Produit tensoriel de vecteurs (application à la MQ)

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je viens à vous car j'ai une question très basique sur les produits tensoriels de vecteurs.
Je n'ai que de petites connaissances sur la notion de tenseurs & co : à vrai dire je l'utilise comme un outil de calcul en mécanique quantique, je ne suis donc pas du tout matheux sur ces notions là.


Ma question est la suivante :

Soient 4 vecteurs donnés, supposons :

(on travaille dans AxB : produit tensoriel de l'espace de Hilbert A*l'espace de Hilbert B).

Comment montre on simplement que :


et


Si je pose cette question c'est parce que quand on a un hamiltonien avec une partie spin et une partie espace, quand on écrit Schrödinger on obtient immédiatement un système d'équation avec une équation qui concerne que la partie espace et une qui concerne que la partie spin. Je souhaitais comprendre pourquoi on a bien le droit d'avoir identification et donc un système en partant d'une seule équation.

J'ai essayé de faire une démo en repassant aux bases et en identifiants les coeffs :






On a donc :



Donc :

Pour tout j,k dans leurs intervalles :


En supposant qu'on a pas de problème de dénominateur qui s'annule :



Donc :


Ainsi :
On utilise ensuite le fait que les normes doivent être égales à gauche et à droite et que comme phi et psi sont normés à 1, on a |C|²=1, donc C=+1 ou C=-1

Mais comment montrer que C vaut bien +1 ?
En outre j'ai exclu les 0, et ma démo est pas très rapide, ya un moyen plus simple et logique de voir immédiatement que psiA=phiA et psiB=phiB ? Car des produits tensoriels d'espace c'est pas la même chose qu'une somme d'espace vectorielle en somme directe.

Merci beaucoup !
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[invite47ecce17]

Bonsoir,

Ma question est la suivante :

Soient 4 vecteurs donnés, supposons :

(on travaille dans AxB : produit tensoriel de l'espace de Hilbert A*l'espace de Hilbert B).

Comment montre on simplement que :


et

Tu vas avoir du mal, et pour cause, c'est faux.

[invite8f6d0dd4]

Arf.

Pourrais tu me dire où je me suis trompé dans ma démo alors ?

En outre, alors pourquoi quand on a un Hamiltonien du type : H=H_spin + H_espace, on peut résoudre le problème comme ceci :

On pose :


Résoudre :


Équivaut à résoudre le système suivant :



D'où viens la justification ?

Merci !!!!!!!

[invite47ecce17]

Ben j'ai pas regardé ta démo, mais ton résultat est faux parce qu'on peut facilement trouver des contre exemple.
Par exemple pour tout a et b, ou encore si u,v sont deux scalaires .
En fait si alors ta démo doit prouver que si l'un parmi a et b et si l'un parmi c et d sont non nuls, alors ua=c et b=vd pour u et v deux scalaires (ou j'ai supposé que c'etait a et d les non nuls).
Sans doute cela te suffit il.

[A voir en vidéo sur Futura]