent être retirés des équations.

OK, donc il faut que je m'y prenne différemment pour réaliser mon circuit alors car je dois absolument garder mes capacités pour évaluer le temps de stockage de la chaleur dans les parois. Dans mon livre ils mettent "La prise en compte de l'inertie thermique se fait en fractionnant chaque paroi en deux résistances [thermique] et en reliant le point commun de ces deux résistances au potentiel de la paroi via une capacité C [dépendante du volume de la paroi, de sa masse volumique et de sa chaleur massique]"

J'avais posé le potentiel de la paroi comme étant la moyenne de ses températures de surface, c'est peut-être là mon erreur. Faut-il brancher ma capacité à un potentiel indépendant, à déterminer?

Pour mes calculs je peux t'envoyer ça par mp.

[LPFR]

Bonjour.
La température « moyenne » d’une paroi plane n’est égale à la moyenne des températures de deux côtes qu’à état d’équilibre.
Alors, comme hypothèse pour la période transitoire, c’est plutôt raté

Donc, tous les efforts qui ont été faits pour vous, vont à la poubelle.
Ça aurait été plus sage de commencer par donner le vrai problème de départ (thermique) et donner votre équivalent électrique.
On aurait pu détecter vos erreurs à temps.
Quel gâchis.
Au revoir.

[Thoms08]

Bonjour.
La température « moyenne » d’une paroi plane n’est égale à la moyenne des températures de deux côtes qu’à état d’équilibre.
Alors, comme hypothèse pour la période transitoire, c’est plutôt raté

Donc, tous les efforts qui ont été faits pour vous, vont à la poubelle.
Ça aurait été plus sage de commencer par donner le vrai problème de départ (thermique) et donner votre équivalent électrique.
On aurait pu détecter vos erreurs à temps.
Quel gâchis.
Au revoir.

Bonjour LPFR, j’avais consulté un professeur avant de commencer mon calcul et il m’avait confirmé mes hypothèses, dont la température moyenne à l’équilibre, c’est pour cette raison que je suis directement parti sur le problème électrique dans mon premier post, pour plus de clarté. Je vous présente mes excuses.

Mais vos efforts ne sont pas vains, j’ai lu attentivement tout ce qui a été dit et j’ai obtenu de précieux conseils qui m’ont fait avancer dans la compréhension de mon problème (théorème de Millman avec impédance de Laplace).

Donc, et j’espère ne pas trop vous offenser en persévérant, si j’ai bien compris la température « moyenne » de la paroi en période transitoire serait à déterminer? Ça ferait 2 inconnues supplémentaires, cfr schéma de mon poste #14.



Faut-il passer par un calcul de mailles et nœuds avec les intensités de chaque branche ou c’est possible de rester en tensions avec Millman + 2 équations supplémentaires ? En espérant recevoir à nouveau vos conseils, merci d’avance.

Amicalement

Thoms

[LPFR]

Re.
Vous ne m’avez pas offensé.
D’autant plus que je n’ai pas fait grande chose. La bonne idée c’est Stefjm qui vous l’a donnée. Et c’est Antoane qui s’est tapé des calculs pour rien.

Vous ne pouvez pas simuler le transitoire du réchauffement d’une paroi avec un RCR. Car elle est plutôt équivalente à un tas de petits RC en cascade. Ce qui n’ rien à voir avec un RCR.
Votre analogue électrique n'est pas bon.
A+

[calculair]

Bonjour,

Je ne suis pas specialiste de la conduction thermique, mais je pense que la capacité représente quelque chose comme la capacité calorifique de l'obstacle calorique, Mais LPFR qui est tres pointu , nous confirmera ou non

Quant à la mise en equation, la loi des mailles est infaillible.

Apres tu peux utiliser Laplace, mais cela peut être délicat quand il faudra faire la transformée inverse....

Tu peux aussi résoudre l'equation différentielle finale. Je pense que les choses se simplifie un peu si la source de chaleur est constante ( dérivée de la tension / au temps = 0 )

Quant au calcul, si tu as un ordinateur et tu ne recherches pas l'equation littérale, la loi de mailles permet de faire ton problème de façon quasi automatique me semble t il...

[Thoms08]

LPFR, je ne comprend pas pourquoi le RCR ne correspond pas. Comment procéder pour modifier mon analogie électrique? Mes données (température de surface, résistances et capacités de chaque paroi) sont-elles suffisantes? J'avais posé une seule capacité par paroi pour simplifier et ne pas trop rentrer dans les détails. Ce qui m'intéresse est la quantité de chaleur qui traverse ma paroi vers l'extérieur à un instant t.

@calculair: j'obtiens la valeur de ma capacité en multipliant la masse de la paroi par sa capacité calorifique

[calculair]

Bonjour,

Dans votre schéma équivalent, je comprend que V1,V5 ,V4 sont des sources de tension par rapport à la masse qui n'est pas dessinée

Vt1 et Vt 2 je ne sais pas ce que c'est ? De nouvelles sources de tension par rapport à la masse ? ou des sources commandées ? Ces données sont indispensables pour mettre en équation , même avec Milleman, Norton, Thevenin, ou autres ....Elles sont toutes déduites de la loi des mailles ou d'Ohm...!!

