Physique statistique niveau L3 : Approx de Maxwell Boltzmann - Postulat de symétrisation

[freemp]

Bonsoir à tous.

Mes questions portent sur mon cours de phy stat lorsqu'on parle de l'approximation de maxwell boltzmann avec des particules indiscernables.

Prenons deux bosons (donc indiscernables et symétriques).



Représentons ces états sur un graphique avec m en ordonnée et n en abscisse.

Vu que la fonction est symétrique par permutation de n et m, les états strictement au dessus de la diagonale sont identiques physiquement aux états en dessous de la diagonale.

Donc en comptant les états on dit que le nombre d'états que peuvent occuper ces bosons correspondent au nombre d'états qu'ils occuperaient si ils étaient discernables divisé par deux environ (il y a un problème avec la diagonale).
En généralisant avec N particules, on dit qu'on divise par N! : Ai-je bien compris ce point ci ?
(nb_états_indiscernables=(envi ron)1/N!*nb_états_discernables)

Quand on a des fermions, on a :


Ici, même principe sauf que la diagonale ne comporte pas d'états physiques.
En outre, les états physiques au dessus de la diagonale sont l'opposé de ceux en dessous de la diagonale.

Comme en mécanique quantique, les vecteurs d'états sont identiques à une phase prêt, on considère que les états au dessus de la diago sont les mêmes que ceux en dessous de la diago, et on fait aussi une approximation en disant que :
nb_états_indiscernables=(envir on)1/N!*nb_états_discernables (l'approx est différente ici, vu que pour le coup on a pas d'états sur la diagonale)
Êtes vous ok avec moi ????

Est ce cela l'approximation de maxwell Boltzmann ?
J'avoue ne pas vraiment avoir compris en quoi elle consiste...

Merci !!!!
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[gatsu]

Salut,

La "logique" de ce raisonnement est normalement de construire une classe d'equivalence d'états a N particules. Pour les bosons, deux états sont equivalents si ils sont relies par une simple permutation et pour les fermions ils sont equivalents si ils sont relies a un signe pres par une transposition.

Intuitivement, cette logique fait sens mais il a été rapporte récemment que lorsqu'on essaie de deriver ce fameux 1/N! rigoureusement, certains problèmes surgissent au dela de N = 2. La raison en est que l'espace de Hilbert le plus general a N particules (simplement le produit tensoriel de N espaces vectoriels a une particule) n'est généralement pas decomposable en seulement un espace symétrique et antisymétrique mais des tonnes d'espaces "mixes" apparaissent dans la decomposition sauf pour le cas N = 2. Cela est instructif lorsqu'on se rend compte que la plupart des traitements dans les bouquins calculent le cas pour 2 particules et ensuite l'admettent pour n'importe quel N.

Par ailleurs, il y a un deuxième problème qui est que le N! dans la fonction de partition "classique" n'a rien a voir avec l'indiscernabilite quantique en fait et qu'il est regrettable que la plupart des ouvrages de references continuent a propager cette idée fausse. Ce problème est relie au paradoxe de Gibbs et a sa soit-disant resolution par la mécanique quantique...mais qui n'en est pas une en fait lorsqu'on regarde dans le detail (par exemple l'argument quantique est incapable d'expliquer ce qu'il se passe pour le melange de deux systèmes polydisperses identiques). Plusieurs auteurs de Jaynes a Hanggi en passant par Frenkel ont rediges des articles pour clarifier ce problème.

[freemp]

Bonjour,

Merci de la réponse.

Pour les bosons, deux états sont equivalents si ils sont relies par une simple permutation et pour les fermions ils sont equivalents si ils sont relies a un signe pres par une transposition.

Donc en gros vous êtes d'accord avec moi (dans le cas simplifié à deux particules) que quand je dis qu'avec les fermions les états au dessus de la diagonale sont physiquement identiques à ceux en dessous ? C'est pour cela qu'on peut introduire le 1/2 comme dans le cas des bosons ?

C'est bien cela ??

En outre, ce que vous dites c'est qu'avec la formule comportant le 1/N!, quand on fait d'autres calculs on se rend compte qu'on a des incohérences physique sauf pour N=2.
Mais ce que je ne comprends pas c'est le rapport avec la construction de l'espace de Hilbert.

