Correction de la loi de gravitation par la Relativité Générale

[invite2f314551]

Bonjour,
Dans le cadre d'un projet bibliographique, dont l'intitulé exact est : Interprétation physique de la correction à la loi de Newton par la métrique de Schwarzschild, je dois donc trouver une correction à la loi de Newton par le biais de la métrique de Schwarzschild. Pour ça j'ai donc calculé les symboles de Christoffel pour la métrique et essayé de les injecter dans l'équation géodésique "en r" pour obtenir une dérivée seconde de r par rapport au temps et ainsi obtenir un semblant d'équation du mouvement mais le résultat est trop compliqué (à moins de supprimer tout ce qui m'embête mais alors il faudrait le justifier...).
J'ai recherché des articles etc... mais à chaque fois ils disent que le calcul est possible mais ne le font pas.
Je voulais donc vous demander si quelqu'un avait une idée de la démarche à suivre pour obtenir cette correction ou bien si quelqu'un a déjà vu ça dans la littérature ?
En vous remerciant par avance,

KanYeW
-----

[phys4]

Bonjour,

Les équations se résolvent comme pour la gravitation de Newton, il y a une intégrale première de plus.

Voici un exemple :
http://astro.physics.free.fr/RG/06.pdf

[invite2f314551]

Merci de votre réponse.
Quand vous dites qu'elles se résolvent comme pour la gravitation de Newton vous parlez de l'équation de la géodésique ? Parce que le but n'est pas vraiment d'avoir la trajectoire mais d'essayer de retrouver une force. Il me faudrait déjà commencer par retrouver la loi de Newton à partir de Schwarzschild mais je ne vois pas comment... A priori si on sait comment retrouver Newton ce ne sera pas compliqué de trouver la correction.

[phys4]

Vous allez trouver la comparaison dans la référence citée. La différence ne se réduit pas simplement à une force, il faut effectivement reconstruire la trajectoire (géodésique) puis comparer les deux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f314551]

J'ai lu la référence citée, et je vois qu'à un moment (équation 6.17) on a un potentiel relativiste effectif je peux enlever le terme centrifuge pour obtenir le vrai potentiel et le dériver pour obtenir une force non ? Parce que sur ce lien : http://farside.ph.utexas.edu/teachin...l/node116.html , ils mettent une force corrigée qui est exactement ce qu'on obtient en dérivant le potentiel.
En tout cas merci pour votre référence car c'est très bien expliqué et en français qui plus est.

[phys4]

Vous pouvez peut-être essayé cette voie. Je n'en ai jamais fait l'expérience.

Vous pouvez aussi partir de la comparaison entre les équations différentielles résolues : (6,28) et (6,29) pour en déduire un terme de correction.

Vous avez la démonstration complète de la précession du périhélie.

Bonne chance.

[invite2f314551]

Très bien je vais regarder aussi l'autre méthode. Merci en tout cas !
J'ai deux autres questions si ça vous dérange pas ...

Est-ce-que vous pensez qu'avec cette "force" corrigée ça a un sens de la mettre dans le PFD "classique" (je l'ai fait numériquement on obtient bien une ellipse qui précesse) car on est en RG donc peut-être qu'il faudrait utiliser plutôt la version relativiste avec l'impulsion relativiste. J'aurai tendance à dire que ça dépend des vitesses rencontrées or ce serait pour illustrer Mercure donc v<<c et le PFD "classique" suffirait non ?

Une autre question plus basique : J'ai deux moyens de poser mes équations du mouvement. La première je place ma planète dans le champ avec le PFD justement ou bien je traite le problème à deux corps. Ce que je ne comprends pas c'est que dans un cas j'ai un terme centrifuge qui apparaît tandis que dans l'autre non. Je me doute que la bonne manière est celle du problème à deux corps mais je ne vois pas alors l'approximation qu'on fait dans le premier cas. De plus si je considère la masse du Soleil infinie, je vois pas pourquoi on a pas la même chose dans les deux cas.
J'espère que ma question n'est pas trop embrouillée...

[phys4]

Pour une application au système solaire, la version relativiste de l'impulsion est facultative. Vous verrez bien si vous trouver la bonne valeur de précession.

La disproportion entre les masses de Mercure et du Soleil sont telles, qu'il est inutile de se compliquer avec la solution à deux corps, d'autant que le solution relativiste ne prend pas en compte la masse du mobile.

[invite2f314551]

D'accord et d'accord.
Je vous remercie encore une fois pour votre aide.
Cette fois je pense que je n'ai plus de questions, du moins pour le moment.

Bonne journée à vous !