[LPFR]

LPFR, je ne comprend pas pourquoi le RCR ne correspond pas. Comment procéder pour modifier mon analogie électrique? Mes données (température de surface, résistances et capacités de chaque paroi) sont-elles suffisantes? J'avais posé une seule capacité par paroi pour simplifier et ne pas trop rentrer dans les détails. Ce qui m'intéresse est la quantité de chaleur qui traverse ma paroi vers l'extérieur à un instant t.
...

Re.
Quand vous appliquez de la chaleur sur un cloison, la zone proche de la surface chauffe très rapidement à la température finale. Mais pas le reste. La zone suivante commence à être chauffée par la zone proche de la surface, mais le flux thermique doit d’abord chauffer le matériau,. et ainsi de suite pour les zones suivantes.
L’analogue électrique est une série de RC en cascade. Le profil de température (ou de tension est celui de la fonction erreur).
Un RCR ne convient pas.
Et je ne vois pas de modification de l’analogue électrique, sauf remplacer votre RCR par une suite de 10 ou 20 RC en cascade.
Mais il faudrait encore que ce montage corresponde au dispositif physique dont vous nous avez touché deux mots, mais pas suffisamment pour pouvoir dire ce que l’on peut faire comme modèle.
A+

[Thoms08]

Et je ne vois pas de modification de l’analogue électrique, sauf remplacer votre RCR par une suite de 10 ou 20 RC en cascade.
Mais il faudrait encore que ce montage corresponde au dispositif physique dont vous nous avez touché deux mots, mais pas suffisamment pour pouvoir dire ce que l’on peut faire comme modèle.

Bonsoir, voici le reste des infos:

Je travaille sur un dispositif mettant en avant le rayonnement infrarouge.
Pour réaliser l'expérience, je dispose d’une boite en bois de dimension 20x20x20 cm (épaisseur des parois : 1cm). Elle est isolée de l’intérieur par une couche d’1cm de polystyrène. Il y a une fenêtre en plexiglas sur l’une des surfaces pour laisser entrer dans la boite les rayons d’un spot halogène de 500W et chauffer l’intérieur par effet de serre. J’étudie la variation de température à l’intérieur de la boite en fonction du type de revêtement des parois intérieures.



Pour le moment j’ai fait une (longue) série de calcul à l’aide du logiciel EES (Engineering Equation Solver) me permettant d’obtenir la température intérieure de la boite. Pour chaque équation je me suis basé sur des analogues électriques. Ces calculs prennent en compte :
- les convections aux surfaces intérieures et extérieures
- les échanges radiatifs entre parois suivant leur émissivité respectives
- l'isolation de la boite
- la puissance transmise à la boite par unité de longueur d'onde (suivant le matériau transparent utilisé pour la fenêtre et la puissance de la lampe)
- une estimation des ponts thermique en fonction des pertes totales

Jusque là pas de problème, mes résultats sont plus ou moins proches de ceux obtenus pendant l’expérience, à l’équilibre. Néanmoins ils ne sont pas dynamiques. C’est pour cette raison que je cherche à calculer les inerties thermiques des parois et du volume d’air à l’intérieur de la boite. Ainsi je pourrais obtenir la température intérieur en fonction du temps d’exposition au spot, ce qui est beaucoup plus intéressant. Donc, la fraction de mon circuit global pour lequel j’ai ouvert la discussion correspond à la conduction thermique à travers tout d’abord la couche d’1cm de bois (R1, C1) puis la couche d’1cm de polystyrène (R2, C2), l’échange convectif de la paroi avec le volume d’air (R5, C3) et le rayonnement propre de la paroi (R6).

Quelques données :
Capa_air (C3) = 0,039
Capa_bois (C1) = 142 J/kg
Capa_polystyrène (C2) = 6,525 J/kg
(avec cp_air = 1,009, cp_bois = 1265, cp_polystyrène = 1450)

Surface des parois : 225 cm²

Je n'ai pas contextualisé ma question au début car j'avais peur, visiblement à tort, de noyer le problème et ne pas avoir de réponses.

Bonne soirée

[LPFR]

Bonjour.
Oui. J me souviens de la discussion précédente.
Mais comme le revêtement fait 1 cm, je pense qu’il ne s’agit pas de polystyrène, mais de ma mousse de polystyrène (du polystyrène expansé). Et ça change tout, car la conductivité thermique des deux matériaux n’a rien à voir.

Pouvez-vous confirmer ce point avant d’aller plus loin ?

Au revoir.

[Thoms08]

Bonjour, c'est effectivement du polystyrène expansé que j'ai utilisé.

[LPFR]

Re.
Dans ce cas, ce qu’il faut calculer séparément et avant toute autre chose, est ce que fait la mousse toute seule.
Donc, il faut appliquer une source de chaleur sur une surface, et regarder comment la chaleur se propage à l’intérieur et quel flux thermique entre dans le polystyrène expansé.
Comme cette fois il s’agit d’un matériau uniforme on peut faire le calcul théorique avec l’équation de la chaleur.
Car, ce que j’ai derrière la tête est que pour votre manip il est fort probable (mais il faut le confirmer) que la mousse isole complètement le reste de la boite et que les seules pertes par conduction qu’il faille tenir en compte soient celles de la surface transparente.
Et je crains que vous ayez induit Boumako en erreur dans la discussion précédente, en remplaçant « polystyrène expansé » par polystyrène.
Car le polystyrène existe en tant que plaques compactes et ressemble aux autres plastiques, comme le plexiglas ou le PVC.
A+