Ici, cette formule sert à compter le nombre d'états de bosons, ou de fermions que je peux construire avec N particules.
On ne cherche pas à compter un nombre d'états quantiques quelconques, donc que l'espace de hilbert ne soit pas décomposable en une partie symétrique+antisymétrique ne devrait pas compter non ?
Même si j'avoue ne pas vraiment avoir compris comment on passe du cas particulier N=2 au cas général où on remplace par N!, en supposant que la démo mathématique soit rigoureuse, ce qu'on compte c'est un nombre d'états qu'on peut construire avec N bosons ou un nombre d'état qu'on peut construire avec N fermions, et pas un nombre d'état quantique "général" qu'on peut construire avec N particules.

Enfin à moins que je n'ai pas vraiment compris de quoi il s'agissait...

(N'oubliez pas que la physique statistique et la MQ sont des choses relativement nouvelles pour moi donc je n'ai pas un très gros recul là dedans).

Merci beaucoup !!

[freemp]

Je rajoute juste (je peux plus éditer mon message) :

En supposant que l'espace de Hilbert soit décomposable en une partie sym + une partie antisym, la formule serait mathématiquement différente de 1/N! * PHI_discernable vu que dans cette formule on suppose de base qu'on a N fermions ou N bosons : la formule générale devrait avoir des termes en plus qui augmentent le nombre d'états possible (rien qu'en comptant les états de fermions + les états de bosons on devrait avoir 2/N! * PHI_discernable (mais il doit y avoir encore d'autre états).

Du coup je ne comprends pas trop pourquoi vous dites que la formule pour compter le nombre d'états total est fausse PARCE QUE on ne prend pas en compte le fait que l'espace de hilbert n'est pas un produit tensoriel de parties_sym*partie_antisym : car même si c'était le cas la formule serait fausse de toute façon si son but était bien de compter TOUS LES ETATS quantiques possibles (et pas uniquement des états que composés de bosons par ex) ?

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Bonjour,

Merci de la réponse.


Donc en gros vous êtes d'accord avec moi (dans le cas simplifié à deux particules) que quand je dis qu'avec les fermions les états au dessus de la diagonale sont physiquement identiques à ceux en dessous ? C'est pour cela qu'on peut introduire le 1/2 comme dans le cas des bosons ?

C'est bien cela ??

Oui.

En outre, ce que vous dites c'est qu'avec la formule comportant le 1/N!, quand on fait d'autres calculs on se rend compte qu'on a des incohérences physique sauf pour N=2.
Mais ce que je ne comprends pas c'est le rapport avec la construction de l'espace de Hilbert.

En fait non. Cette remarque est juste spécifique et réfère a certains traitements mathématiques de la limite classique qui présupposent que l'on peut former une relation de fermeture avec la famille des vecteurs symétriques/anti-symétriques; ce qui n'est pas nécessairement le cas car ils ne forment pas généralement une base complete de l'espace de Hilbert des états.

Ici, cette formule sert à compter le nombre d'états de bosons, ou de fermions que je peux construire avec N particules.

A partir du moment ou l'algorithme a été choisi i.e. on se dit que l'on ne prend que le triangle du haut ou que le triangle du bas il n'y a pas de problème ton raisonnement est bon. L'argument des auteurs du premier papier auxquels je fais allusion est que ce choix ne peut pas être d'origine "mathématique".

En gros quand on a une description comme la tienne d'un système quantique (comme une sorte de matrice), la limite classique veut dire que le nombre de termes typique en dehors de la diagonale va devenir bien plus grand que le nombre de termes sur la diagonale. On peut donc négliger la difference venant des termes diagonaux comme tu le dis d'ailleurs. Le fait que les triangles supérieur et inférieur soient equivalents n'implique pas nécessairement (pas mathématiquement en tout cas) qu'il ne faut pas compter les deux.

Donc bref la stratégie elle meme est discutable et discutée encore aujourd'hui. Mais sinon je te rassure tu as bien compris comment ca marche une fois la stratégie de compter qu'une fois chaque paire est adoptee.

N'oubliez pas que la physique statistique et la MQ sont des choses relativement nouvelles pour moi donc je n'ai pas un très gros recul là dedans

je ne sais pas si ce sont des choses nouvelles pour toi mais tu poses des questions qui posent encore problème en physique statistique.