[invite2f314551]

Finalement j'ai bien d'autres questions.
Vous me dites que ce n'est pas la peine de considérer le problème à deux corps si j'applique ça au système solaire, mais dans ce cas je n'aurais pas à tenir compte tu terme centrifuge, si ?
Aussi, je voudrais rentrer les valeurs réelles dans mon pc pour la simulation et voir si j'obtiens la même chose que l'observation pour Mercure (à savoir les fameux 43" d'arc tous les siècles). Le problème c'est que codant en C je peux pas rentrer n'importe quoi comme valeurs et il me faudrait donc changer d'unités. J'ai essayé mais j'ai rien de bien concluant jusqu'à présent. Je me demandais donc s'il y avait un analogue aux unités atomiques pour le système solaire. Je sais qu'il y a pour la distance les unités astronomiques (même ça ce n'est peut-être pas le mieux vu que je dois rentrer le rayon de l'orbite de Mercure) mais qu'en est il pour les masses ? Dois-je poser la masse du Soleil égale à un ou celle de Mercure ?
J'ai cherché un peu sur internet mais mis à part les unités astronomiques j'ai rien trouvé d'autre.
J'espère ne pas être trop embêtant...

[phys4]

Vous me dites que ce n'est pas la peine de considérer le problème à deux corps si j'applique ça au système solaire, mais dans ce cas je n'aurais pas à tenir compte tu terme centrifuge, si ?

Le problème à deux corps c'est considéré le mouvement des deux masses, en RG on considère une masse : celle du centre, la masse du mobile est négligeable et ne rentre pas dans les équations. Cela ne supprime pas le terme centrifuge qui représente une accélération du mobile.

Aussi, je voudrais rentrer les valeurs réelles dans mon pc pour la simulation et voir si j'obtiens la même chose que l'observation pour Mercure (à savoir les fameux 43" d'arc tous les siècles). Le problème c'est que codant en C je peux pas rentrer n'importe quoi comme valeurs et il me faudrait donc changer d'unités. J'ai essayé mais j'ai rien de bien concluant jusqu'à présent. Je me demandais donc s'il y avait un analogue aux unités atomiques pour le système solaire. Je sais qu'il y a pour la distance les unités astronomiques (même ça ce n'est peut-être pas le mieux vu que je dois rentrer le rayon de l'orbite de Mercure) mais qu'en est il pour les masses ? Dois-je poser la masse du Soleil égale à un ou celle de Mercure ?

La masse de Mercure n'intervient pas dans les équations si nous la prenons négligeable devant le Soleil. Je ne sais pas s'il faut rentrer 1 pour le Soleil, cela dépend de votre système d'unités.

[invite2f314551]

Je comprends ce que vous me dites, mais par rapport à ce que je veux faire, les deux masses vont intervenir vu que je veux une force et que je vais faire un pour l'obtenir, non ?

[invite2f314551]

En fait vous avez raison puisque j'utilise le PFD la masse de mercure va partir. Il faut que j'aille revoir mes cours de lycée je crois .

[invite2f314551]

Par contre si j'utilise le PFD et que je fais pas le problème à deux corps je vois pas pourquoi le terme centrifuge devrait apparaître ?

[phys4]

Le terme centrifuge apparait naturellement dans le terme en L, qu'il ne faut surtout pas modifier, et il le même dans les deux résolutions.

D'ailleurs si l'on le supprime, il n'y a plus de trajectoire.

Pour une résolution complète à partir des équations du mouvement, il s'introduit au passage au repère polaire.

[invite2f314551]

D'accord je crois avoir compris !
Vous voulez dire que ce terme centrifuge apparaît dans l'expression de l’accélération en coordonnées polaires c'est ça ?
D'ailleurs c'est la même chose dans le problème à deux corps il me semble.

[phys4]

Vous voulez dire que ce terme centrifuge apparaît dans l'expression de l’accélération en coordonnées polaires c'est ça ?
D'ailleurs c'est la même chose dans le problème à deux corps il me semble.

C'est cela même, bonne journée.

[invite2f314551]

Ça parait logique maintenant ! C'est la même chose en MQ avec l'atome d'hydrogène, l'opérateur vient aussi de l'expression en sphérique du laplacien ! Je le savais pourtant, mais j'ai pas fais le rapprochement...
En tout cas en me disant ça, vous m'avez été d'une grande aide, je vous en remercie. J'avais le bon résultat sous les yeux depuis le début avec mon équation géodésique mais à cause du fait que j'ai oublié que l'accélération en polaire n'était pas juste , je croyais avoir un résultat trop compliqué alors que c'était normal...
Le pire c'est que dans ma simulation j'avais bien mis l'accélération qu'il faut en polaire
Je sais pas si vous m'avez suivi mais merci encore !!!