Donc juste pour clarifier les points de mon premier message, les voici :

1- une fois la stratégie de ne compter qu'une fois chaque N-uplet correspondant au meme état pour des particules indiscernables, il en ressort que la limite classique de ce comptage donne approximativement 1/N! fois le nombre compte pour des particules discernables (l'erreur correspondant aux termes diagonaux qui n'existent pas pour des fermions et sont surpeuplés pour des bosons)

2- l'argument qui consiste a dire que ce choix de ne garder qu'un cadrant de la matrice des états découle mathématiquement de la notion d'indiscernabilite quantique via les opérateurs de symetrisation et antisymetrisation a été critique et est encore discute aujourd'hui et cela doit être signale

3- cet argument sur l'indiscernabilite quantique comme nécessaire pour justifier le 1/N! ne tient pas du tout (et prédit meme des résultats aberrants) pour la plupart des systèmes rencontres dans la nature pour lesquels la physique statistique dans la limite classique (avec un 1/N! dans la fonction de partition) marche excellemment bien. Dans le meilleur des cas, la notion d'indiscernabilite quantique est suffisante pour adopter le facteur 1/N! mais loin d'être nécessaire contrairement a ce qu'on nous vend dans la plupart des bouquins.

[illusionoflogic]

Bonjour gatsu et freemp

Donc juste pour clarifier les points de mon premier message, les voici :

1- une fois la stratégie de ne compter qu'une fois chaque N-uplet correspondant au meme état pour des particules indiscernables, il en ressort que la limite classique de ce comptage donne approximativement 1/N! fois le nombre compte pour des particules discernables (l'erreur correspondant aux termes diagonaux qui n'existent pas pour des fermions et sont surpeuplés pour des bosons)

2- l'argument qui consiste a dire que ce choix de ne garder qu'un cadrant de la matrice des états découle mathématiquement de la notion d'indiscernabilite quantique via les opérateurs de symetrisation et antisymetrisation a été critique et est encore discute aujourd'hui et cela doit être signale

3- cet argument sur l'indiscernabilite quantique comme nécessaire pour justifier le 1/N! ne tient pas du tout (et prédit meme des résultats aberrants) pour la plupart des systèmes rencontres dans la nature pour lesquels la physique statistique dans la limite classique (avec un 1/N! dans la fonction de partition) marche excellemment bien. Dans le meilleur des cas, la notion d'indiscernabilite quantique est suffisante pour adopter le facteur 1/N! mais loin d'être nécessaire contrairement a ce qu'on nous vend dans la plupart des bouquins.

Juste pour bien comprendre si tu me permets gatsu http://forums.futura-sciences.com/vo...anulaires.html ?

J'y reviendrai plus tard mais ça m'interpelle ...

[gatsu]

Bonjour gatsu et freemp



Juste pour bien comprendre si tu me permets gatsu http://forums.futura-sciences.com/vo...anulaires.html ?

J'y reviendrai plus tard mais ça m'interpelle ...

C'est relie oui mais c'est un autre sujet car il n'existe pas a l'heure actuel de formalisme de physique statistique des milieux granulaires qui fasse consensus dans la communauté. C'est aussi pour ca que je me suis garde de faire faire reference a mes propres articles sur le sujet; je ne cite donc que d'autres auteurs (dont l'un est un de mes anciens chefs c'est vrai) qui sont par ailleurs bien plus renommes que moi dans le domaine.

Pour la petite histoire (comme Frenkel le souligne dans ses remerciements a la fin de son article que j'ai mis en lien) j'étais au depart oppose aux idées memes que je propose dans ce fil a cause de ma formation parisienne et je n'avais pas vraiment réfléchi au sujet a l'époque (j'avais appris par coeur que 1/N! est d'origine quantique point barre). Et puis après un ensemble de discussions/débats assez chaudes avec lui, j'ai du me rendre a l'evidence que l'argument quantique du 1/N! ne tenait pas la route pour une grande majorité de systèmes. Pire encore, lorsqu'on cherche qui a émis cette hypothèse de l'indiscernabilite quantique en premier pour justifier ce N! et ba c'est très flou et encore plus flou de savoir quand est-ce que tout le monde s'est mis d'accord pour dire que c'était LA solution et la mettre dans tous les traitements de reference en physique statistique. Je pense que c'est un excellent exemple d'histoire des sciences ou un argument est émis a un instant donne (on ne sait meme pas vraiment par qui) et ou tout monde le reprend derriere sans sourciller, sans débat, sans rien. Il faudra attendre E.T. Jaynes pour pouvoir lire une critique détaillée (et a fort impact) de cette "solution de secours quantique" du paradoxe de Gibbs.

P.S.: c'est vrai que le bruit du silence est assourdissant